312

CHƯƠNG VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
VI.1. 1)
3 sin cos 2
x x− =
3 1 2
sin cos
2 2 2
sin sin cos cos cos
3 3 4
(cos cos sin sin ) cos
3 3 4
cos( ) cos
3 4
cos( ) cos
3 4
3
cos( ) cos
3 4
3
2
3 4
3
2
3 4
3
2
4 3
3
2

π
⇔ − =
⇔ − =
⇔ − − =
⇔ − + =
⇔ + = −
⇔ + =

+ = +

⇔


+ = − +



= − +

⇔


= − − +


= +
⇔
=
( )
13


2
4cos cos 3 0
cos 1
3
cos
4
2
3
arccos( ) 2 ,( )
4
3
arccos( ) 2
4
x x
x
x
x k
x k k
x k
π π
π
π
⇔ + − =
= −


⇔

=


2
2
1 cos2
2cos 2 1 2( ) 0
2
2cos 2 cos 2 0
cos 2 (2cos 2 1) 0
x
x
x x
x x
+
⇔ − + =
⇔ + =
⇔ + =

cos2 0
2cos2 1 0
x
x
=

⇔

+ =


2
2




= +



⇔ = + ∈



= − +


ℤ

4 2
( )
3
3
x k
x k k
x k
π π
π
π
π
π

= +

2 19
cos
5
2 19
cos
5
x x x
x x
x
x
⇔ + − − =
⇔ + − =

− +
=


⇔

− −
=



2 19
cos
5
x
− +
⇔ = (Vì phương trình


ℤ

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
2 19
arccos 2 ,( ).
5
x k k
π
 
− +
= ± + ∈
 
 
 
ℤ

5)
cos sin 3sin 2 1 0
x x x
− + − =

Đặt
cos sin 2 cos ,
4
t x x x
π
 
= − = +
 

x
x
π
π

+ =

⇒


+ = −



1
cos( )
4
2
2
cos( )
4 3
x
x
π
π

+ =


⇔

π
π
π
π
π

+ = +



⇔ + = − +



+ = ± − +




=


⇔ = − + ∈



= ± − − +


ℤ

π
 
= + = +
 
 
điều kiện:
2.
t ≤
Khi đó
2
2
1
1 2sin cos sin cos .
2
t
t x x x x
−
= + ⇒ =
Phương trình (1) trở thành
(
)
2
2 1 3 3 3 3 0
t t
− − + =2
2 3 3 3 3 2 0
1

x
π π
 
⇔ + = = =
 
 

( )
2
2
4 4
, .
2
2
2
4 4
x k
x k
k
x k
x k
π π
π
π
π
π π
π
π π

=


Đặt
sin cos 2 sin ,
4
t x x x
π
 
= − = −
 
 
điều kiện:
2.
t ≤
Suy ra
2
1 2sin cos 1 sin2
t x x x
= − = −
2
sin2 1
x t
⇒ = −

Khi đó phương trình (1) trở thành
( )
2
2
1 1
0
1 0


+ Với t = 1. Ta có
( )
1
2 sin 1 sin
4 4
2
2
2
4 4
, .
2
2
2
4 4
x x
x k
x k
k
x k
x k
π π
π π
π
π
π
π π
π π
π π
   

( )
2 2
1
sin 2sin cos 2cos 1
2
x x x x+ − =
Vì
cos 0
x
=
không là nghiệm của (1) nên chia hai vế của phương trình (1) cho
2
cos 0
x
≠

ta nhận được của phương trình
( )
2 2
1
tan 2 tan 2 1 tan
2
x x x
+ − = +
( )
2
tan 4 tan 5 0
tan 1
,
4

π
π π
= + = − + ∈
ℤ

9)
cos 2
cos sin (1)
1 sin 2
x
x x
x
+ =
−

Điều kiện:
( )
1 sin 2 0 sin2 1 ,
4
x x x k k
π
π
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈
ℤ

Với điều kiện trên thì
( )
( )( )
( )
2

( )
1
cos sin 1 0
cos sin
cos sin 0
cos sin 1
x x
x x
x x
x x
 
⇔ + − =
 
−
 
+ =

⇔

− =


tan 1
2 cos 1
4
x
x
π
= −


π
π

= − +


= − +




⇔ + = + ⇔ = ∈




= − +


+ = − +



ℤ
. (Thỏa điều kiện)
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
, 2 , 2 ,( ).
4 2
x k x k x k k
π π

sin 2
1 2 sin 1 0
2 4
x
x
π
 
   
⇔ + − − =
   
 
   
