BÀI TẬP ðIỀU KIỆN

Môn : XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
CÂU HỎI Câu 1: Trình bày sự hiểu biết của Anh/ Chị về phép chập (Convolution) và phép
tương quan (Conrrelation). Nêu cách xây dựng, ý nghĩa., phương pháp thực hiện, so sánh
giữa ghép chập và ghép tương quan.

Câu 2: Hãy trình bày về biến ñổi Z xuôi ngược. Nêu các xây dựng hàm truyền ñạt hệ
thố trong miền Z, tiêu chuẩn nhận biết một hệ thống ổn ñịnh trong miền Z.

Câu 4: Trình bày các bộ lọc số lý tưởng, xác ñịnh ñáp ứng xung của các bộ lọc số lý
tưởng pha 0, cách tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính bằng phương pháp cửa sổ, cho
một ví dụ minh họa.
Trang 2/22

BÀI GIẢI

CÂU I.
I. Khái niệm hệ thống tuyến tính bất biến
Một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn bởi tín hiệu xung ñơn vị như sau:
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k
δ
+∞

Áp dụng tính chất tuyến tính, phương trình (3) có thể ñược viết lại:
( ) ( ) { ( )}
k
y n x k T n k
δ
+∞
=−∞
= −
∑
(4)
ðáp ứng xung của hệ thống là: h(n) = T{((n)}, vì hệ thống có tính bất biến, nên:
h(n - k) = T{δ(n - k)} (5)
Thay phương trình (5) vào phương trình (4) ta có:
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
+∞
=−∞
= −
∑
(6)
Từ phương trình (6), ta thấy một hệ thống LTI hoàn toàn có thể ñược ñặc tả bởi ñáp
ứng xung của nó và ta có thể dùng phương trình (6) ñể tính ñáp ứng của hệ thống ứng với một
kích thích bất kỳ. Hệ thống LTI rất thuận lợi trong cách biểu diễn cũng như tính toán, ñây là
một hệ thống có nhiều ứng dụng quan trọng trong xử lý tín hiệu.
II. Phép chập
Phép chập của hai dãy x
1
(n) và x
2

(0) ( ) (0 )
k
y x k h k
+∞
=−∞
= −
∑

n = 1 =>
(1) ( ) (1 )
k
y x k h k
+∞
=−∞
= −
∑

n = 2 …Cứ thay vào như vậy về nguyên tắc ta phải tính ñến giá trị n = ∞
ðối với các giá trị n < 0 ta cũng phải tính lần lượt
n = -1 =>
( 1) ( ) ( 1 )
k
y x k h k
+∞
=−∞
− = − −
∑

n = -2 …và ta phải tính ñến giá trị n = -∞
Tập hợp các giá trị tìm ñược ta có kết quả phép chập y(n) cần tìm

b. Các tính chất của phép chập
Trang 4/22

- Tính giao hoán
( ) ( )* ( ) ( )* ( ) ( ) ( )
k
y n x n h n h n x n h k x n k
+∞
=−∞
= = = −
∑

Ý nghĩa :

Trong một hệ thống, ta có thể hoán vị ñầu vào x(n) và ñáp ứng xung h(n) cho nhau thì
ñáp ứng ra y(n) không thay ñổi
- Tính kết hợp
[
]
[
]
1 2 1 2
( ) ( )* ( )* ( ) ( )* ( ) * ( )
y n x n h n h n x n h n h n
= =

Ý nghĩa :

Nếu ta có hai hệ thống ghép nối tiếp với nhau thì ñáp ứng xung của hệ thống tổng quát
sẽ là chập của ñáp ứng xung của các hệ thống thành phần.

