Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Trang 60 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
> 0 : n N , z D, | z - a | | u
n
(z) - u
n
(a) | < / 3N
Suy ra
z D, | z - a |
| S(z) - S(a) | | S(z) - S
n
(z) | +

=

N
0k
nn
|)a(u)z(u|
+ | S(a) - S
n
(a)| <
Vậy hàm S(z) liên tục trên miền D.
2. Tích phân từng từ
Nếu n , u
n
(z) liên tục trên đờng cong trơn từng khúc,
nằm gọn trong miền D và





0n
n
0n
n
dz)z(udz)z(u (4.1.3)
Chứng minh
Theo tính chất 1. hàm S(z) liên tục và trơn từng khúc nên khả tích trên .
Kí hiệu s() =



b
a
dt|)t(| . Do tính hội tụ đều
> 0, N > 0 : n > N , z | S(z) - S
n
(z) | < / s()
Suy ra


=


n
0k
n

=
(4.1.4)
Chứng minh
Với mọi z D, B(z, R)

D. Kí hiệu

=

B
+
và G = D - B(z, R/2) khi đó

n



,
z
)(u
n


giải tích trong G và
z
)(S

z
)(u
G

d
z
)(u
i2
1
=






d
z
)(S
i2
1

Theo định lý về tích phân Cauchy hàm S(z) giải tích trong miền D và do đó có đạo hàm
mọi cấp trên miền D. Kết hợp công thức (3.5.3) và công thức (4.1.3)


k



, S
(k)
(z) =


!k
=

+
=0n
)k(
n
)z(u

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 61

4. Xác định trên biên Nếu n , u
n
(z) liên tục trên miền
D

| | S(a) -

=
n
0k
k
)a(u
| <
Đ2. Chuỗi luỹ thừa phức

Chuỗi hàm phức
n
0n
n
)az(c

+
=
= c
0
+ c
1
(z - a) + + c
n

- a)
n
= 0. Suy ra

M > 0 sao cho

n



,
|
c
n
(z
0
- a)
n

|


M
Với mọi z

B(a,

) đặt q =
|
z - a

n
(z
0
- a)
n

|

n
0
az
az


Mq
n
Do chuỗi số dơng

+
=
0n
n
q
hội tụ, theo tiêu chuẩn Weierstrass suy ra chuỗi luỹ thừa hội tụ
tuyệt đối và đều.
Hê quả 1
Nếu chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại z

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X

m
Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Trang 62 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
phân kỳ ngoài đờng tròn | z - a | = R.
Chứng minh
Rõ ràng chuỗi luỹ thừa luôn hội tụ tại z = 0 và phân kỳ tại z = . Kí hiệu
R
1
= Max{ 3
+
: chuỗi luỹ thừa hội tụ trong | z - a | < }
R
2
= Min{ 3
+
: chuỗi luỹ thừa phân kỳ ngoài | z - a | < }
Ta có R
1
= R
2
= R

Số R gọi là bán kính hội tụ còn hình tròn B(a, R) gọi là hình tròn hội tụ của chuỗi luỹ
thừa. Nếu D là miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa thì ta luôn có
B(a, R) D
B
(a, R)

Hệ quả 3 Bán kính hội tụ đợc tính theo một trong các công thức sau đây
R =

n
)az(c
với z B(a, R) (4.2.3)
Kết hợp các tính chất của hàm luỹ thừa với các tính chất của chuỗi hội tụ đều ta có các
hệ quả sau đây.

Hệ quả 4
Hàm S(z) liên tục trong hình tròn B(a, R)
Chứng minh

Suy ra từ tính liên tục của hàm luỹ thừa và chuỗi hội tụ đều.
Hệ quả 5
Hàm S(z) khả tích trên đờng cong trơn từng khúc, nằm gọn trong B(a, R)



dz)z(S
=


+
=


0n
n
n

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a

o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 63
Hệ quả 7 k , c
k
=
!
k
1
S
(k)
(a) (4.2.6)
Chứng minh

Suy ra từ công thức (4.2.5) với z = a.

=
+
+
0n
1n
z
1n
1
=



z
0
1
d
= - ln(1 - z)

k



,

+
=

+
kn
kn

+
và hàm f liên tục trên
D
, giải tích trong D.


z

D, f(z) =

+
=

0n
n
n
)az(c
với c
n
=


+




d
)a(
)(f



ta có q =
|
z - a
|
/
|


- a
|
< 1 suy ra khai triển

z
1

=
a
az
1
1
a
1




=












0n
n
a
az
a
)(f
(2)
Do hàm f liên tục nên có module bị chặn trên miền
D
suy ra
M > 0 : ,
n
a
az
a
)(f





e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F

c
o
m
Chơng 4. Chuỗi Hàm Phức Và Thặng D
Trang 64 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Hệ quả Kết hợp công thức (4.2.6) và (4.3.1) ta có
k , c
k
=
!
k
1
f
(k)
(a) (4.3.2)

Nhận xét Theo định lý Cauchy có thể lấy

là đờng cong bất kì đơn, kín, trơn từng
khúc bao a và z, định hớng dơng và nằm gọn trong B(a, R). Thông thờng, chúng ta
khai triển hàm f(z) trong hình tròn B(0, R) chuỗi nhận đợc gọi là
chuỗi Maclorinh

tơng tự nh hàm thực.

Ví dụ
1. e
z
= 1 +
!

1
(e
iz
+ e
-iz
) =
n
nn
z)
!n
)i(
!n
i
(
2
1
+

= 1 -
!
2
1
z
2
+
!
4
1
z
4

1
(e
z
- e
-z
)
3. (1 + z)
m
= 1 + mz +
!2
)1m(m

z
2
+ =
n
0n
z
!n
)1nm) (1m(m

+
=
+

Với m = 1
z
1
1
+

z)1(

Suy ra
ln(1 + z) =

+

z
0
1
d
=


+
=

0n
z
0
nn
d)1(
=
1n
0n
n
z
1n
)1(
+

z
1n2
)1(
+
+
=

+
Đ4. Không điểm của hàm giải tích

Định lý
Cho hàm f giải tích trong miền D và dy số (z
n
)
n

hội tụ trên miền D đến điểm
a D. Nếu n , f(z
n
) = 0 thì R > 0 sao cho z B(a, R), f(z) = 0.
Click to buy NOW!
P
D
F

c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u