KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội
Bài 2
Mô hình động
Mô hình tự hồi quy và mô hình có trễ phân phối

1. Khái niệm
1.1. Định nghĩa. Trong phân tích hồi quy sử dụng dãy số thời
gian, nếu mô hình không chỉ chứa giá trị hiện tại mà cả giá trị
quá khứ (trễ ) của các biến giải thích thì đợc gọi là
mô hình có
trễ phân phối.
Ví dụ: Y
t
= +
0
X
t
+
1
X
t-1
+
2
X
t-2
+ u
t Mô hình có trễ phân phối đợc chia thành hai loại:

2
X
t-2
+ + u
t

gọi là mô hình có trễ vô hạn.
Ví dụ: Nghiên cứu hành vi tiêu dùng đối với việc tăng lơng,
giả thiết ngời đó không tiêu dùng hết ngay số lơng đợc
tăng thêm. Chăng hạn một ngời đợc tăng lơng thêm 2 triệu/
năm và việc tăng lơng này đợc duy trì lâu dài. Giả sử ngời
đó quyết định nh sau:
Tiêu dùng 40% số lơng đợc tăng ngay trong năm đợc
tăng lơng.
Tiêu dùng 30% trong năm tiếp theo.
Tiêu dùng 20% trong năm sau đó.
Dành 10% còn lại để tiết kiệm.
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội
Lúc đó mô hình biểu diễn hành vi tiêu dùng có dạng:
Y
t
= + 0,4X
t
+ 0,3X
t-1
+ 0,2X
t-2
+ u
t

ta có:



k
i
i
1


=
và gọi là hệ số tiêu dùng biên dài hạn.
Trong ví dụ trên
0
+
1
+
2
= 0,9
Nếu ta xây dựng mô hình:
Y
t
= + 0,9X
t
+ u
t

thì ảnh hởng cuối cùng đợc diễn ra ngay trong năm đợc xét.

Nếu ta thiết lập tỷ lệ:

hông những phụ thuộc vào thu nhập ở thời kỳ t mà còn phụ
thuộc vào tiêu dùng ở thời kỳ trớc.
Y
t
= + X
t
+ Y
t-1
+ u
t

Trong đó: Y
t
là tiêu dùng ở thời kỳ t,
X
t
là thu nhập ở thời kỳ t. Lý do của trễ:
Có 3 nguyên nhân dẫn đến hiện tợng trễ trong kinh tế:

Nguyên nhân tâm lý:
Theo thói quen (quán tính) con ngời không thể thay đổi
ngay lập tức hành vi tiêu dùng của mình. Khi giá giảm hay
thu nhập tăng, vì tâm lý sợ không chắc chắn là điều đó sẽ
diễn ra lâu dài hay không.

* Nguyên nhân công nghệ:
+ Tỷ giá giữa vốn và lao động giảm thì cũng không có nghĩa

Để ớc lợng và
k
(k = 0,1, ) có thể dùng hai cách tiếp cận:
+ Ước lợng theo kinh nghiệm.
+ Ước lợng trên cơ sở một giả thiết tiên nghiệm về tính chất
của . 2.1. Phơng pháp ớc lợng trên cơ sở kinh nghiệm.
Phơng pháp do Alt và Tinbergen đề xuất nh sau: Vì ta giả
thiết X
t
là phi ngẫu nhiên hoặc ít nhất là không tơng quan với
sai số ngẫu nhiên u
t
nên về nguyên tắc có thể áp dụng OLS đối
với mô hình (1).
Quá trình ớc lợng nh sau: Trớc hết hồi quy Y
t
với X
t
, sau
đó hồi quy Y
t
với X
t
và X
t-1
, sau đó hồi quy Y
t


t
= 8,27 + 0,109X
t
+ 0,071X
t-1
- 0,055X
t-2

Y

t
= 8,32 + 0,108X
t
+ 0,063X
t-1
+ 0,022X
t-2
- 0,02X
t-3

Nh vậy mô hình thứ hai là hợp lý.
Hồi quy đến khi 2 hệ số hồi quy liên tiếp đổi dấu chứng tỏ Xt-3
là
không cần thiết
Hạn chế của phơng pháp này là:
* Không có sự định lợng từ đầu về chiều dài của trễ.
* Trễ càng kéo dài thì số bậc tự do càng giảm làm cho các kết
luận thống kê thiếu chắc chắn. Trong kinh tế không phải lúc
nào cũng có đợc các chuỗi đủ dài các số liệu để ớc lợng vô số

X
t
+
1
X
t-1
+
2
X
t-2
+ + u
t
(1)
Koyck giả thiết rằng mọi
i
( i = 0,1, ) đều có cùng dấu và
giảm dần theo cấp số nhân:

k
=
0

k
k = 0,1,2, (2)
trong đó 0 1
Biểu thức (2) có nghĩa là mỗi kế tiếp sẽ nhỏ hơn đứng
trớc đó tức là càng đi xa về quá khứ thì ảnh hởng của biến
trễ lên biến Y
t
càng giảm dần.

