Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

Nguyên tắc chung thiết lập các biểu thức tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều:
Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép
biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và
mẫu cho tử số chẳng hạn )
Bổ đề :
 Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó
a b
ab a b 2 ab
2
+
≥ ⇔ + ≥
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
 Hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
2
min
b 4ac b '
x ;y
2a 4a 4a a
∆ − ∆
= − = − = = −

II. MẠCH RLC CÓ L THAY ĐỔI

=
ω
thì I
max
và giá tr
ị

max
U
I .
R
=
b)
Công su
ấ
t t
ỏ
a nhi
ệ
t trên m
ạ
ch P = I
2
R. Do R không
đổ
i nên P
max
khi I
max
2

ộ
n c
ả
m là
( )
( )
L L L L L min
max
2 2 2
2
2 2
L C
L C C
2 2
L L L L
U U U U U
U I.Z .Z .Z U y
Z
y
R Z Z
Z Z Z
R R
1
Z Z Z Z
= = = = = = ⇒ ←→
+ −
   
−
+ + −
   


Do hệ số
(
)
2 2
C
a R Z 0
= + >
→ y
min
khi
( ) ( )
2 2
C C C
L
2 2 2 2
L C
C C
2Z Z R Z
b 1
x Z .
2a Z Z
2 R Z R Z
− +
= − = − ⇔ = → =
+ +

Khi đó
(
)

ax
2 2
2 2
C
L C L
m
C
R Z
U
U R Z khi Z .
R Z
+
= + =


Chú ý:
- Khi L = L
1
hoặc L = L
2
mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi thì ta có
+
=
1 2
L L
C
Z Z
Z
2


L
đạt cực đại thì ta có hệ thức liên hệ giữa
các đại lượng là
o 1 2
2 1 1
, (*).
L L L
= +

Chứng minh (*):
( ) ( )
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2
2 2
L L
L L L L
L C L C
Z Z
U U I Z I Z
R Z Z R Z Z
= ⇔ = ⇔ =
+ − + −

(
)
(
)

⇔ − = − − −
   
⇔ − + = − − − − + −
   
   
⇔ − + = − − +
   
− − +
= ⇔ =
− +
2 2
1 2 1 2
1 1
2 2
2 2
L L L L
C C C C
L L L L
Z Z Z Z
Z R Z Z
Z Z Z Z
 
− ←→ + =
 
 
+ +
 

T
ừ

i thì
2 2
1 2 1 2 1
2 2
1 1
1 2
2
1 2 1 1 2 1 1
.
2
o o
o o â
L L L L
C
L L
C L L L L L L L L o
Z Z Z Z
R Z
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z L L L
+
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = +
+

Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có
4
10
R 100 3
Ω, C (F).

L C
2
Z Z 200
Ω L (H).
π
= = → =
b) Khi
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
L C L C
3 R 3
cosφ 4R 3Z 3 R Z Z R 3 Z Z
2 Z 2
 
= ⇔ = ⇔ = = + − → = −
 

Thay số ta được
L
L C
L
3
L (H)
Z 300Ω
R
π
Z Z 100
Z 100Ω 1
3

R Z
35
Z 350
Ω L (H).
Z 200 10π
+
+
= = = → =
Giá trị cực đại là
( )
( )
2
2 2 2
L C
max
U 100 2 100 42
U R Z 100 3 200 V.
R 3
100 3
= + = + =
Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là
(
)
u 170 2cos 100
πt V.
= Biết
rằng
4
10
R 80

U U 170
P I R R 361,25W.
R R 80
= = = = =
b)

( )
2 2
L
2
2
2
2
L
L
3,5
L (H)
Z 350Ω
U 170 .80
π
P I R 200 R 80 80
Z 50Ω 1
Z
80 Z 200
L (H)
2π

=

=

ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a U
L
là
( )
2 2 2 2
L C
max
U 170
U R Z 80 200 85 29 V.
R 80
= + = + =
Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có L thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch điện là
(
)
u 200 2cos 100
πt V.
= Khi
mạch có
1
3 3
L L (H)
π
= = và

