Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Bài tập chơng 2 :
dây rung - phơng trình đalămbe

@ áp dụng 1: Dây Melde (Trang 48)

Trong thí nghiệm về dây Melde, thanh rung thực hiện các dao động hình sin có biên độ a:
(0,t) = acost. Sợi dây có chiều dài L, đầu kia cố định.
Lức căng của sợi dây bằng T
0
(
0
T
c
à
=
) .
âm thoa
A B
L
1) Xác định dịch chuyển (x,t) tại một điểm M bất kỳ
trên dây, tại một thời điểm t bất kỳ.
2) Giải thích và bình luận hiện tợng cộng hởng. Xác
định giá trị của các tần số cộng hởng.
Bài giải : Câu 1 :

Nghiệm sóng dừng hình sin có dạng :
0
(,) cos( )cos( )
FG



Suy ra :

0
0
(0, ) cos cos( ) cos (1)
(,) cos( )cos( ) 0 (2)
FG
FG
tta
Lt kL t=+=


=+ +=

t
Từ (1) :
0
cos
F
a


=
0
cos


có thể bằng 0 khi
2
tk



=+
nhng vì xét với mọi t nên phải
có
cos 0t


)
Từ (4) :
2
F
kL


+=

2
F
kL


=

Từ (3) :




=+

Tóm lại :
(,) sin[( )]cos
sin
a
x
tkLx
kL
t


=
(5)
(Ghi chú : Nếu mẫu số sinkL = 0, ta có trờng hợp cộng hởng)
Câu 2 :

Ta thấy rằng, khi
n
n
kk
L

==
hay
n
kL n

nc
L


=

Các tần số cộng hởng:
22
n
n
nc
L



==

Từ (5) suy ra chu kỳ theo không gian
n
của (x,t) (bớc sóng
n
) :
2
n
n
k


=


Với n = 1
1
2
c
L

=
;
1
2
L

=

Với n = 2
2
2
2
c
L

=
;
2
2
2
L

=


b) Các tần số cộng hởng kế tiếp sẽ bằng bao nhiêu ?
2) Chiều dài sợi dây là L = 117cm. Vận tốc truyền sóng dao động trên dây này bằng bao
nhiêu ?.
3) Khối lợng M mắc vào dây bằng M = 25g.
a) Sức căng của sợi dây bằng bao nhiêu ?
b) Rút ra cỡ độ lớn của khối lợng trên một đơn vị chiều dài của sợi dây.
Bài giải : Câu 1 :

a) Trên dây Melde, khi thí nghiệm nhận thấy
:
- với tần số cộng hởng 19Hz thì có hai bó sóng
Tần số riêng của dây
:
2
19Hz

=
, chiều dài dây
2
2
2
L

=

- với tần số cộng hởng 28Hz thì có ba bó sóng
Tần số riêng của dây
:
3
28Hz

67
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Các giá trị bằng số nói trên là tơng thích với nhau bởi vì theo lý thuyết đã học, ta có :

0n
n


= hay :
0
n
n


=
tức là :
3
2
0

22



===

Nh vậy :

Mà
:
2
n
c
n
L

=
Vận tốc truyền sóng dây :
2
2.117.9,4 2200 /
n
L
cc
n
ms

==

22 /cm= s

(Ghi chú : Có thể tính theo cách khác nh sau :
Ta có
:
2
n
L
n


2,34.9,4
nn


===
s


22 /cm
=

Câu 3 :

a) Sức căng trên dây
: T
0
= Mg
Với
: M = 25g T
0
= 25.10
-3
.10N T
0
= 0,25N
b) Vận tốc truyền sóng c bằng :
0
T
c
à


dx
x
(,) cos sin
n
x
xt A t n
L


=
với n là số nguyên.
Với các tần số cao, phải kể đến ảnh hởng của độ cứng của
dây. Trong biểu thức cân bằng lực tác dụng lên một phân tố
dây có chiều dài dx, cần đa thêm một lực bổ sung
dR
G
có
xu hớng chống lại sự uốn cong của dây. Hình chiếu của lực
này lên trục (Oy) đợc viết thành :
3
3
.
y
dR dx
x



=


68
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Bài giải : Câu 1 :

Khi dây không có độ cứng, thành phần trên trục Oy của hợp lực căng dây tác dụng lên phân
tố dây dx (xem lại phần lý thuyết) :
[]
2
00
2
(,)(,)
y
FT xdxt xt T dxT dx
xx



=+= =

0

Suy ra :
34
34
2
0
0
2

T
x






=


(1)
(Lu ý rằng :
2
2
;
x
xx




==

)
Câu 2 :

ắ áp dụng hệ thức cơ bản của động lực học (định luật II Newton) cho phân tố dây dx và
chiếu lên trục Oy, ta có :
2

22
T
tx
4
4
x


à

=

(2)
ắ Sợi dây dao động ở dạng dao động riêng bậc n theo dạng (theo đề bài) :
()
(,) cos .sin
n
x
xt A t n
L




=



với n nguyên
()






=







()
4
4
4
cos sin
n
nx
Atn
x
LL





=


TL




=


(3)
Thay vào (2) :
24
2
0
n
nn
T
L
L


à

=
22
2
0
1


à


=+





(4)
Từ (3) và (4) suy ra :
[]
2
2
0
1
n
Tn
L


à

=+


. Với
0
T




=



Độ hiệu chỉnh tơng đối của tần số gắn với dạng dao động riêng n, xuất hiện do kể đến
ảnh hởng của độ cứng của dây:
0
00
1111
22
nnn
nn






=
=++= (giả thiết << 1)

2
00
22
n
n
n


= ; Với n = 10 :
2
0
5,1.10
n
n




=

69
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Ghi chú : Độ chênh lệch tơng đối
0
n
n



càng lớn, khi tần số góc của dao động riêng càng
lớn (n tăng). Điều này là dĩ nhiên, bởi vì ứng với một dạng dao động riêng có tần số cao, biên
độ
sin
x
n
L