0
X
t-2
+ +u
t
(4)
Mô hình (4) vẫn còn một số lớn các tham số cần ớc lợng và
tham số vẫn còn ở dạng luỹ thừa nên cha thể áp dụng đợc
OLS.
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội
Tuy nhiên có thể biến đổi (4) nh sau:
Tại t-1 mô hình có dạng
Y
t-1
= +
0
X
t-1
+
0
X
t-2
+ + u
t-1

Nhân hai vế với

Y
t
= ( 1-) +
0
X
t
+ Y
t-1
+ v
t
(5)
trong đó v
t
= u
t
- u
t-1

Nh vậy (4) tơng đơng với (5) trong đó chỉ còn phải ớc
lợng 3 tham số là , và
0
. Nhận xét: Việc ớc lợng mô hình (5) nảy sinh một số vấn đề
sau:
Mô hình (4) ở dạng mô hình có trễ phân phối song mô
hình (5) lại là mô hình tự hồi quy.
Sự xuất hiện của Y
t-1

Y
t
= +
0
X
t
+
1
X
t-1
+
2
X
t-2
+ + u
t
Biến

đổi về dạng (5) cho ta mô hình:

Y
t
= ( 1-) +
0
X
t
+ Y

15.80895

0.0000

Y(-1) 0.036201

0.060438

0.598985

0.5566

R-squared 0.985634

Mean dependent var 115.5852

Adjusted R-squared 0.984038

S.D. dependent var 56.87899

S.E. of regression 7.186239

Akaike info criterion 6.913777

Sum squared resid 929.5567

Schwarz criterion 7.062994

Log likelihood -69.59466


1973 9752 11013 1984 11617 13029

1974 9602 10832 1985 12015 13258

1975 9711 10906 1986 12336 13552

1976 10121 11192 1987 12568 13545

1977 10425 11406 1988 12903 13890

1978 10744 11851 1989 13029 14005

1979 10876 12039 1990 13044 14068

1980 10746 12005 1991 12824 13886
hãy hồi quy mô hình (5) và phân tích kết quả nhận đợc.
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội

t
* không quan sát trực tiếp đợc nên nó đợc tính toán
dựa trên giả thiết là mức độ điều chỉnh của lãi suất kỳ vọng từ
năm t-1 đến năm t tỷ lệ với mức chênh lệch giữa lãi suất quan
sát đợc ở năm t và lãi suất kỳ vọng ở năm trớc đó, tức là:

X
t
* - X
t-1
* = (X
t
- X
t-1
*) (7)

trong đó: 0 1 và gọi là hệ số kỳ vọng.

lúc đó:

X
t
* = X
t
+ ( 1 - )X
t-1
* (8)
Tức là X
t
* là trung bình có trọng số của X

t
(9) KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội
Cho (6) trễ đi một kỳ và nhân với ( 1 - ) sau đó thế vào (9) ta
thu đợc mô hình sau:
Y
t
=
0
+
1
X
t
+ ( 1 - )Y
t-1
+ u
t
- ( 1 - )u
t-1

Y
t
=
0
+
1
X

X
*
là doanh thu kỳ vọng
Biến đổi về dạng (10):
Y
t
=
0
+
1
X
t
+ ( 1 - )Y
t-1
+ v
t

Dùng OLS hồi quy ta cũng thu đợc kết quả nh ở trên,
Từ đó suy ra .
Y
t
- Y
t - 1
= ( Y
t
*
- Y
t - 1
) (12)
Trong đó 0 1 đợc gọi là hệ số hiệu chỉnh.
Y
t
- Y
t - 1
là thay đổi thực tế.Y
t
*
- Y
t - 1
là thay đổi kỳ vọng.
Từ đó Y
t
= Y
t
*
+ ( 1 - ) Y

1
X
t
+ ( 1 -) Y
t-1
+ u
t
(14)
Mô hình (14) gọi là mô hình hiệu chỉnh bộ phận và có thể
gọi là hàm cầu ngắn hạn về vốn.
Khi đã ớc lợng đợc (14) và thu đợc ớc lợng của
thì có
thể rút ra hàm cầu dài hạn về vốn bằng cách chia
0
và
1
cho
và bỏ đi số hạng trễ Y
t-1
.
Ví dụ: Xét mô hình ở mục trớc nh mô hình hiệu chỉnh bộ
phận và tìm với Y
*
là mức đầu t mong đợi và X là doanh thu
của doanh nghiệp.
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội

Kế
3. Kết hợp

*
đều không thể quan sát trực tiếp, ta sử dụng
cơ chế hiệu chỉnh bộ phận đối với Y
t
*
và mô hình kỳ vọng thích
nghi đối với X
t
*
sẽ thu đợc mô hình sau:
Y
t
=
0
+
1
X
t
+ (1 -) + ( 1 -)Y
t-1

- (1 - )(1 - )Y
t-2
+ u
t
- (1 -)u
t-1

=
0

là doanh thu mong đợi của doanh nghiệp KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội
4. Ví dụ: Mô hình cầu tiền.
Giả sử nhu cầu tiền mặt đợc cho bởi hàm:

t
u
ttt
eYRM
21
*


Trong đó
*
t
M là nhu cầu tiền cân bằng thực tế, R
t

M
M

Lấy loga ta có:


1
*
1
lnlnlnln


tttt
MMMM


Thay
*
ln
t
M ở trên vào, ta có:

ttttt
uMYRM


121
ln)1(lnlnlnln
Với số liệu của UK thời kỳ 1964-1967 thu đợc kết quả sau:


Y
t
=
0
+
i+1
X
t-i
+
k
X
t-k
+
2

k
X
t-k-1
+ + u
t
(17)
Sử dụng phơng pháp nh đã làm với (4) thu đợc mô hình sau:

Y
t
=
0
(1-) +
1
X

+
2

1
X
1t-2
+
+
2
X
2t
+
2
X
2t-1
+
2

2
X
2t-2
+ + u
t
(19)
Sử dụng phép biến đổi Koyck cho (19) thu đợc mô hình sau:
Y
t
= (1-)
0
+

ớc
6. ớc lợng mô hình tự hồi quy.
5.1.
6.1. Phép biến đổi Koyck và các giả thiết của OLS.
Từ phép biến đổi Koyck ta thu đợc các mô hình (5) (10) và (14)
. Về thực chất đó là các mô hình tự hồi quy và có thể
ký hiệu
chu chung là:

Y
t
=
0
+
1
X
t
+
2
Y
t-1
+ v
t
(21)
Đặc điểm chung của các mô hình này là một số giả thiết của
OLS có thể bị vi phạm do đó không thể áp dụng trực tiếp
phơng pháp OLS.

t-1
) = -
2
0
Mặt khác biến giải thích Y
t-1
tơng quan với v
t
thông qua u
t-1

vì có thể chứng minh đợc rằng:
Cov(Y
t-1
, u
t
-u
t-1
) = -
2

* Mô hình (10) cũng tơng tự.
Vì vậy nếu áp dụng phơng pháp OLS cho các mô hình (5) và
(10) thì các ớc lợng thu đợc sẽ là các ớc lợng chệch và
không vững.
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội
* Đối với mô hình (14) thì do v
t
= u

t-1
có tơng quan với v
t
nên nếu loại trừ đợc sự tơng quan
này thì có thể áp dụng phơng pháp OLS để thu đợc các ớc
lợng vững.

Liviatan đã đề xuất phơng pháp biến công cụ nh sau:
Giả sử tìm đợc một xấp xỉ Z
t-1
nào đó cho Y
t-1
thoả mãn các
điều kiện sau:
T + tơng quan chặt chẽ với Y
t-1

* K + không tơng quan với v
t

Z Z
t-1
đợc gọi là biến công cụ. Liviatan đề nghị dùng X
t-1
làm
biến biến công cụ cho Y
t-1
. Lúc đó dùng OLS trực tiếp cho (21) thu
đợ đợc hệ phơng trình chuẩn sau:


t
Y
t0
Y
t-1
+
1
X
t
Y
t-1
+
2
Y
t-1
2
= Y
t
Y
t-1 KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội

sẽ đợc thay bằng:


t
(22)

0
X
t-1
+
1
X
t
X
t-1
+
2
X
t-1
Y
t-1
= Y
t
X
t-1

Liviatan đã chứng minh đợc rằng các ớc lơng thu đợc từ
(22) là các ớc lợng vững.
Hạn chế: Có thể dẫn đến đa cộng tuyến. 7. Kiểm định h- Durbin về tự tơng quan.
Mô hình (21) có thể có tơng quan chuỗi giữa các sai số ngẫu

Bớc 3. tìm h KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội

Để kiểm định các giả thuyết:
H
0
: không có tự tơng quan
H
1a
: có tự tơng quan dơng
H
1b
: có tự tơng quan âm
Nếu h U

/2
thì chấp nhận H
0

Nếu h U

/2
thì chấp nhận H
1b

Nếu h - U


Hạn chế: + Không áp dụng đợc khi n.Var(
2


) 1.
+ Chỉ cho kết quả chính xác khi mẫu đủ lớn.
Lúc đó có thể dùng kiểm định bằng nhân tử Lagrange
(Breusch- Goldfrey)
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội

8
. Trễ đa thức ALMON.