s
là chu kỳ lấy mẫu), tín hiệu thu ñược
sẽ bị suy giảm với hệ số suy giảm là a, tức là radar ñã thu lại ñược tín hiệu ax(n – n
0
). Ngoài
tín hiệu phản xạ này còn có nhiễu cộng γ(n). Vậy tín hiệu radar thu ñược khi có mục tiêu là:
y(n) = ax(n – n
0
) + γ(n)
Còn nếu không có mục tiêu trong không gian hoặc radar không phát hiện ñược mục
tiêu thì radar chỉ thu ñược nhiễu cộng, khi ñó:
y(n) = γ(n)
So sánh hai tín hiệu x(n) và y(n) ta sẽ phát hiện ñược có mục tiêu hay không, và xác
ñịnh ñược thời gian trễ D = n
0
T
s
, từ ñó ta xác ñịnh ñược khoảng cách từ mục tiêu ñến radar.
Có hai loại tương quan:
- Tương quan chéo (cross – correlation):
Xét 2 dãy x(n) và y(n), giả sử rằng ít nhất một trong hai dãy có năng lượng hữu hạn,
khi ñó tương quan chéo của x(n) và y(n) ñược ñịnh nghĩa như sau:
( ) ( ). ( ), 0, 1, 2, 3,
xy
m
R n x m y m n n
+∞
=−∞
= − = ± ± ±
∑

r

( ) ,0,0,1, 1,2, 2,4,1, 2,5,0,0,
0
y n
 
 
= − − −
 
 
 
r

Giải :
Ta dùng ñịnh nghĩa (10) ñể tính R
xy
(n) .
- ðối với n = 0, ta có

(0) ( ). ( )
xy
m
R x m y m
∞
=−∞
=
∑(0) 0*0+0*0+2*1+(-1)*(-1)+3*2+7*(-2)+1*4+

xy
R
= −
,
(3) 16
xy
R
=
,
(4) 7
xy
R
= −

(5) 5
xy
R
=
,
(6) 3
xy
R
= −
,
( ) 0
xy
R n
=
n
≥

xy
R
− = −

( 7) 10
xy
R
− =

( ) 0, 8
xy
R n n
= ≤ −

Bởi vậy, chuỗi tương quan chéo của x(n) và y(n) là
( ) 10, 9,19,36, 14,33,0,7,13, 18,16, 7,5, 3
0
xy
R n
 
 
= − − − − −
 
 
 
r

Một số tính chất của tương quan chéo và tự tương quan:
Xét 2 dãy có năng lượng hữu hạn x(n) và y(n), nghĩa là:
2

xy
(n) = r
yx
(–n)
(3) r
xx
(n) = r
xx
(–n) (r
xx
là một hàm chẳn)
(4)
( ) (0) (0)
xy xx yy x y
R n R R E E
≤ =
suy ra
( ) (0)
xx xx x
R n R E
≤ =

(5) Nếu y(n) = ±c
x
(n–n
0
), c là một hằng số bất kỳ và n
0
là số nguyên, thì
R

ðịnh nghĩa trên còn ñược gọi là biến ñổi z 2 phía.
Ta sẽ có biến ñổi Z một phía nếu thay ñổi cận n chạy từ 0 ñến +∞:
0
( ) ( )
n
n
X z x n z
∞
−
=
=
∑

Ký hiệu bởi
toán tử:
Trang 7/22

[
]
( ) ( )
( ) ( )
ZT
ZT x n X z
x n X z
=
→

Ở ñây ta phải thấy ñược z là một biến phức và ñược biểu diễn theo hai dạng:
+ Biểu diễn theo phần thực, phần ảo Re[z], Im[z]
z = Re[z] + j.Im[z]

IZT
IZT X z x n
X z x n
=
→

Biến ñổi z ngược ñược ñịnh nghĩa như sau:
1
1
( ) ( )
2
n
C
x n X z z dz
j
π
−
=
∫


Ta hoàn toàn có thể chứng minh bằng ñịnh lý cosin
C
∫

- ðường cong chính ñi qua gốc tọa ñộ. Tích phân ñường ñi theo chiều dương.
Trang 8/22

Biến ñổi Z ngược còn ñược ñịnh nghĩa là một thủ tục ñể biến ñổi từ miền z sang
miền thời gian. Về mặt toán học, biến ñổi Z ngược là một toán tử mà nó biến một hàm