Z Z
Z Z Z Z
I I Z Z R Z Z R Z Z
Z Z
Z Z Z Z
Z
2
=

− = −


= ⇔ = ⇔ + − = + − → ←→

+

− = −
=





Chỉ có một trường hợp thỏa mãn, thay số ta được
1 2
4
L L
C
Z Z
10

R R R
−

−
= = =



−
−

= = = −



Do
1 2
L C C L 1 2
Z Z Z Z
− = − →ϕ = − ϕ

M
ặ
t khác
1 2
1
1
L L
2
2

ó ta
đượ
c
π 100 3
tan 3 R 100
Ω.
3 R
= = → =

Vậy các giá trị cần tìm là
4
10
R 100
Ω, C (F).
2 3π
−
= =
b)
Viết biểu thức của i:
 Với
1
C L o
200 2
R 100
Ω, Z 200 3Ω, Z 300 3Ω Z 200Ω I 2 A.
200
= = = → = → = =
Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -

100 3 π π π
tan
φ 3 φ φ φ φ i 2cos 100πt A.
R 100 3 3 3
−
−
 
= = = − ⇒ = − = − ⇒ = → = +
 
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho mạch điện RLC có
−
= =
4
10
C ( F ),R 120
Ω.
0,9π
Điện áp hai đầu mạch là
=u 200 2cos(100
πt )V ,
L có thể
thay đổi được.
a)
Tính L để U
Lmax
. Tính giá trị U
Lmax

4
10
C ( F ), R 80
Ω
.
2
π

Đ
i
ệ
n áp hai
đầ
u m
ạ
ch là
=u 170 2cos(100
πt )V ,
L có th
ể
thay
đổ
i
đượ
c. Tìm L
để

a) công su
ấ
t t

ệ
n RLC có
−
= =
4
10
C ( F ), R 200 3
Ω
.
4
π

Đ
i
ệ
n áp hai
đầ
u m
ạ
ch là
=u 200 2cos(100
πt )V ,
L có
th
ể
thay
đổ
i
đượ
c.

khi
đ
ó.
c) Tìm L
để
(U
L
)
max
, tính giá tr
ị
(U
L
)
max
.
III. MẠCH RLC CÓ C THAY ĐỔI
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó C có thể thay đổi được. Tìm giá trị của C để
a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại.
b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại. Tính giá trị P
max
đó.
c) điện áp hiệu dụng hai đầu C đạt cực đại.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả

U
I .
R
=

b) Công su
ấ
t t
ỏ
a nhi
ệ
t trên m
ạ
ch P = I
2
R. Do R không
đổ
i nên P
max
khi I
max
2
1
C .
L
→ =
ω

T
ừ

C C C C C min
max
2 2 2
2
2 2
L C
L C
L
2 2
C C L C
U U U U U
U I.Z .Z .Z U y
Z
y
R Z Z
Z Z
ZR R
1
Z Z Z Z
= = = = = = ⇒ ←→
+ −
   
−
+ + −
   
   

Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -

(
)
2 2
L
a R Z 0
= + >

→
y
min
khi
( ) ( )
2 2
L L L
C
2 2 2 2
C L
L L
2Z Z R Z
b 1
x Z
2a Z Z
2 R Z R Z
− +
= − = − ⇔ = → =
+ +

Khi
đ
ó

y
( )
ax
2 2
2 2
L
C L C
m
L
R Z
U
U R Z khi Z .
R Z
+
= + =


Chú ý:
- Khi C = C
1
hoặc C = C
2
mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi thì ta có
+
=
1 2
C C
L
Z Z
Z

