ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút

Câu1: (6 điểm)
Cho hàm số y= x
3
+ 4x
2
+ 4x +1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Cho M(x
0
;y
0
) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt
đồ thị tại M
1
và M
2
khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn
M
1
M
2
.
c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm
số, gọi các tiếp điểm là M
3
và M
4

0
33
cossin
sin
Câu 4: ( 5 điểm)
Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M
trong không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB;
MABC cách đều điểm O.
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
MÔN: TOÁN

Câu 1: ( 6 điểm)
a) ( 2 điểm)
 TXĐ: D =R
(0,25đ)
 Chiều biến thiên:
y’ = 3x
2
+ 8x + 4
y’ = 0 <=> x = -2; x= -
3
2

Hàm số đồng biến (-

; -2) );
3

(0.25đ)
 Tính lồi lõm và điểm uốn:
y’’ = 6x + 8 = 0 <=> x= -
3
4

Hàm sô lồi từ (-
3
4
; ), lõm (-
3
4
; +

)
Điểm uốn: I(-
27
11
;
3
4
)
(0.25đ)
 Bảng biến thiên:
4
2
-2
-4
-6
-5
5
A

b) ( 2điểm)
Gọi d qua M có hệ sô gọc k :
d: y=k(x-x
0
) + y
0
(0,25đ)

Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (1) => x
1
, x
2
lần lượt là
hoành độ của M
1,
M
2
=>
x
I
= -
2
4
0
x

(0,75 đ)
y
I
= y
0
+ k(
2
43

k 48
0
2
0
 xx c) ( 2đ)
Để thỏa mãn YCBT:
<=> y’ = 3x
2
+ 8x + 4 = a có 2 nghiệm phân biệt
(0,25đ)
<=> a> -
3
4

(0,25đ)
Nhận xét: x
3
+ 4x
2
+ 4x + 1 = (3x
2
+ 8x +4)(
9
4

4
8
33


xx
(0,5đ)
y
4
= a(
9
4
8
4

x
)-
9
78
4
x

Vậy phương trình đường thẳng đi qua M
3
; M
4
là:
y= a(
9
4

x+tgx) (1đ)
<=> tgx=-1 <=> x=-


k
4
(k
z

) (0,5đ)
tgx= 3 x=


k
3
(k
z

) (0,5đ)
Vậy nghiệm của phương trình :
x=-


k
4
(k
z

Phương trình trở thành:
12  t
t

<=> 012  t
t

Khảo sát f(t) = 12  t
t

(0.25đ)
f’(t) = 2
t
ln2 – 1 =0 <=> 2
t
=
2
ln
1
=


t



f’(t)

- 0 +
f(t)


I+J =

2
0

x
x
x
x
dx
22
cos
cos
sin
sin


=




2
4
2
4
0
2
1cotcot

4
3
)
2
1
(
)
2
1
(
t
td
(0.75đ)
Đặt t -
2
1
= tgy
2
3

=> I + J =
33
4

(0.75đ)
=> I=
33
2

(0.75)

=>
GOGM 5

(0.5đ)
Vậy có 1 điểm M thoả mãn điều kiện đề ra.
(0.5đ) OCxOC '4