( )
1
( )
( )
k
n
S
pk
z
X z z
z z
ψ
−
=
−

z
pk
: Cực bội bậc s
k

(
)
1
( ) ( ).
k
S
n
pk
z z z X z z

n
X z z
α
∞
−
=−∞
=
∑
, trong ñó α
n
là hệ số của chuỗi lũy thừa
So sánh với ñịnh nghĩa:
( ) ( ) ( )
n
n
n
X z x n z x n
α
∞
−
=−∞
=
⇒
≡
∑
: nhận thấy rằng, hệ số của chuỗi chính là các mẫu của
tín hiệu x(n).
c. Phương pháp triển khai thành các phân thức tối giản:
( )
( )

− − −
− − −
= + + + +

[
]
[
]
[
]
1 1 0
( ) ( ) ( 1) 1
M N M N
s x B n M N B n M N B n B
δ δ δ
− − −
= + − + + − − + + + +

*
M N
<
:
Trang 9/22

( ) ( )
( )
( ) ( )
N z P z
X z
D z Q z


( )
1
( 1) ( 1)
( )
!
−
−
 
− − +
 
=
 
−
 
n m
pk
n
pk
z n n n m
IZT z u n
m
z z

Bảng: Các tính chất biến ñổi Z

III. Hàm truyền ñạt hệ thống trong miền Z
Trong miền thời gian rời rạc n, ta có quan hệ vào ra của hệ thống ñược thể hiện qua
phép chập.
y(n) = x(n) * h(n)

Vì H(z) và h(n) là một cặp duy nhất, nên một hệ thống LTI bất kỳ hoàn toàn có thể
ñược ñặc tả bởi hàm hệ thống của nó.
IV. Tiêu chuẩn nhận biết một hệ thống ổn ñịnh trong miền Z
- ðiều kiện ổn ñịnh trong miền z
Trong mi
ề
n
z một hệ thống ổn ñịnh sẽ phải thỏa mãn ñịnh lý sau:
ðịnh lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả là ổn ñịnh nếu và chỉ nếu tất cả các
ñiểm cực của hàm truyền ñạt H(z) nằm bên trong vòng tròn ñơn vị (tức là chỉ cần một ñiểm
cực nằm trên hoặc nằm ngoài vòng tròn ñơn vị là hệ thống mất ổn ñịnh).
- Tiêu chuẩn ổn ñịnh Jury:
Theo tiêu chuẩn này việc xác ñịnh ổn ñịnh sẽ ñơn giản hơn vì ñối với hệ thống có bậc
cao, tức là số ñiểm cực nhiều thì việc xác ñịnh các ñiểm cực gặp nhiều khó khăn. Sau ñây
chúng ta sẽ xem xét tiêu chuẩn Jury:
Ta biết hàm truyền ñạt của hệ thống ñược biểu diễn như sau:
0
1
( )
1
−
=
−
=
=
+
∑
∑
M
r

Trang 12/22Chỉ cần một trong ba ñiều kiện trong không thỏa mãn là hệ thống không ổn ñịnh.

CÂU IV.
Một hệ thống dùng làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín
hiệu theo các chỉ tiêu ñã cho ñược gọi là bộ lọc số.
Các thao tác của xử lý dùng ñể biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của
một tín hiệu theo các chỉ tiêu ñã cho nhờ một hệ thống số ñược gọi là sự lọc số.
I. Các bộ lọc số lý tưởng
Các bộ lọc số lý tưởng bao gồm bộ lọc số thông thấp, bộ lọc số thông cao, bộ lọc số
thông dải, bộ lọc số chắn dải. Việc ñịnh nghĩa các bộ lọc số lý tưởng sẽ dựa vào ñáp ứng biên
ñộ tần số
( )
jw
H e
mà không cần quan tâm ñến pha.
a. Bộ lọc thông thấp lý tưởng (Low pass Filter)
ðáp ứng biên ñộ của bộ lọc thông thấp lý tưởng ñược ñịnh nghĩa như sau:

ω
ω ω ω
ω
− ≤ ≤

=


1

H e
coøn laïi

Hãy tìm h(n) và vẽ h(n) với
ω π
=
/ 3
c

Giải:
Ta thấy rằng
ω ω
=
( ) ( )
j j
H e H e
ñây là bộ lọc pha 0 (tức
θ ω
=
( ) 0
)
Sử dụng biến ñổi Fourier ngược ta có:
Trang 13/22

( )
ω
ω ω ω
ω ω
ω
ω

c
n
h n
n

Vẽ với
ω π
=
/ 3
c
, ta có :
π
π
=
sin
1
3
( )
3
3
n
h n
n
, lần lượt thay thế giá trị của n, ta có:
* với n = 0:
=
(0) 1/ 3
h

* với n = 1:

(5) ( 5)
10
h h
* với n = 6:
= = −
(6) 0 ( 6)
h hNhận xét:
Tất cả các bộ lọc có tần số cắt
π
ω
=
c
M
(M: nguyên dương) gọi là bộ lọc Nyquist vì tại
các ñiểm là bội của M các mẫu ñều bằng 0.
Nhưng bộ lọc này không thực hiện ñược trên thực tế vì ñáp ứng xung h(n) không nhân
quả và có chiều dài vô hạn.
Khi thiết kế bộ lọc thực tế, người ta phải rời ñáp ứng xung h(n) của bộ lọc số lý tưởng
theo tâm ñối xứng sang bên phải sau ñó cắt ñi phần âm (phần không nhân quả) ñể h(n) lúc này
thành nhân quả và có chiều dài hữu hạn. Lưu ý, khi cắt ñi sẽ gây hiện tượng gợn sóng trong
miền tần số, gây nên hiện tượng Gibbs.
b. Bộ lọc thông cao lý tưởng (High pass Filter)
ðáp ứng biên ñộ của bộ lọc thông cao lý tưởng ñược ñịnh nghĩa như sau:

Trang 14/22

ω

ω ω π
ω
− ≤ ≤ −


= ≤ ≤


≠

1
( )
0
c
j
c
H e

Hãy xác ñịnh h(n)
Giải:
Áp dụng biến ñổi ngược Fourier ta có:
( )
ω
π π
ω ω ω ω
π π ω
ω ω
π
ω ω ω
π π π π π ω

δ
π ω
= −
sin
( ) ( )
c c
c
n
h n n
n

Ở ñây,
δ
( )
n
là ñáp ứng xung của bộ lọc thông tất (All pass Filter) pha 0 vì chúng cho
tín hiệu ñi qua với mọi tần số. Lưu ý rằng
δ
( )
n
chập với một tín hiệu nào thì cũng chính bằng
tín hiệu ñó
δ
( )
n
* x(n) = x(n).
Như vậy, ñáp ứng xung của bộ lọc thông cao lý tưởng pha 0 bằng ñáp ứng xung của bộ
lọc thông tất trừ ñi ñáp ứng xung bộ lọc thông thấp với ñiều kiện pha 0.

h

H e

π ω π
− ≤ ≤
( )Ví dụ: Cho ñáp ứng tần số của bộ lọc thông dải lý tưởng pha không :
Trang 15/22

ω
ω ω ω
ω ω ω
ω
− ≤ ≤ −


= ≤ ≤


≠

2 1
1 2
1
( )
0
c c
j
c c

j j n j n j n
c c c c
c c
n n
h n H e e d e d e d
n n

Ta thấy: h
Bp
(n) = h
Ap
(n) – h
Lp
(n) – h
Hp
(n)
(Thông dải = Thông tất – Thông thấp – Thông cao)
d. Bộ lọc thông chắn dải lý tưởng (Band stop Filter)
ðáp ứng biên ñộ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng ñược ñịnh nghĩa như sau:

