CCBITONKHểCHNLCTCC
THI2010 2011

Bài 5. Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất thoả mãn: x
2
+ 2y
2
+ 2xy - 8x 6y =
0.
Bi 5.
iu kin tn ti x khi PT: x
2
+ 2(y 4)x + 2y
2
- 6y = 0 cú nghim =>
(y 4)
2
2y
2
+ 6y
0



y
2
+ 2y 17
0













0.25 min
1 1
x 1 0 x 1 x 1 3 3
3
x 1 3
1 2 2
y 1 y khi x=1
3 3 3





0.25

Bài 4 (0,75 điểm):
Cho x xy +1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2

Đặt
2
y 1 3t
t = 0 < t P =
x 4 1+ t Xét



2
2
2 2
3 17t 4t 4
12 3t 12 3(4 t)(4t 1)
P = 0
17 t 1 17
17 t 1 17 t 1


(Vì
1
0 < t


Cõu 5 (1 im). Cho hai s thc dng x, y tha món 4xy = 1.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A =
2 2
2 2 12
x y xy
x y



Cõu 5 (1 im). Cho hai s thc dng x, y tha món 4xy = 1.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A =
2 2
2 2 12
x y xy
x y



Ta cú A =
2
2 2 2 2 2
2 ( ) 2 3
2 2 3.4 2 2 3 2.( ) 4 3
x y xy
x y xy x y x y xy
x y x y x y x y





 

Xét
1
( )x y
x y
 


Áp dụng Cosi cho 2 số (x+y) và (
1
x y

) ta có:
(x+y) + (
1
x y

) ≥ 2
 
1
x y .( )
x y


= 2
Do đó: A =
1
2 ( )x y

vô nghiệm. Chứng minh rằng:
a
b
cba



> 3
Bài 5:(1,0 điểm).
Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 < a < b và phương trình
ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng:
a
b
cba



> 3
Ta có (b-c)
2
≥ 0

b
2
≥ 2bc - c
2

Vì pt ax




02
62856244
baaxabaxba
luụn luụn cú nghim vi mi a, b.
Bi5
(1)
Cn chng minh p/t ( a
4
b
4
) x
2
-2(a
6
ab
5
)x +a
6
a
2
b

x = 0 x = 0 khi a

0
(2)
Khi a = 0 thỡ p/t cú dng 0x = 0

x

R.
(3)
T (1) ,(2) v (3) => P/ T cho luụn cú nghim vi a =b hay a
= -b (*)

Khi a


b thỡ p/t cho cú

= a
6
b
4
(b-a)
2


0
Vy khi a



yxxy ( Vì x > 0 và y >0 )


024 x

x=8
024 y y=8
VËy cã duy nhÊt cÆp sè (x;y) = (8;8) tho¶ m·n ycbt

Bài V ( 1,0 điểm)
Cho x,y l à c ác s ố d ư ơng tho ả m ãn : x + y = 4
T ìm gi á tr ị nh ỏ nh ất c ủa :
2 2
33
P x y
xy
  
Từ x+y=4
Áp dụng BĐT Côsi ta có: xy
2
( )
4
4
x y


Câu 9 (1,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có
chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Có
2 2 2
( ) ( )( )
a a b c a b c a b c
       
(1) ,
2 2 2
( ) ( )( )
b b c a b c a b c a
       

(2)

2 2 2
( ) ( )( )
c c a b c a b c a b
       
(3) . Dấu ‘=’ xảy ra
a b c
  

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3)
đều dương. Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có :
( )( )( )
abc a b c b c a c a b
      
(*)

4( ) 15 27 24( ) 32 3 9 8( ) 32
a b c abc abc ab bc ca abc ab bc ca
            
(**)
Áp dụng (*) vào (**) cho ta
3 3 3
4( ) 15 3.( 8) 32 8
a b c abc
      

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
3
a b c
  
.
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi
2
3
a b c
  

0,25

Câu 5: ( 1,0 điểm) : Cho các số dương x và y thay đổi thoả mãn điều
kiện : x – y

1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
4 1


+ 1


P

5 -
4
x y
y x
 

 
 

Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương ta có :
4
x y
y x


2
4
.
x y
y x


4
x y


C©u V
1 ®iÓmP = xy(x
–

2)(y + 6) + 12x
2

–

24x + 3y
2

+ 18y
+ 36.
= xy(x – 2)(y + 6) + 12x(x – 2) + 3y(y + 6) +
36
0,25
=x(x
–

2).






