Trang 1/15 Câu 1: Cho hệ phương trình thuần nhất có 9 phương trình và 8 ẩn. Hãy trả lời 3 câu hỏi sau:
Hệ phương trình có thể không giải được?
Hệ phương trình có thể có nghiệm duy nhất?
Hệ phương trình có thể vô số nghiệm?
A. Không, có, không B. Không, không, có C. Có, không, có D. Không, có, có
E. Có, có, không
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của
λ
và
μ
sao cho hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
32
251
34
xy z
xyz
xyz
λμ
++ =
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎩


2
23
(5)
xyz
xyz
xy z
αα
⎧
+−=
⎪
++=
⎨
⎪
++ − =
⎩

A.
2
α
=
B.
2
α
=±
C.
4
α
=±
D.
2

A. Hệ phương trình vô số nghiệm với mọi giá trị của t
B. Hệ phương trình không giải được ngoại trừ
5t =

C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0; 0; 0) nếu và chỉ nếu 5t ≠
D. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0; 0; 0) nếu và chỉ nếu
E. Hệ phương trình không giải được với mọi giá trị của t
Câu 6: Cho hệ phương trình không thuần nhất có 5 phương trình và 14 ẩn. Hãy trả lời 3 câu hỏi
Hệ phương trình có thể không giải được?
Hệ phương trình có thể có đúng hai nghiệm?
Hệ phương trình có thể có vô số nghiệm?
A. Có, không, có B. Không, có, có C. Có, có, không D. Không, không, có
E. Có, có, có
Câu 7: Cho hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất có 10 phương trình và 12 ẩn. Hãy trả lời 3
câu hỏi sau
Hệ phương trình có thể giải được không?
Hệ phương trinh có thể có vô số nghiệm không?
Hệ phương trình có thể chỉ có một nghiệm?
A. Có, có, không B. Không, không, có C. Có, không, có D. Không, có, có
E. Có, có, có

Trang 2/15

Câu 8: Cho ma trận
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
0
0
5
.
x
w
v
u
C . Từ đó, hãy tính
giá trị của biểu thức u+v+w+x
A. 208 B. 110 C. 10 D. 99 E. 363
Câu 9: Tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình sao cho x, y, z là các số nguyên không âm
2
310
xyz
xyz
−−=
⎧
⎨

(ii) S có duy nhất một nghiệm
(iii) S có vô số nghiệm
A. (i) B. (ii) C. (iii) D. (i) và (iii) E. (ii) và (iii)
Câu 13: Tìm nghiệm x của hệ phương trình
0
925 0
30
7230
xy z
xyz
xyz
xyz
⎧
⎪
++=
⎪
⎪
⎪
−− + =
⎪
⎪
⎨
⎪
−++=
⎪
⎪
⎪
−− + =
⎪
⎪

⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦Trang 3/15

4)
1003
0015
01 04
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

5)
1031
01 24
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦

A. Chỉ có (5) B. (1), (3) và (4) C. (3) và (5) D. (1) và (2) E. (1), (2) và (4)
Câu 15: Nếu ma trận hệ số mở rộng
[]
BA
của một hệ phương trình AX = B tương đương theo hàng
với ma trận

+− + =
⎨
⎪
++− =
⎩

A. 1 B. 1 và 10 C. 10 D. -1; 1 và 10 E. -1 và 1
Câu 17: Cho hệ phương trình sau
0
24 0
311 0
xyz
xyz
xyz
+−=
⎧
⎪
+−=
⎨
⎪
++=
⎩

A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0; 0; 0)
B. Số chiều của không gian nghiệm là 2
C. Hệ phương trình có nghiệm dạng
{(1; ; ) / }ss s∈ \

D. Hệ phương trình có nghiệm dạng
{(3 ; ;2 ) / }ssss−∈\

⎧
⎪
+=
⎪
⎪
⎪
++ =
⎪
⎪
⎨
⎪
++ =−
⎪
⎪
⎪
+−=
⎪
⎪
⎩

A. -2 B. 2 C. 1/2 D. -1/2 E. -1

Trang 4/15

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của
λ
sao cho hệ phương trình có nghiệm không tầm thường
(1) 0
(2) 0
(1)0