ω
π ω ω
ω ω ω
ω ω π
ω
− ≤ ≤ −


− ≤ ≤




− ≤ ≤

=

≤ ≤


≠

2
1 1
2
1
( )
0
c
c c
j
c
H e

π ω π
− ≤ ≤
( )

Hãy xác ñịnh h(n)
Giải:
Áp dụng các kết quả ñã tính của các bộ lọc lý tưởng trên ñây, ta có:

Có 4 tham số quyết ñịnh chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số là:
+ Tần số giới hạn dải thông ω
P
+ ðộ gợn sóng dải thông δ
1

+ Tần số giới hạn dải chắn ω
S
+ ðộ gợn sóng dải chắn δ
2

Về mặt lý tưởng các ñộ gợn sóng dải thông, dải chắn càng nhỏ càng tốt, tần số giới hạn
dải thông và dải chắn càng gần nhau ñể cho dải quá ñộ càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên trên thực
tế ñây là các tham số nghịch nhau (ñộ gợn sóng nhỏ thì dải quá ñộ phải lớn và ngược lại) nên
việc giải quyết bài toán cho các tham số cùng nhỏ gặp nhiều khó khăn, ta phải áp dụng tính tối
ưu với từng yêu cầu cụ thể của bài toán thiết kế bộ lọc.
III. Tổng hợp bộ lọc số FIR theo phương pháp cửa sổ
Mục tiêu chính của phương pháp này là dùng các hàm cửa sổ cho sẵn ñể tổng hợp bộ
lọc số FIR sao cho thực hiện ñược về mặt vật lý, nghĩa là các ñáp ứng xung phải có chiều dài
hữu hạn và nhân quả.
Các thủ tục thiết kế bộ lọc số FIR ñược thực hiện qua các bước sau:
- ðưa ra chỉ tiêu kỹ thuật δ
1
, δ
2
, ω
p
, ω
s
trong miền tần số ω .

d
(n) tức là hệ số của bộ lọc số thực tế, nhưng hệ số này có ñáp
ứng ñược các chỉ tiêu kỹ thuật ñặt ra hay không thì phải thử lại.
- Thử lại xem có thỏa mãn δ
1
, δ
2
, ω
p
, ω
s
hay không bằng cách chuyển sang miền tần số
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
j j j j j
d N
H e W e H e W e H e
π
ω ω ω ω ω
π
π
−
= =
∫

Nếu không thoả mãn ta sẽ tăng chiều dài N của cửa sổ.
Lưu ý:
- Trong miền tần số ω, cửa sổ và bộ lọc phải có pha trùng nhau, tâm ñối xứng của cửa
Trang 17/22

w n rect n
=

Xét cửa sổ chữ nhật trong miền tần số ta có:

Vì có dạng
0
0
nên ta biến ñổi tiếp:

Hình dưới ñây biểu diễn
( )
j
R
A e
ωCó hai tham số ñánh giá cửa sổ là:
- Bề rộng ñỉnh trung tâm ∆ω .
- Tỷ số giữa biên ñộ ñỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên ñộ ñỉnh trung tâm:
0
( )
20lg
( )
s
j
j
W e
W e

λ
= ≈ −

Lưu ý:
- Chất lượng của cửa sổ sẽ ñược ñánh giá là tốt nếu 2 tham số bề rộng ñỉnh trung tâm
∆ω và tỷ số biên ñộ ñỉnh thứ cấp thứ nhất trên ñỉnh trung tâm λ cùng nhỏ.
- Bề rộng ñỉnh trung tâm ∆ω nhỏ thì dải quá ñộ giữa dải thông và dải chắn của bộ lọc
sẽ nhỏ, nghĩa là tần số ω
p
và ω
s
gần nhau.
- Tỷ số biên ñộ ñỉnh thứ cấp thứ nhất trên ñỉnh trung tâm λ nhỏ dẫn ñến ñộ gợn sóng δ
1
,
δ
2
nhỏ.
- Nhưng ñây là 2 tham số nghịch nhau, bề rộng ñỉnh trung tâm muốn nhỏ thì tỷ số λ sẽ
lớn và ngược lại. Do vậy tuỳ từng ñiều kiện bài toán chúng ta sẽ ñưa ra các tiêu chuẩn kỹ
thuật riêng ñể chọn loại cửa sổ.
ðể ñánh giá cửa sổ có tính ñến thông số chiều dài N của cửa sổ thì người ta còn dùng
tham số sau:
0
( )
( ) 20lg ( )
( )
s
j
N