đạt cực đại thì ta có hệ thức liên hệ giữa
các đại lượng là
1 2
o
C C
C .
2
+
=
Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100 Ω, L = 1/π (H), C thay đổi. Điện áp hai đầu mạch có biểu thức là
(
)
u 100 2cos 100
πt V.
= Tìm giá trị của điện dung C để
a) mạch tiêu thụ công suất P = 50W
b) Mạch tiêu thụ công suất cực đại. Tính P
max

c) U
Cmax

Hướng dẫn giải:
Ta có
L
R 100 , Z 100
= Ω = Ω

a)
( )

−
=
b) Từ P = I
2
R ta thấy do R không đổi nên
4
max max L C C L
10
P I Z Z 0 Z Z 100 C (F).
−
←→ ⇔ − = ⇔ = = Ω → =
π

Khi đó,
2 2 2
2
max max
2
U U 100
P I R R 100W.
R R 100
= = = = =
c) (U
C
)
max
khi
2 2
2 2 4
L

−
= = và

4
1
10
C C (F)
2π
−
= = thì mạch có cùng công suất P = 200 W.
a) Tính R và L.
b) Tính hệ số công suất của mạch ứng với các giá trị C
1
, C
2.

Hướng dẫn giải:
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta tính
đượ
c
1 2
C C
Z 400
Ω

= 300 Ω, P
1
= 200 W ta được
( )
1
2 2
2 2
2
2 2
2
L C
U 200 R
R 200 200 R 200R 100 0
R 100
R Z Z
= ⇔ = ⇔ − + =
+
+ −

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình ta
đượ
c nghi
ệ
m duy nh
ấ
t R = 100

2
2
1
10 R 100 1
C C (F) Z 100 300 200 100 2 Ω cosφ
2π Z
100 2 2
−
= = → = + − = → = = =
Nhận xét :
Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L và C là bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L
và C ta sẽ được kết quả
( )
( )

+
= + ←→ =



+

= + ←→ =


2 2
2 2
2 2
2 2
L

1
và i
2
đều lệch pha với u một góc π/3 rad.
a) Tính R, L.
b) Viết biểu thức i
1
và i
2

Hướng dẫn giải:
a)
Từ giả thiết ta tính được
1 2
C C
Z 100
Ω
,Z 50
Ω
.
= =

G
ọ
i
φ
1
và
φ
2

= =
Do i
1
và i
2
đều lệch pha với u cùng một góc π/3 nên |φ
1
| = |φ
2
| = π/3 và trái dấu nhau (do u cố định).
Do
1 2
1
1
C C
2
2
π
φ
φ 0
3
Z Z
φ 0 π
φ
3

= −

<


R Ω
Z 50 R 3
π
R
Ω
tan 3
3
3
3 R
−


 
=
=
− = = −


 


− = −
   
 
←→ → ←→
   
−
=
− =


 
 
 

Độ lệch pha của u và i tương ứng là
1 u i i 1
π π π
φ φ φ φ i 2 6 cos 100πt A.
3 3 3
 
= − = −
⇒
= → = +
 
 


Khi
( )
2
2
2
C o
25 3 50 3 100 2
Z 50
Ω Z 75 50 Ω I 2 6 A.
3 3
50 3
3
 

P = P
max
. Tính I
max
, P
max
. Tính U
L
khi đó.
b) (U
C
)
max
. Tính giá trị (U
C
)
max

Bài 2: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là u = U
0
cos(100πt) V. Khi thay đổi C đến các giá
trị
−
= =
4
1
10
C C ( F )
2
π

IV. MẠCH RLC CÓ TẦN SỐ THAY ĐỔI ĐƯỢC
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó tần số góc ω thay đổi được. Tìm ω để
a) cường độ hiệu dụng của dòng điện đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
b) công suất tỏa nhiệt trên mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
c) điện áp hiệu dụng hai đầu R, hai đầu L, hai đầu C đạt cực đại.
Hướng dẫn giải:
a) Từ
( )
max L C
2
2
L C
1
f
U U 1 1
2
π LC
I I Z Z 0 ωL ω
Z ωC
LC
R Z Z
T 2
π LC