 

2 sin 1 0
4
sin 2
1 0
2
1
sin
4
2
sin 2 2
x
x
x
x
π
π

⇔ − =
 
 
(Vì phương trình
sin2 2
x
= −
vô nghiệm)
2
4 4
2
4 4
x k
x k
π π
π
π π
π π

− = +

⇔


− = − +



318


sin 3 2cos 1
x x
= −

3 2
3sin 4sin 1 2sin
x x x
⇔ − = −
3 2
4sin 2sin 3sin 1 0
x x x
⇔ − − + =

(
)
(
)
2
sin 1 4sin 2sin 1 0
x x x
⇔ − + − =

2
sin 1
4sin 2sin 1 0
sin 1
1 5
sin
4
1 5

1 5
arcsin 2
4
1 5
arcsin 2
4
1 5
arcsin 2
4
1 5
arcsin 2
4
x k
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π π
π
π π


= +


 
− +

 
 

 


Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
( )
1 5 1 5
2 , arcsin 2 , arcsin 2 , .
2 4 4
x k x k x k k
π
π π π π
   
− ± − ±
= + = + = − + ∈
   
   
   
ℤ

2)
( )
2
1 tan
sin cos (1)
1 tan
x
x x

≠ +


⇔ ∈


≠ +


ℤ

Với điều kiện trên thì
( )
2
cos sin
(1) sin cos
cos sin
x x
x x
x x
+
⇔ = +
−

( ) ( )( )
2
cos sin cos sin cos sin 0
x x x x x x
⇔ + − − + =



⇔
 


=


sin 0
4
sin 0
x
x
π

 
+ =
 

⇔
 


=

( )
,
4 4
x k x k
k

−
+ =
Điều kiện:
( )
cos 2 0 , .
4 2
x x k k
π π
≠ ⇔ ≠ + ∈
ℤ

Với điều kiện trên thì
2 2
sin 2 1 sin 2 cos 2 sin 2 1 sin 2
(1) 1
cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
x x x x x
x x x x
− + −
⇔ + = ⇔ =
(
)
cos 2 cos 2 sin 2 1 sin 2
x x x x
⇔ + = −
2
cos 2 cos2 sin 2 sin 2 1 0
x x x x
⇔ + + − =


− =


320

2 2
2 2 ,( )
4 4
2 2
4 4
x k
x k k
x k
π π
π π
π
π π
π


= +


⇔ − = + ∈



− = − +

ℤ

π
π π
= + = ∈
ℤ

4)
(
)
tan 3 tan sin2 1
x x x
− =
Điều kiện:
cos3 0
cos 0
x
x
≠


≠

( )
3
6 32
, .
6 3
2 2
k
xx k
k

( )
( )
2
sin 2 sin 2 cos3 cos
sin 2 1 cos3 cos 0
sin 2 0
sin 2 0
1
cos3 cos 1 0
cos 4 cos 2 1 0
2
sin 2 0
sin 2 0
3
cos 2 1 cos 2
2cos 2 cos 2 3 0
2
x x x x
x x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x x
⇔ =
⇔ − =
=

⇔

=

sin 2 0 .
2
k
x x⇔ = ⇔ =
π

Đối chiếu với điều kiện thì nghiệm của phương trình đã cho là
(
)
, .
x k k
π
= ∈
ℤ

5)
(
)
(
)
2
sin sin 2 sin sin 2 sin 3
x x x x x
− + =
2 2 2
sin sin 2 sin 3

x


=

⇔ = −


= −



2 2
2 2
2
2
2 2
3
3
x k
x k
x k x k
x k
x k
π
π
π
π π π
π
π

π
π
π

=

⇔ ∈


= ± +


ℤ

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
, ,( ).
2 3
k
x x k k
π π
π
= = ± + ∈
ℤ

6)
3
sin sin3 4cos 0
x x x
+ + =



2
4 2
x k
x k
π
π
π π
π

= +

⇔


− = +


2
,( )
3
4
x k
k
x k
π
π
π
π


⇔ = + + −

2
2sin cos 2 cos 2cos 0
x x x x
⇔ − − =

cos (2sin 2 2cos ) 0
x x x
⇔ − − =

cos 0
cos 0
2
2sin 2 2cos 0
sin cos
2
cos 0
2
2 sin( )
4 2
cos 0
1
sin( ) sin
4 2 6
x
x
x x
x x
x