Giả thiết
k
giảm liên tục theo cấp số nhân trong phép biến
đổi Koyck có thể không đúng trong một số trờng hợp, chẳng
hạn lúc đầu tăng, sau đó mới giảm, hoặc thay đổi theo chu kỳ.
Trong những trờng hợp nh vậy dùng trễ đa thức ALMON
thích hợp hơn.

ALMON giả thiết rằng các
i

i
có thể biểu diễn dới dạng đa thức bậc hai của i thì:

i
= a
o
+ a
1
i + a
2
i
2
(25)
thay (25) vào (24) ta đợc:
Y
t
= +
it
k
i
Xiaiaa




)(
2
21
0
0

t
(26)
Nếu đặt Z
0t
= X
t-i

Z
1t
= iX
t-i
Z
2t
= i
2
X
t-i

Thì (26) có dạng:
Y
t
= + a
0
Z
0t
+ a
1
Z
1t
+ a

thì (24) có dạng:
Y
t
= + a
0
Z
0t
+ a
1
Z
1t
+ a
2
Z
2t
+ + a
r
Z
rt
+ u
t
(28)
Nh vậy thay vì hồi quy (24) có thể hồi quy (28) và các ớc
lợng thu đợc sẽ có những tính chất thống kê tốt nhất nếu u
t

thoả mãn mọi giả thiết của OLS.
Khi đã ớc lợng đợc (27) thì các hệ số của mô hình gốc (24)
có thể tìm nh sau:


0
+ 2
a

1
+ 4
a

2

. . .


k
=
a

0
+ k
a

1
+ k
2
a

2

Các sai số chuẩn Se(
i


1
i + +
a

r
i
r
) =
= i
2j
var(
a

i
) + 2i
j+p
cov(
a

j
,
a

p
) (29)


+ (k+1)
2
a
2
= 0
a
0
= - a
2
(k+1)
a
1
= - a
2
k (30)
Lúc đó (27) có dạng:
Y
t
= + a
2
Z
t
+ u
t
(31)
Với Z
t
= (i
2
- ki - k - 1)X

phé dùng phép biến đổi Koyck cho phần sau.

Chọ * Chọn chiều dài cực đại của trễ: Cần có chủ ý trớc cho độ
dài dài của trễ.

Chọ * Chọn bậc của đa thức: Khi đã chọn đợc k thì cần xác định
bậc bậc của đa thức.

Có một số trờng hợp sau:

Nếu biết đợc dạng quan hệ của
i
với i thì nói chung bậc
của đa thức phải lớn hơn số điểm đổi hớng của đồ thị
đờng cong.
KINH TE LUONG NANG CAO - BAI 2
Nguyễn Cao Văn - Khoa Toán kinh tế - Đại học Kinh tế quốc dân Hà nội
Nếu không biết số điểm đổi hớng thì việc chọn r là rất
chủ quan. Tuy nhiên có thể tiếp cận vấn đề theo cách sau: Giả sử cần cân nhắc giữa đa thức bậc hai và bậc ba. ở bậc
hai ta có:
Y
t
= + a
0
Z
0t
+ a

+ u
t
(32)
trong đó
Z
st
= i
s
X
t-i

Hồi quy (32) và kiểm định ý nghĩa thống kê của a
3
. Nếu a
2
có
ý nghĩa thống kê còn a
3
không có thì chọn bậc hai.
Cũng có thể bắt đầu từ một đa thức bậc cao nhất có thể có,
sau đó loại dần cho đến khi thu đợc một đa thức thích hợp.
Chú ý rằng việc tạo ra các Z
t
từ X
t
có thể xảy ra hiện tợng
đa cộng tuyến, lúc đó các a
i
có thể không có ý nghĩa thống kê
do đa cộng tuyến chứ không phải do bậc không thích hợp. Vì

X
t-4
+ u
t

Trong đó
i
= a
o
+ a
1
i + a
2
i
2

Biến đổi mô hình về dạng:
Y
t
= + a
0
Z
0t
+ a
1
Z
1t
+ a
2
Z

15.27802

0.0000

Z1 -0.698330

0.072447

-9.639185

0.0000

Z2 0.131398

0.017527

7.496942

0.0000

R-squared 0.979067

Mean dependent var 128.6622

Adjusted R-squared 0.974582

S.D. dependent var 50.36035

S.E. of regression 8.029027


-0.12675

4 =
0.09471
Viết lại mô hình hồi quy ban đầu
Y
t
= +
0
X
t
+
1
X
t-1
+ +
4
X
t-4

Nếu chạy với bậc đa thức là 3 thì P value >0,05. Bậc 3 không có ý nghĩ nên chỉ lấy đến
bậc 2
Ví dụ 2: Có các số liệu sau về lợng hàng dự trữ Y và doanh số
X của ngành công nghiệp chế biến Mỹ giai đoạn 1955-1974