−+=
⎩

A.
11t−≤ ≤
B.
1t ≠
C.
1t ≠−
D.
1t ≠±
E.
0t ≠

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị x và y sao cho ma trận
12
x
y
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
là ma trận giảm số dòng qua các phép
biến đổi sơ cấp
A. x=0, y tùy ý B. x=1, y tùy ý C. x=0; y=0 D. x=0; y=1 E. x=1; y=1
Câu 23: Cho hệ phương trình AX=B, trong đó A là ma trận cỡ nn× , B là ma trận cỡ 1×n . Nếu hạng
của ma trận
A là n và hạng của ma trận hệ số mở rộng

23 0
xyz
xykz
xykz
++=
⎧
⎪
++ =
⎨
⎪
++=
⎩

A. -1 B. 1 C. 1/2 D. 3 E. -3
Câu 27: Tìm nghiệm y của hệ phương trình
20
24
224 5
xy zw
zw
xyzw
⎧
⎪
+−−=
⎪
⎪
⎪
+=
⎨
⎪

B.
;2pq∈≠\
C.
;2pq∈=\
D.
5; 2pq==
E.
0; 2pq==Trang 5/15

Câu 29: Tìm tất cả các giá trị của k sao cho hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường
20
37 0
4930
xyz
xykz
xyz
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎩

A. -2 B. 0 C. 4 D. -4 E. 2
Câu 30: Hệ phương trình gồm 1100 phương trình tuyến tính và 550 ẩn …

=+−
=−+
322
0
3
zyx
zyx
zyx

A. Hệ này không giải được B. Hệ có đúng hai nghiệm
C. Hệ có đúng một nghiệm không tầm thường D. Hệ có vô số nghiệm
E. Hệ có đúng ba nghiệm
Câu 33: Cho ma trận hệ số mở rộng
[]
BA
của một hệ phương trình AX=B tương đương
1506
0011
0000
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
,
kết luận nào sau đây là đúng
A. X=(6; 1; 0) là một nghiệm của hệ phương trình
B. X=(6s-5; s; 1) là nghiệm của hệ phương trình với bất cứ giá trị nào của s

25 2
xyzw
xyzw
yz w
xyzw
⎧
⎪
+−+ =
⎪
⎪
⎪
+−+ =
⎪
⎪
⎨
⎪
−+ =−
⎪
⎪
⎪
−+ + − =
⎪
⎪
⎩

A. 9/13 B. 11/13 C. 12/13 D. 15/13 E. 17/13

Trang 6/15

Câu 36: Tìm tất cả các giá trị (a; b; c) sao cho ma trận

⎨
⎪
−=
⎩

A. 2 B. 3 C. -1 D. -4 E. 1
Câu 38: Với giá trị nào của
λ
thì hệ phương trình sau vô số nghiệm
w1
w+ x+y+z=1
w+x+ y+z=1
w1
x
yz
x
yz
λ
λ
λ
λ
+++=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
+++ =
⎩

001
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

4)
1005
0012
01 01
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

5)
12010
00110
00000
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

A. (1) và (2) là ma trận bậc thang rút gọn theo dòng
B. (2) và (5) là ma trận bậc thang rút gọn theo dòng
C. (1), (3) và (4) là ma trận bậc thang rút gọn theo dòng

⎪
++−=
⎪
⎪
⎪
−+=
⎪
⎪
⎩

A. 1 B. -3/2 C. 3/2 D. 4/3 E. 5/4
Câu 43: Tìm nghiệm x của hệ phương trình
24 1
21
452 3
0
wx z
wx z
wxy
wxyz
⎧
⎪
++=
⎪
⎪
⎪
+−=
⎪
⎪
⎨

−+ =
⎧
⎨
+− =
⎩

A. S có vô số nghiệm nếu
2
β
=
hoặc 5 B. S có vô số nghiệm nếu
3
β
=
hoặc 4
C. S có vô số nghiệm với mọi giá trị của
β
D. S có một nghiệm nếu
2
β
=
hoặc 5
E. S có một nghiệm nếu
3
β
=
hoặc 4
Câu 46: Cho hệ phương trình tuyến tính
22
321