− = =


2 2
5
2 2 ,( )
4 6 12
13
5
2
2
12
4 6
x k x k
x k x k k
x k
x k
π π
π π
π π π
π π
π
π π
π
π
 
= + = +
 
 

x x x x x x k
π π
+ + + = ⇔ = − ∨ = − ⇔ = +
.
2
x k
π
π
⇔ = + Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
,( ).
2
x k k
π
π
= + ∈
ℤ

2 2 2 2
9) 2cos 3 cos cos 3 sin 1 0
x x x x
− + − =

2 2 2
cos 3 (2cos 1) cos 0
x x x
⇔ − − =

2
1
cos 3 cos 2 (1 cos 2 ) 0

( )
1
cos8 cos4 1 0
2
cos8 cos 4 2 0
x x
x x
⇔ + − =
⇔ + − =

2
2cos 4 1 cos 4 2 0
x x
⇔ − + − =

2
2cos 4 cos 4 3 0
cos4 1
3
cos4
2
cos4 1 4 2
,( ).
2
x x
x
x
x x k
k
x k

( )
sin 0 2 , .
2
x
x k k
π
≠ ⇔ ≠ ∈
ℤ

Ta thấy
(
)
2 ,x k k
π π
= + ∈
ℤ
không là nghiệm của phương trình (1).
Với
( )
2
,
2
x k
k
x k
π π
π
≠ +

∈

2 1 2 2 0
2 3 2 1 0
1
t t t t
t t t
t
⇔ + + − − =
⇔ − + − =
⇔ =

Khi
1
t
=
thì
tan 1
2
x
=
2 ,( ).
2 4 2
x
k x k k
π π
π π
⇔ = + ⇔ = + ∈
ℤ

So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là
( )

2
1 1
t t
t
t t
−
+ + =
+ +

(
)
(
)
2 2 2
2 1 1 2 1
t t t t t
⇔ + − + + = +

2 3 2
2 1 2 2
t t t t t
⇔ + − + + = +
3 2
3 3 1 0
t t t
⇔ − + − =

1
t
⇔ =

2
2
3 1 tan
3) cos4 2 0
1 tan
x
x
x
−
− + =
+
(1)
Điều kiện:
x , .
2
k k
π
π
≠ + ∈
ℤ
Khi đó phương trình (1) trở thành
(
)
( )
( )
2 2
2
2
2
2

 
 
⇔ − + + =
⇔ − − + + =
⇔ − + =
= =
=
 
 
⇔ ⇔ ⇔ ∈
 
= ± + = ± +=

 
ℤ

So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là
, 2 ,( ).
6
x k x k k
π
π π
= = ± + ∈
ℤ

( )
tan - 1
4) cot 2 0, 0 (1)
tan 1
x

π
π

≠ +


⇔ ≠



≠ − +

2
,( ).
4
k
x
k
x k
π
π
π

≠


⇔ ∈


≠ − +


≠



Khi đó
tan 1 cos2
(1) 0
tan 1 sin2
x x
x x
−
⇔ + =
+

Đặt
tan
t x
=
thì phương trình (1) trở thành
( )
2
1 1
0
1 2
1 1
1 0
1 2
1 0
1


tan 1
x
⇒ =

,( )
4
x k k
π
π
⇔ = + ∈
ℤ

Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình đã cho là
.
4
x
π
=
3
2
1
5) tan 1 3cot 3(1)
cos 2
x x
x
π
 
− + − − =
 

tan 1
tan 1
tan 3
tan 3
x x
x
x x x
x x
x
x
x
x
− + − =
⇔ + − − =
⇔ + − =
= −
= −


⇔ ⇔


=
= ±



4
,( )
3

3
x
π
=
6)
3 3
2
cos sin sin cos
8
x x x x− = (1)
(1)
2 2
2
cos sin (cos sin )
8
x x x x⇔ − =
2 2 2
cos sin cos 2 sin 2 cos 2 sin 4
8 4 2
4 2
16 2
4
;( ).
3 3
4 2
4 16 2
x x x x x x
x k
x k
k

π π π π
= + = + ∈
Z

7)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 (1)
x x x x
− = −
2 2 2 2
(1) sin 3 sin 5 cos 4 cos 6
x x x x
⇔ − = −
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( ) ( )( )
( )
( )
2
sin 3 sin 5 sin3 sin 5 cos 4 cos6 cos4 cos6
2sin 4 cos 2cos4 sin 2cos5 cos 2sin5 sin
cos sin sin 4 cos 4 cos5 sin5 0
1 1
cos sin sin8 sin10 0

