198
)sin,sin,()(
,,
++=

21
0104652
5101350eeR . (9.2.5)
Theo công thức (3.2.12) mật độ phổ tơng ứng
)(

S đã đợc xác định dới dạng
ì
+

=
])(][)(][)([
),(),(
)(
2
21
22
11
22
11
2
2222
83486160
iii
S

)(,)(,)(,)( tJtJtJtJ



+=+ 0690000020005702 . (9.2.8)
Khi tính các đạo hm đã sử dụng các công thức nội suy Newton:
),()( 1=

tJtJJJ
).()()( 212
2
+=

tJtJtJJJ (9.2.9)
Kết quả dự báo J với thời hạn dự báo một tháng theo công thức (9.2.7) khá phù hợp
với các giá trị thực. Dự báo đại lợng
)( 2+tJ không cho kết quả khả quan.
Chơng 10: Một số vấn đề mô tả trờng tốc độ gió
10.1. Hm tơng quan của tốc độ gió
Trong chơng 4 đã chỉ ra rằng để xác định kỳ vọng toán học v hm tơng quan của
biến đổi tuyến tính hm ngẫu nhiên dừng no đó chỉ cần biết kỳ vọng toán học v hm tơng
quan của hm ngẫu nhiên đợc biến đổi. Nhng trong thực tiễn thờng xảy ra các trờng hợp
khi mối liên hệ giữa các hm ngẫu nhiên thực sự không tuyến tính. Khi đó để nhận đợc các
đặc trng của hm ngẫu nhiên l kết quả của phép biến đổi phi tuyến, thì biết kỳ vọng toán
học v hm tơng quan của hm ngẫu nhiên đợc biến đổi l cha đủ, m cần biết các
mômen bậc cao hoặc các hm phân bố nhiều chiều của nó. Tuy nhiên trong nhiều trờng hợp,
bằng cách sử dụng những thủ thuật nhân tạo có thể biểu diễn gần đúng kỳ vọng toán học v
hm tơng quan của kết quả biến đổi phi tuyến qua những đặc trng tơng ứng của hm
ngẫu nhiên đợc biến đổi.
Để lm ví dụ cho biến đổi phi tuyến quá trình ngẫu nhiên dừng, ta xét phơng pháp

U t

v
)(
2
U t

, xác lập mối liên hệ giữa các hm tơng quan của
trờng vectơ
)(tU

v trờng vô hớng )(tU

. Với một số giả thiết no đó đã nhận đợc những
công thức tơng đối đơn giản, v thực tế ứng dụng đợc, để tính các hệ số tơng quan cho
trờng hợp tốc độ gió trung bình gần bằng không. Nhng thực ra, nh đã nêu trong công
trình [60], trong nhiều trờng hợp tốc độ gió trung bình mUM =
][ khác không, v giá trị của
chúng có thể vợt quá phơng sai
2
một cách đáng kể. Ví dụ, trong các điều kiện điển hình
đối với dòng chảy xiết thì
., 1242
2
2
ữ=

m
Biểu thức đối với mật độ phân bố đồng thời của tốc độ,
nhận đợc trong các điều kiện đó, rất cồng kềnh v trên thực tết không cho phép nhận đợc

Các thnh phần của vectơ đợc coi l không phụ thuộc lẫn nhau, tức hm tơng
quan quan hệ của chúng bằng không.
Yêu cầu xác định hm tơng quan
)(
u
R
của modul vectơ ngẫu nhiên
)()()( tUtUtU
yx
22
+= . (10.1.2)
Muốn vậy, đầu tiên ta xác định hm tơng quan của bình phơng modul
)()()( tUtUtZ
yx
22
+= . (10.1.3)
Hiển nhiên hm ngẫu nhiên
)(tZ không phân bố chuẩn, tuy vậy tính dừng của nó
đợc giữ nguyên.
Ta xác định hm tơng quan
)(
z
R
{}
=+=+=
2
zzzz
mtZtZMmtZmtZMR )]()([])(][)([)(

++++= )]()([)]()([ tUtUMtUtUM

==
4
1
4
1
4321
2
1
k
kkjk
jk
jk
umiuuRuuuuE (10.1.6)
trong đó
k
m l các kỳ vọng toán học của các đại lợng ngẫu nhiên
k
U ,
jk
R
,
l mômen
quan hệ của các đại lợng ngẫu nhiên
k
U
v
j
U
, chúng l những phần tử của ma trận
tơng quan