( )
( ) 20lg ( )
( )
s
j
N
j
j
N
W e
G e dB
W e
ω
ω
=
của cửa sổ chữ
nhật với các chiều dài N khác nhau:
ðồ thị
( )
j
R
G e
ω
với N=31

Trang 19/22

ðồ thị
( )
j

N N
n N
w n n N
N
n

≤ ≤

− −

−

= − ≤ ≤ −

−

≠




Ví dụ: Hãy vẽ cửa sổ Bartlett với N = 7
7
0 3
3
( ) 2 3 6
3
0
T
n

j j j
d T
H e W e H e
ω ω ω
=

- Các tham số của cửa sổ tam giác:
+
8
T
N
π
ω
∆ =

+
26
T
dB
λ
≈ −

Khi dùng cửa sổ tam giác hiện tượng Gibbs giảm ñi rất nhiều so với dùng cửa sổ chữ
nhật vì λ
T
< λ
R
, nhưng dải quá ñộ lại lớn hơn cửa sổ chữ nhật ∆
T
ω > ∆

( )
1
0
Han N
n n N
w n
N
n
π

− ≤ ≤ −

=
−


≠


- với α = 0,54: cửa sổ Hamming:
2
0,54 0,46cos 0 1
( )
1
0
Ham N
n n N
w n
N
n

Ham
N
π
ω
∆ =

+
43
Ham
dB
λ
≈ −

Như vậy, ta thấy
8
T Han Ham
N
π
ω ω ω
∆ = ∆ = ∆ =
, λ
T
> λ
Han
> λ
Ham
vậy trong 3 cửa sổ bề
rộng ñỉnh trung tâm là như nhau nhưng biên ñộ của ñộ gợn sóng dải thông và dải chắn sẽ nhỏ
nhất khi thiết kế bằng cửa sổ Hamming.
4. Phương pháp cửa sổ Blackman:

≠

∑

Với ñiều kiện
1
2
0
1
N
m
m
a
−
=
=
∑

Các tham số của cửa sổ Blackman:
+
12
B
N
π
ω
∆ =

+
57
B

1
= 0,46; a
m
= 0; m
≠
0,1
3.

a
0
= 0,42; a
1
= 0,5; a
3
= 0,08; a
m
= 0; m
≠
0,1,2
Giải:
1.

V
ớ
i các h
ệ
s
ố
trên
ñ

Ta có
ñ
ây là b
ộ
tham s
ố
thông d
ụ
ng nh
ấ
t c
ủ
a c
ử
a s
ổ
Blackman
2 4
0,42 0,5cos 0,08cos 0 1
1 1
0
B
n n n N
w
N N
n
π π

− + ≤ ≤ −


β

 
−
   

 
− −
   
−

   
 
 

≤ ≤ −
=

 − 
 

 
 
 
 


≠



4 9
β
≤ ≤
.
Trong cửa sổ Kaiser ta có thể thay ñổi tham số β ñể thay ñổi tỷ lệ giữa λ
K
và ∆ω
K
.
Cửa sổ Kaiser là một cửa sổ gần tối ưu, tuy nhiên vì biểu thức ñại số của cửa sổ này
khác phức tạp, không thân thiện với người dùng, nên việc sử dụng nó cũng có hạn chế.
Các tham số quan trọng của một số hàm cửa sổ
Trang 22/22
Một số hàm cửa sổ ñể tổng hợp bộ lọc FIR