2 3 1 2 0
x x x
     

VËy P > 0 víi mäi x;y thuéc R
0,25

Bài 5. (0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 3. Chứng
minh rằng :
(a – 1)
3
+ (b – 1)
3
+ (c – 1)
3

3
4


Bài 5. (0,5 điểm)
Cách 1. Không giảm tổng quát, có thể giả sử c = min(a ; b ; c).
Từ giả thiết a + b + c = 3  3c  a + b + c  c  1. Do đó 0  c 
1.
Đặt a = 1 + x, b = 1 + y thì c = 1 – x – y. Do 0  c  1 nên 0  x +
y  1.
Ta có : (a – 1)
3
+ (b – 1)

4

. Dấu bằng xảy ra  x = y =
1
2
(khi đó a = b =
3
2
, c = 0)
Vậy (a – 1)
3
+ (b – 1)
3
+ (c – 1)
3

3
4

.
Cách 2. Ta có:
2
3 3 2 2
3 3
(a 1) a 3a 3a 1 a(a 3a 3) 1 a a a 1
2 4
 
            
 
 

(3)
Cng (1), (2) v (3) v theo v ta c :
(a 1)
3
+ (b 1)
3
+ (c 1)
3

3 3 3
(a b c) 3 3 3
4 4 4


Vy (a 1)
3
+ (b 1)
3
+ (c 1)
3

3
4

.
Du ng thc xy ra khi v ch khi :
2
2
2
3


























1 1 1
1 1 1
A
a ab b bc c ca



Câu 5: 1điểm
Với a.b.c=1 ta có:

1
)1(
)1(
)1(
)1(
)1()1(
1
)1(
1
)1()1()1(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1












abac
abac
abac
abac
abac
abccac
abac
cac
abacabac
ca
abac
c
abacaababa
abcaccaabcab
a
abaaccbcbaba
A
4

2a
2
+1) 4
-2 ab 2
2007 S 2011
MinS = 2007 ab = -2 và a
2
= 1 a = 1 , b =

2

Cõu 5: (1)
Cho b,c l hai s tho món h thc:
1 1 1
2
b cChng minh rng ớt nht 1 trong hai phng trỡnh sau phi cú nghim:
x
2
+bx+c=0 (1) ; x
2
+cx+b=0 (2)
Cõu 5: (1)
1 1 1
2
b c

-4(b+c)= b
2
+ c
2
-2.2(b+c)= b
2
+ c
2
-
2bc=(b-c)

0.
(thay2(b+c)=bc ) Vy trong

1;

2
cú mt biu thc dng hay ớt nht 1
trong hai phng trỡnh x
2
+bx+c=0 (1) ; x
2
+cx+b=0 (2) phi cú
nghim:

Câu VI:(0,5 điểm)
Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x
2
+ xy +y
2

y
2
+ 4xy +1) - 1 = 0
<=> (2x + 2y)
2
- (2xy + 1)
2
= 1
<=> (2x + 2y - 2xy - 1)(2x + 2y + 2xy + 1) = 1
=>

















11 2xy 2y 2x
-11 2xy 2y 2x
-11 2xy 2y 2x

xyz
zyx
zyx
xyz
16
0
16




P = (x+y)(x+z) = x
2
+xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz =
yz
yz
yz
xyz
x
1616

áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dơng là
yz
16
và yz ta có
P =
yz
yz

16