9
x
x
x k
k
x
x k k
k
x
k
x
π
π
π
π
π
π


=


=


= +


=


(
)
( )
3 2
3 2
2
(1) 4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0
4cos 8cos 0
4cos cos 2 0
x x x x
x x
x x
⇔ − − − + − =
⇔ − =
⇔ − =

cos 0
cos 2
x
x
=

⇔

=


Ta loại trường hợp
cos 2.
x

π
⇔ − ≤ ≤ − ∈ ⇒ ∈Z
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là thỏa yêu cầu của đề bài là
3 5 7
; ; ; .
2 2 2 2
x
π π π π
 
∈
 
 

9)
4 4 4 2
1
sin sin cos sin 2 (1)
2 8 2
x
x x x
π
 
+ + + =
 
 

4 4 4 2 2
(1) sin sin cos 2sin 2 cos
2 8
x

4
x
x x
x
x
x
x
x
x
k
x k x
x x
m m
k
x
x m
x m
π
π
π
π
π π π
π
π π
π π
π π
π
π
π
π

 
+ = = − +
 
 

= +


⇔ ⇔ = − +


= − +


(
)
, .
m ∈
ℤ

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
2 ,( ).
4
x m m
π
π
= − + ∈
Z

10)

2
cos
3
2
x x x
x kx
k
x k
x
π
π
π
⇔ − + − =
==




⇔ ⇔ ∈


= ± +
=


ℤ

Các giá trị này đều thỏa điều kiện (*)

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là

x k
x k
π
π
π
π

≠ − +


+ ≠ ⇔ ∈


≠ +


ℤ

Kết hợp với điều kiện
(
)
0;2
x
π
∈ ta có điều kiện
( )
0;2
11 23
, (*)
12 12

 
= +
 
+
 
sin cos sin 3
5 cos 2 3
1 2sin 2
x x x
x
x
+ +
 
⇔ = +
 
+
 

2sin 2 cos cos
5 cos2 3
1 2sin 2
x x x
x
x
+
 
⇔ = +
 
+
 

Vì
cos 1
x
≤
nên ta chọn trường hợp
1
cos
2
x
=
2
3
,( )
2
3
x k
k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= − +


sin 3 tan 3 sin( )
6
x x x
π
⇔ = +
sin 3
sin3 sin( )
cos3 6
x
x x
x
π
⇔ = +
1
sin 3 1 sin( ) 0
cos3 6
x x
x
π
 
⇔ − + =
 
 

sin 3 0
1
1 sin( ) 0
cos3 6
x
x

=


⇔

= +


sin 3 0
sin( 3 ) sin( )
2 6
x
x x
π π
=


⇔

− = +


3
3 2 ,( )
2 6
3 ( ) 2
2 6
x k
x x k k
x x k

k
x k
x k
π
π π
π
π

=



⇔ = − ∈



= − −


ℤ

So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là
( )
, , .
3 12 2
k k
x x k
π π π
= = − ∈ℤ
3)


≠
 
⇔ ∈
 
 
≠ −
≠ − +



ℤ

Khi đó phương trình đã cho trở thành
2 2
2
cos sin cos sin 1
cos ( ) sin sin 2
sin (cos sin ) 2
x x x x
x x x
x x x
− −
= + −
+

2
cos sin 1
cos (cos sin ) sin sin 2
sin 2

⇔ = −
1
(cos sin ) (cos sin ) 0
sin
x x x x
x
 
⇔ − − − =
 
 cos sin 0
1
(cos sin ) 0
sin
x x
x x
x
− =


⇔

− − =
2
2 cos( ) 0



ℤ

331

2
,( )
4
1 cos
1 0
sin sin
x k k
x
x x
π
π

= + ∈

⇔


− + =


ℤ

2
,( )

,( ).
4
x k k
π
π
= + ∈
ℤ

4)
2
sin 4 .sin 2 sin 9 .sin 3 cos
x x x x x
+ =
2
1 1
(cos2 cos6 ) (cos6 cos12 ) cos
2 2
x x x x x
⇔ − + − =
1 1 cos2
(cos2 cos12 )
2 2
x
x x
+
⇔ − =
cos12 1
x
⇔ = −


cos sin cos 2 2cos sin cos 2
x x x x x x
x x x x x x
⇔ + = + −
⇔ + = +

2 2
2
1
sin 2 sin sin 2
4
1
sin 2 sin 2 sin 1 0
4
x x x
x x x
⇔ =
 
⇔ − =
 
 

