Chương 1. Xác suất của biến cố ngẫu nhiên
1.1 Phép thử, biến cố và các phép tính đối với
các biến cố
1.1.1 Phép thử, biến cố
- Phép thử được hiểu là một nhóm các hành
động, hoặc thí nghiệm để nghiên cứu một đối
tượng hay một hiện tượng nào đó.
- Biến cố (hay sự kiện) được hiểu là một sự
vật, hiện tượng trong cuộc sống. Có thể hiểu
biến cố là kết cục của phép thử.

VD 1.1:
- phép thử là gieo 1 đồng xu, biến cố: “đồng
xu sấp”, “đồng xu ngửa”.
- phép thử là gieo 1 con xúc xắc, biến cố:
“xuất hiện mặt 3 chấm”.
- phép thử là bắn 1 viên đạn, biến cố : “bắn
trúng”, “bắn trật”.

1.1.2 Các loại biến cố
- Biến cố chắc chắn (ký hiệu Ω) là biến cố
nhất định xảy ra thực hiện phép thử.
VD 1.2: gieo 1 con xúc xắc, biến cố “xuất hiện
mặt có số chấm nhỏ hơn 7” là chắc chắn.
- Biến cố không thể (ký hiệu ) là biến cố
nhất định không xảy ra thực hiện phép thử.
VD 1.3: biến cố “xuất hiện đồng thời mặt sấp và
ngửa” khi gieo đồng xu là .

- Biến cố ngẫu nhiên (bcnn) (thường ký hiệu là A,

A B
A B
B A
⊂

= ⇔

⊂


- Biến cố tổng là biến cố xảy ra nếu ít
nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.
Biến cố sơ cấp (bcsc) là biến cố không thể
biểu diễn thành tổng của các biến cố khác. Về
mặt hình học có thể hình dung, đó là phần nhỏ
nhất không thể phân chia nhỏ hơn nữa.
* Chú ý:
+ Mọi bcnn A đều có thể biểu diễn dưới
dạng tổng của một số bcsc nào đó. Các bcsc
trong tổng này gọi là thuận lợi cho A.
A B∪

+ Biến cố chắc chắn Ω là tổng của mọi
bcsc có thể có, nên Ω còn gọi là không gian
các bcsc hay không gian mẫu.
+ Bcsc là bcnn, ngược lại, bcnn nói chung
không là bcsc.
VD 1.8: trong VD 1.5 và VD 1.7
là các bcsc.
là bcnn nhưng không là

- Biến cố đối lập của A là bc A không xảy
ra, nghĩa là
* Chú ý: bc đối lập là xung khắc, ngược lại
không đúng.
AB = ∅
A
A A , AA∪ = Ω = ∅

VD 1.11: Cho 3 bc A, B, C. Sử dụng các ký
hiệu bc tổng, bc tích và bc đối lập để diễn tả
các bc sau đây:
a) A, B, C đều xảy ra.
b) có ít nhất 1 bc xảy ra.
c) có đúng 2 bc xảy ra.
d) chỉ có 1 trong 3 bc xảy ra.
e) không có bc nào xảy ra.

VD 1.12: Ba xạ thủ cùng bắn 1 viên đạn vào 1
con thú. Gọi là bc “ xạ thủ thứ i bắn trúng
thú”, i=1,2,3. Hãy biểu diễn qua các bc
a) A=“thú bị trúng đạn”.
b) B=“thú không bị trúng đạn”.
c) C=“thú bị trúng 3 viên đạn”.
d) D=“thú bị trúng 1 viên đạn”.
i
A
i
A

1.1.4 Giải tích tổ hợp

−
n
n n
P A n!= =

1.1.4.4 Tổ hợp
Tổ hợp chập k của n phần tử là
một bộ gồm k phần tử (lấy từ n phần tử) thoả:
+ khác nhau
+ không thể thứ tự
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
k
n
n!
C
k!(n k)!
=
−
(1 k n)≤ ≤

VD 1.14: Có bao nhiêu cách lập một tổ gồm 3
người từ 10 người đã cho?
1.1.4.5 Nhị thức Newton:
1.2 Định nghĩa xác suất
Để so sánh các biến cố về khả năng xuất hiện,
người ta gán cho mỗi biến cố một con số không âm,
sao cho với hai biến cố bất kỳ, biến cố nào có khả
năng xuất hiện nhiều hơn thì gán cho số lớn hơn,
các biến cố đồng khả năng thì gán cho cùng một con
số.

hàng. Tìm xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra có
đúng 2 sản phẩm tốt.

VD 1.17: Một hộp đựng 6 bi đỏ, 4 bi đen. Lấy
ngẫu nhiên 6 bi. Tính xác suất để:
a/ cả 6 bi đều là bi đỏ.
b/ có 4 bi đỏ, 2 bi đen.
c/ có ít nhất 2 bi đen.
* Hạn chế:
+ số lượng các bcsc là hữu hạn.
+ tính chất đồng khả năng không phải bao giờ
cũng xác định được.

1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê:
Nếu lặp lại n lần phép thử thấy bc A xảy ra
m lần thì m gọi là tần số xảy ra bc A, còn tỷ số
gọi là tần suất của biến cố A.
Với n đủ lớn thì (1) xấp xỉ bằng một số p
nào đó, được gọi là xác suất của A.
Trong thực tế, người ta coi (khi n đủ
lớn).
n
m
f (A) (1)
n
=
n
n
P(A) limf (A) p.
→∞