==== RRRR
Nh vậy ma trận tơng quan có dạng


















=
2
2
2
2
00
00

)(
)(

uuuu
uu
uuuuE
i



+++++=
122111
2
222
2
11211
2
12
42 RmmRmRmRRR
4222422
2
2
1
422
xxxxx
mRmmRmm ++++=+ )()( (10.1.9)
Sau khi tính bằng cách tơng tự những giá trị còn lại của các kỳ vọng toán học v
thế chúng vo công thức (10.1.4), ta đợc
)].()([)]()([)( +++=
yyxxyxz
RmRmRRR
2222
42 (10.1.10)





=

+

.
,
)(
0 khi 0
0 khi
2
0
2
2
2
22
u
u
mu
Ie
u
uf
mu
(10.1.11)
Trong công thức ny
22
yx



+

+



(10.1.12)
Khi đó có thể viết






++



=



+

)(
8
1
1

(

2
2









+





)
)( . (10.1.14)
Từ công thức ny thấy rằng khi
1>>

m
với độ chính xác đến nhân tử





(10.1.15)
Hm Releich tổng quát (10.1.11) có tính bất đối xứng thể hiện rõ với những trị số
nhỏ của

m
, khi tăng

m
tính bất đối xứng giảm. Khi 2=

m
hệ số bất đối xứng bằng 0,24,
khi
3=

m
hệ số bất đối xứng chỉ bằng 0,07.
Để nâng độ chính xác ta sẽ xấp xỉ hm Rơle tổng quát (10.1.11) bằng luật phân bố
chuẩn không phải theo công thức (10.1.15), m dới dạng
0 khi
2
1
2
2
2
(

>



0
2
2
2
2
4 2 4 2
1
2



















+



2222
2 mmuD

+=

=
(10.1.18)
Trên hình 10.1 dẫn ra các đờng cong phân bố tính theo các công thức (10.1.11)
(đờng cong 1), (10.1.15) (đờng cong 2) v (10.1.16) (đờng cong 3) với những giá trị

202
5 3, 2 1 0 ,,,=

m
. Trên trục honh đặt các giá trị u đơn vị bằng , trên trục tung đặt )(uf .
Phân tích hình vẽ thấy rằng khi
2

m
sai số của phép xấp xỉ phân bố (10.1.11)
bằng phân bố chuẩn (10.1.16) l rất nhỏ. Phép xấp xỉ bằng phân bố (10.1.15) cho kết quả
kém hơn.
Bây giờ ta sẽ coi hm ngẫu nhiên
)(tU tại mỗi giá trị t tuân theo qui luật phân bố
chuẩn (10.1.16) với kỳ vọng toán học
m

v độ lệch bình phơng trung bình

xác định

=

+

+ì )]()([
222
mtU
22222
)()]()([ mtUtUM

+

+=
. (10.1.19)
Ký hiệu
21
UtUUtU =+= )(,)(
. Vì
1
U
v
2
U
l những đại lợng ngẫu nhiên phân bố
chuẩn, nên hm đặc trng của hệ hai đại lợng ngẫu nhiên ny sẽ có dạng






)]()([ +tUtUM
22
trong công thức (10.1.19)
=


==+
== 0
2
2
2
1
21
4
4
2
2
2
1
22
21

1
uu
uu
uuE
i
UUMtUtUM
),(
][)]()([

mmRR
zu



= )()(
. (10.1.24)
Thay vì
)(
z
R ta thế biểu thức của nó theo (10.1.10), cuối cùng ta có
22222
2 mRmRmRRR
yyxxyxu

+= )]()([)()()(
. (10.1.25)
Hm ny cho khả năng xác định hm tơng quan của tốc độ gió theo giá trị của
hm tơng quan của các thnh phần vectơ gió. Nó thuận tiện cho việc tính toán với mọi
trị số
2

m
.
10.2. Khuếch tán rối
Giả thiết rằng tại điểm no đó của dòng rối chất lỏng hay chất khí có một tạp chất
xâm nhập, chẳng hạn một số lớn các hạt rắn nhỏ thuốc nhuộm. Nhờ sự vận chuyển bởi các
luồng xáo trộn hỗn loạn của dòng rối, chất ny lan truyền nhanh v nhuộm mu một thể
tích lớn. Hiện tợng ny gọi l khuếch tán rối. Sự khuếch tán rối rất phổ biến trong tự
nhiên. Nó quyết định sự lan truyền trong khí quyển những con vi khuẩn v siêu vi trùng,

)(
X
V


=
(10.2.1)
l vận tốc Lagrăng của các phần tử, chúng ta sẽ xem vận tốc ny nh một hm vectơ
ngẫu nhiên đồng nhất dừng. Khi đó ta có thể viết