2
sin 2 0
1
sin 2 sin 1 0
4
x
x x
=

sin2 sin 1
x x
≤
nên phương trình
2
sin 2 sin 4
x x
=
vô nghiệm).
332

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
,( ).
2
k
x k
π
= ∈
ℤ

6) 3cos 4 sin 4 2cos3 0
3 cos 4 sin 4 2cos3
3 1
cos 4 sin 4 cos3
2 2
x x x
x x x
x x x
+ − =
⇔ + =

 
− = + = +
 
⇔ ⇔ ∈
 
 
− = − + = +
 
 
ℤ

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
( )
2
2 , , .
6 42 7
k
x k x k
π π π
π
= + = + ∈
ℤ

7)
2 2
4cos 2cos 2 1 cos4
x x x
− = +
( )( )
2 2 2

k
x
x k
k
x k
π
π
π
π
π
=

⇔

=

=

⇔

=


=

⇔

=

⇔ = ∈


333

( )
( )
2
2
2
2
2
2 2
sin
1 2 sin 2sin
4 cos
sin
sin cos 2sin
cos
sin
1 2sin cos 2sin
cos
cos 2sin cos 2sin cos sin 0
x
x x
x
x
x x x
x
x
x x x
x

,
4
x
x x
x
x
x k
k
x k
π
π
π
π
π

 
+ =
+ =

 

⇔ ⇔
 


=

 =



x x
x x
⇔ + = + −
⇔ = −
⇔ − = −

2
4cos cos 3 0
x x
⇔ + − =

( )
2
cos 1
, .
3
3
arccos 2
cos
4
4
x k
x
k
x k
x
π π
π
= +


)
(
)
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
10) 2sin 1 2cos sin sin 2 cos
2sin 1 2cos sin 2sin cos cos
2sin 1 2cos sin cos 2sin 1 0
2sin 1 cos sin 0
x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x x
− + = −
⇔ − + = −
⇔ − + − − =
⇔ − + =

334

1
sin
2sin 1 0
2
cos sin 0
2 sin 0
4
2
6



+ =
 

 


= +



⇔ ∈
= +



= − +


ℤ

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
5
2 , 2 , ,( ).
6 6 4
x k x k x k k
π π π
π π π
= + = + = − + ∈

π
π π π π
π π
π π π π
π π π π
 
⇔ − =
 
 
  
− = + = − = −
  
⇔ ⇔ ∈
  
  
− = − + = − − = − −
  
  
ℤ

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
( )
; , .
18 3 6 2
k
x x k k
π π π π
= − = − − ∈
ℤ


335

( )
4 3 2 2
6 6
, .
2
4 3 2
6 42 7
x x k x k
k
k
x x k x
π π
π π
π π π
π
 
= − + = − +
 
⇔ ⇔ ∈
 
 
= − + + = +
 
 
ℤ

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
( )

≠ + ∈
ℤ

(
)
2
4
4 4
2 sin 2 sin 3
sin
(1) 1
cos cos
x x
x
x x
−
⇔ + =
(
)
4 4 2
sin cos 2 sin 2 sin3
x x x x
⇔ + = −
(
)
2 2 2
1 2sin cos 2 sin 2 sin3
x x x x
⇔ − = −
( )

x x
x x
 
− = =
 
⇔ ⇔
 
− = =
 
 

1
sin 3
2
x
⇔ = ⇔
2
3 2
6 18 3
,( ).
5 5 2
3 2
6 18 3
k
x k x
k
k
x k x
π π π
π

4 4
sin cos 1 1
cot 2 (1)
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
= −
336

Điều kiện:
sin 2 0 2 ,( ).
2
k
x x k x k
π
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
ℤ

Với điều kiện trên thì
4 4
sin cos cos 2 1
(1)
5sin 2 2sin 2 8sin 2
x x x
x x x
+
⇔ = −

)
2
8 4 1 cos 2 20cos 2 5
x x
⇔ − − = −

2
9
cos2
2
4cos 2 20cos 2 9 0
1
cos2
2
x
x x
x

=

⇔ − + = ⇔


=

2 2
1

π

= +

⇔ ∈


= − +


ℤ

(Vì phương trình
9
cos2
2
x
=
vô nghiệm).
So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình đã cho là
,( ).
6
x k k
π
π
= ± + ∈
ℤ

3)
1 sin cos sin 2 cos2 0


2 cos( ) 0
sin cos 0
4
2cos 1 0 1
cos
2
x
x x
x
x
π

− =

+ =

⇔ ⇔


+ =


= −