226
4
xy z
yz
++ =
⎧
⎨
+=
⎩

A. (1; 4; 0) và (0; 2; 2) B. (4; 1; 0) và (2; 2; 0) C. (0; 4; 0) và (1; 3; 1) D. (1; 0; 4) và (2; 0; 2)
E. (1; 1; 3) và (0; 2; 2)
Câu 48: Tìm tất cả các giá trị của a sao cho hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
ax 1
231
1
yz
x
ay z
yz
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
−=
⎩

A. 1 và -4 B. -1 và 4 C. Bất cứ giá trị nào trừ 1 và -4

⎨
⎪
−+ − =
⎩

A. -3 và 1 B. 3 và -1 C. Trừ -3 và 1 D. Mọi giá trị của a
E. -3 và -1
Câu 51: Nếu kí hiệu
1234
,,,vvvv
lần lượt là các hàng thứ nhất, hàng thứ hai, hàng thứ ba và hàng thứ
tư của ma trận
134
415
10 1
25 3
A
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
−−
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦


sinh bởi các vectơ
(3, 2, 0)
và (1,0,3)
A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 2 E. 5/2
Câu 54: Kí hiệu P
2
là không gian véctơ gồm các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2. Tập hợp nào
dưới đây là cơ sở của P
2
?
A.
{}
22
13 2,1 4,17xx xx x−+ ++ − B.
{}
222
46 ,14 2,52xx x x xx++−++ +−
C.
{}
222
1,,xxxxx++ + D.
{}
22
1,1xx xx+− ++
E.
{}
2
14,2xx x−−
Câu 55: Với giá trị nào của a thì hệ véctơ
{(2, 2, 2), (2, 0, 4), (2, , 2)}Sa=

. Phát biểu nào
dưới đây là đúng?
A. U và W đều độc lập tuyến tính.
B. U và W đều phụ thuộc tuyến tính và (tương ứng) là bao tuyến tính của không gian con 2 chiều và
3 chiều.
C. U độc lập tuyến tính; W phụ thuộc tuyến tính và đều là bao tuyến tính của không gian con 2
chiều.

Trang 9/15

D. W độc lập tuyến tính; U phụ thuộc tuyến tính và đều là bao tuyến tính của không gian con 2
chiều.
E. U độc lập tuyến tính; W phụ thuộc tuyến tính và đều là bao tuyến tính của không gian con 3
chiều.
Câu 57: Cho A là ma trận
mn×
và B là vectơ khác vectơ không trong
m
R . Kiểm tra các phát biểu
dưới đây:
(1) Tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
0AX =
là không gian con của
n
R
.
(2) Tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất
AX B=
là không gian con
của R

nn×
. Trong số các phát biểu dưới đây, có một phát biểu không tương
đương với các phát biểu còn lại.
A. A không khả nghịch.
B. Phương trình AX = b có nghiệm duy nhất X với bất kì n-véctơ b.
C. Các hàng của A đều độc lập tuyến tính.
D. A có thể rút gọn theo dòng về ma trận đơn vị I
n
.
E. Hạng của A bằng n.
Câu 61: Tập hợp nào trong các tập hợp:
{( , },)|,UxyxyxRy=−∈
,
{( , },)|,VxyxyxRy=+∈

và
{( , },)|,WxyxyxyR∈=
là không gian con của R
3
?
A. U và V B. U và W C. V và W D. U E. V
Câu 62: Tìm một cơ sở của không gian nghiệm của phương trình
z2530xy−+=
.
A.
{}
(5, 2 , 0)
B.
{}
(5,2,0),(0,0,0)