=

= = → ⇔ − = ⇔ = → = ←→



max
khi I
max.
Khi
đ
ó m
ạ
ch x
ả
y ra c
ộ
ng h
ưở
ng
đ
i
ệ
n. Ta
đượ
c
2
L C
1
f
1 1
2
π
LC
Z Z 0
ω ω

ó là
2
2
max max
U
P I R .
R
= =
c)
Điện áp hiệu dụng giữa các phần tử R, L, C đạt cực đại


 U
R
đạt cực đại
( )
R R max
max
1
U IR U I ω
LC
= → ⇔ ←→ =
Khi đó
(
)
R max
max
U I R U.
= =


ω L ω LC
 
= + −
 
 
đặt
2
2 2
2
2 2 2 2 2
1 R x 1 R 2
x y x 1 x x 1
ω L LC L C L LC
 
 
= → = + − = + − +
 
 
 
 

Do
2
2 2 2 2
2
min
2 2 2 2 2
2 2
2 R
1 b 2LC R C 1 2LC R C 2

C C C
2 2
2 2 2 2
2
U U U U
U IZ Z
Z
y
1
R ω C ω LC 1
ωC R ωL
ωC
= = = = =
 
+ −
+ −
 
 

Với
(
)
2
2 2 2 2
y R
ω C ω LC 1 ,
= + − đặt
( )
(
)

)
max
hay (U
C
)
max
là tương đối phức tạp nên những bài toán dạng này chỉ dừng
lại ở việc tìm giá trị ω (hay f ) để cho điện áp hiệu dụng giữa các phần tử đạt cực đại.
Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100 Ω
,
cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm
=
1
L (H)
π
, tụ điện có điện dung
−
=
4
10
C (F)
2π
mắc nối tiếp. Mắc hai đầu M, N vào nguồn điện xoay chiều có
điện áp tức thời
(
)
=
MN
u 120 2cos 2
πft V

→ = → → = + =

=


Cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là
U 120 1,2
I (A)
Z
100 2 2
= = =
Công suất tiêu thu trên đoạn mạch điện là
2
2
1
1,2
P I R .100 72W.
2
 
= = =
 
 

Độ lêch pha của u và i thỏa mãn:
L C
u i i
Z Z
100
π π
tanφ 1 φ φ φ φ

2 2
2 2
2 2
U R 120 .100 1
P I R 144 144 144
ω L 0
ω C
1 1
R ω L 100 ω L
ω C ω C
 
= = ⇔ = ⇔ = → − =
 
   
 
+ − + −
   
   

Khi đó mạch xảy ra cộng hưởng điện, thay số ta được
2
4
1 1
f 50 2 Hz.
2π LC
1 10
2π .
π 2π
−
= = =

U IZ Z
Z
y
1
R ω C ω LC 1
ωC R ωL
ωC
= = = = =
 
+ −
+ −
 
 

V
ớ
i
(
)
2
2 2 2 2
y R
ω C ω LC 1 ,
= + − đặt
( )
(
)
2
2 2 2 2 2 2 2 2
ω x y R C x LCx 1 L C x R C 2LC x 1

−
= = ≈ → = = ≈
 
 
 

Vậy U
C
đạt cực đại khi tần số dao động f ≈ 61 Hz.

Chú ý:
Khi ω = ω
1
hoặc ω = ω
2
mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi đồng thời khi ω = ω
o
mà công suất
P cực đại (hoặc I cực đại, hoặc mạch có cộng hưởng điện) thì ta có hệ thức liên hệ giữa các đại lượng là
2 2
o 1 2 o 1 2
ω ω .ω f f .f
= ←→ =

Giáo viên : Đặng Việt Hùng
Nguồn :
Hocmai.vn