=
t
dsst
0
VX )()(

. (10.2.2)
Ta sẽ xem rằng vận tốc trung bình (lấy trung bình theo tập hợp tất cả các phần tử)
bằng không,
,)]([ 0V =tM

khi đó kỳ vọng toán học của hm ngẫu nhiên )(tX

bằng không,

204
0X =)]([ tM

.
Trong trờng hợp ny phơng sai của sự phân tán các phần tử

i
00
2121
2
0
2
)]()([)( . (10.2.3)
Chúng ta đa vo hm
2
i
v
ii
i
tVtVM
r

+
=
)]()([
)(
(10.2.4)
gọi l hệ số rối Lagrăng. Đó chính l hm tơng quan chuẩn hoá của thnh phần
i
V của
vectơ vận tốc Lagrăng dọc trục toạ độ
i . Khi đó có thể viết (10.2.3) dới dạng

=
tt
ivx

22
2 )()( . (10.2.7)
Công thức (10.2.7), biểu thị sự tản mạn của các phần tử qua hệ số rối Lagrăng,
nhận đợc lần đầu tiên bởi Taylor [33]. Để đặc trng cho khuếch tán rối, bên cạnh
phơng sai
)(t
i
x
2
, ngời ta còn dùng một đại lợng khác gọi l hệ số khuếch tán rối )(tD
i

dt
td
tD
i
x
i
)(
)(
2

2
1

=
. (10.2.8)
Hệ số ny đặc trng cho tốc độ biến đổi phơng sai phân tán của các phần tử trong
dòng rối. Tơng ứng với (10.2.7) ta có thể biểu diễn hệ số khuếch tán rối qua hệ số rối
Lagrăng




0
dr
i
)( cũng hữu hạn. Khi đó

205
với những giá trị t đủ lớn
)(
i
Tt
(10.2.6) có thể thay thế bằng hệ thức tiệm cận



0
222
22 drtTt
ivivx
iii
)()( . (10.2.11)
Với những giá trị lớn của thời gian
t thì số hạng thứ nhất sẽ đóng vai trò chính
trong vế phải, thnh thử ta có thể viết đẳng thức gần đúng
tTt
ivx
ii
2

2222
0
12
1
1 trtt
ivx
ii
)()( . (10.2.14)
Khi
0t ta có biểu thức tiệm cận
222
tt
ii
vx
)( . (10.2.15)
Nh vậy với thời gian khuếch tán rất nhỏ phơng sai phân tán của các phần tử tỷ
lệ với bình phơng thời gian.
Với những trị số thời gian khuếch tán nằm giữa những trờng hợp biên ấy thì
phơng sai phân tán của các phần tử phụ thuộc nhiều vo dạng hm
)(
i
r . Xác định bằng
thực nghiệm hm tơng quan của các vận tốc Lagrăng rất khó, vì vậy ngời ta thờng xấp
xỉ
)(
i
r
bằng những hm giải tích đơn giản no đó căn cứ vo những lập luận vật lý.
Trong khí tợng học hay sử dụng phơng pháp xác định hm tơng quan của các
vận tốc Lagrăng thông qua các số liệu nhận đợc bằng cách thả chuỗi quả cầu ám tiêu

ra trên hình 10.2.
Phân tích hình ny cho thấy rằng, theo thời gian hệ số khuếch tán rối tăng lên, đạt
đến cực đại sau 30 giờ, sau đó dần tiến đến giá trị giới hạn


=
0
dRD
u
)()( ,
m trên thực tế nó đạt đợc chỉ ở khoảng
6054 ữ= giờ.
Chơng 11: Về việc tính mật độ phổ quá trình ngẫu nhiên dừng.
Phổ sóng biển
11.1. Xác định mật độ phổ theo số liệu thực nghi
ệm
Trong chơng 3 chúng ta đã thấy mật độ phổ )(

S của quá trình ngẫu nhiên dừng
l biến đổi Fourier hm tơng quan
)(R của nó v có thể đợc xác định theo công thức
(3.2.12). Khi đó cần biết hm tơng quan thực trên ton khoảng vô hạn của sự biến đổi
của đối số.
Khi xác định những đặc trng thống kê của quá trình ngẫu nhiên
)(tX theo số liệu
thực nghiệm chúng ta sử dụng các thể hiện của quá trình ngẫu nhiên đợc ghi trên một
khoảng hữu hạn
T
no đó của sự biến thiên của đối số t . Khi đó ta có thể xác định giá trị
thống kê của hm tơng quan