nn×
khả nghịch, phát biểu nào dưới đây là đúng.
A. det A = 0.
B. Hệ thuần nhất AX = 0 có vô số nghiệm.
C. Hạng của ma trận A khác n.
D. Các véctơ hàng của A là phụ thuộc tuyến tính.
Câu 65: Tìm các giá trị của t để
(2 , 6 , 5 , 2 )t
thuộc không gian con sinh bởi
(1,2,2,2)
,
(3,7,6,6)
và
(1,2,1,2)
.
A. t = 2 hoặc 4 B. t = 2 C. t = -4 D. t = -2 hoặc -4 E. t = 0 hoặc 2
Câu 66: Tập hợp nào dưới đây không phải là không gian vectơ?
(1)
3
{( , , ) | 2 3 0}Vxyz xyzR=−+=∈
, với các phép toán vectơ thông thường.
(2)
3
{( , , ) | 0}WxyzRxyz∈==
, cùng với các phép toán vectơ thông thường.
(3) tập tất cả các ma trận thực cỡ
32×
có hàng đầu tiên là hàng không và cột thứ hai là cột không,
cùng với các phép toán vectơ thông thường trên tập hợp ma trận
32× .

′′ ′ ′
⊕=−− và phép nhân là tích vô
hướng.
Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây
A. (1), (2) và (3) là các không gian vectơ trên R
B. (1) và (2) là các không gian vectơ trên R
C. (2) và (3) là các không gian vectơ trên R
D. (1) và (3) là các không gian vectơ trên R
E. Không tập hợp nào là không gian vectơ trên R
Câu 69: Biểu diễn ma trận
10 5
44
X
⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦
như là tổ hợp tuyến tính của các ma trận sau:
42 21 2 1
;;
33 21 0 1
ABC
⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤
−−
⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥
===
⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥

M ?
(1) tập hợp tất cả các ma trận đối xứng (
t
AA= ).
(2) tập hợp tất cả các ma trận phản đối xứng (
t
AA=− )
(3) tập hợp tất cả các ma trận không chính quy (
1
A
−
tồn tại)
(4) tập hợp tất cả các ma trận có vết bằng 0.
A. (1) và (2) B. (1) và (3) C. (1), (2) và (3) D. (2), (3) và (4) E. (1), (2) và (4)
Câu 72: Ánh xạ tuyến tính
33
:TP P→
được xác định như sau
()
() () ()Tpx xpx px
′
=−
, trong đó
()px
′
là kí hiệu đạo hàm của p theo biến x. Một cơ sở của ker(T) là:
A.
{}
32
,,1xx B.

(1, 3, 4, 1)−
,
(2,8,5,1)−−
và
(1,5,0,2)−−
.
A. 0 B. 4 C. 7 D. 11 E. 13
Câu 76: Tập hợp nào dưới đây là cơ sở của không gian con của R
3
xác định như sau
{}
(, , )|2 3 0Gxyzxyz=−+=

A.
{}
(1,2,0),(0,3,1)
B.
{}
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
C.
{}
(1 , 2, 0)

D.
{}
(1,0,0),(1,2,0)
E.
{}
(3, 0, 2)−



A. (1) B. (2) C. (1) và (3)
D. (4), (5) và (6) E. (1), (3), (4), (5) và (6)

Câu 78: Tìm các giá trị của λ sao cho
{(2, 1 , 3), (0, , 2), (8, 1, 8)}λ −−
là hệ sinh của R
3
.
A.
3/2λ =
B.
3/2λ ≠±
C.
0λ >
D.
0λ <
E.
3/2λ ≠−

Câu 79: Tập hợp nào dưới đây là không gian con của R
3
?
(1)
{9 , , ) | 2 3 0}xyz x y z−+ =

(2)
{( , , ) | 0}xyz xy=

(3)

{}
(), ()Qt Rt
D.
{}
(), ()Rt St

E.
{}
(), (), ()Pt Qt St

Câu 81: Phép biến đổi tuyến tính T có ma trận chính tắc
211
13 2
1114
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−−
⎢
⎥
⎣
⎦

0112
2320
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
là ma trận tương ứng với
B

và
′
B
. Tính
25
35
S
⎛⎞
⎡⎤
⎟

−
⎢⎥
⎣⎦
. Tìm
dim(ker( ))S
.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
Câu 84: Tìm ma trận của
(, ) ( , 2 4)Txy x y x y=+−+
đối với cơ sở
{(2,2),(4, 1)}−

A.
43
412
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦
B.
24
21
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦

⎣
⎦
E.
44
312
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦

Câu 85: Phép biến đổi tuyến tính
42
:TR R→ xác định như sau
(,,, ) ( ,2 )Txyzw x y z x z w=−+ −+
. Một cơ sở của ảnh của T là
A. Cơ sở bất kì của R
4
B. Cơ sở bất kì của R
2
C. {(1, -1, 1, 0), (2, 0, -1, 1)}
D. {(1, 2)} E. {(1, 2), (-1, 0), (1, -1)}

Câu 86: Cho W là đường thẳng giao của mặt phẳng 0xyz++= và
20xyz−−=
; và
3
:TR W→ là phép chiếu trực giao Ơclit của R
3

.
Phát biểu nào dưới đây là đúng?
(i)
T là tuyến tính
(ii)
123
( ) (1,0,0,0)Te e e++ =
với
1
(1, 0, 0)e =
,
2
(0,1, 0 )e =
và
3
(0, 0,1)e =

(iii)
A là ma trận chính tắc của T
A. Chỉ (ii) B. Cả (i) và (iii) C. (i), (ii) và (iii) D. Cả (i) và (ii) E. Chỉ (i)
Câu 88: Phép biến đổi tuyến tính
42
:TR R→ xác định như sau
(,,, ) ( ,2 )Txyzw x y z x z w=−+ −+
. Ma trận chính tắc của T là
A.
1110
20 11
⎡⎤
−

⎣
⎦
D.
12
10
11
01
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

E.
11
20
⎡⎤
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

Câu 89: Phép biến đổi tuyến tính

là ánh xạ tuyến tính.
•
22
:tr M R→ xác định như sau
ab
tr a d
cd
⎡
⎤
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
là ánh xạ tuyến tính.
A. Đúng, Đúng, Đúng B. Đúng , Đúng, Sai C. Đúng, Sai, Đúng D. Đúng, Sai, Sai
E. Sai, Sai, Đúng
Câu 91: Cho
2
2
:TP R→ là ánh xạ tuyến tính xác định như sau
( ( )) ( (2), ( 2))Tpx p p=−
. Một cơ sở
của
ker( )T
là:
A. {1, x, x
2


Câu 93: Phép biến đổi tuyến tính có ma trận chính tắc
122 10
13 143
21 1 33
⎡
⎤
−−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
. Tính dim(Im(T)).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. 3
Câu 94: Phép biến đổi tuyến tính
2
22
:TM R→ được xác định như sau
1
()
1

2
VR= cùng các phép toán vectơ (không chính tắc):
(, ) ( , ) ( , 2)xy x y x x y y
′′ ′ ′
⊕=+++

(, ) ( , 2 2)kxy kxkyk⊗= +−
.
là một không gian véctơ. Ánh xạ tuyến tính
22
:LM V→ được xác định như sau
(,2 2)
ab
Laa
cd
⎛⎞
⎡⎤
⎟
⎜
⎢⎥
⎟
⎜
=−
⎟
⎜
⎢⎥
⎟
⎜
⎟
⎟

⎧⎫
⎡
⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎢
⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎨⎬
⎢
⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎪⎪
⎢
⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎪⎪
⎣
⎦⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
⎪⎪
⎩⎭
=B

là cơ sở được sắp chính tắc của M
22
; hãy tìm ma trận của S tương ứng với B .
A.
01
10
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥

⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
D.
0100
1000
0001
00 10
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦

E.
0110
10 01
10 01

⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
B.
124
124
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦
C.
11
22
44
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥

Câu 99: Ánh xạ tuyến tính
22 22
:SM M→ xác định như sau
()SA AJ JA=−
, với
01
10
J
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
.
(M
22
là kí hiệu không gian ma trận thực 22× ). Tính dim(Im(S)).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
Câu 100: Phép biến đổi tuyến tính
22
:TR R→ xác định như sau
32
47

ứng với cơ sở chính tắc của R
2
là:
A.
72
34
⎡⎤
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
B.
72
43
⎡⎤
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
C.
32
47
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