242

CHƯƠNG V. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
V.1.
)
(
)
1
1 4 10.2 24 1
x x−
− =
( )
(
)
2
1 2 5.2 24
x x
⇔ − =

Đặt
2 0.
x
t
= >
Phương trình (1) trở thành
2
5 24
t t
− =

2

)
(
)
2 2
2 4.2 6 18.3 1
x x x
− =
( )
2
2 2
1 4. 18
3 3
x
   
⇔ − =
   
   

Đặt
2
0.
3
x
t
 
= >
 
 
Phương trình (1) trở thành
2

2.
x
⇔ = −

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
2.
x
= −
Điều kiện:
0
x
>

Ta có
( )
3
3 3 3
2
log
log
log log log
3
3 3 3 ,
x
x
x x x
x x= ⇒ = = do đó

3
log 4
x
⇔ =

3
3
log 2
log 2
x
x
=

⇔

= −


2
2
3 9
1
3 .
9
x
x
−

= =


x
x
x
+ >

⇔ > −

+ >


( )
(
)
2
1 1
3 5
2log 1 log 2 1
(1) 3 5
x x
− −
+ +
⇔ =
( )
(
)
2
5
3
log 2 1
2log 1

1 2 1
x x
−
−
⇔ + = +
2 2
2 1 2 1
x x x
⇔ + + = +

2
2 0
x x
⇔ − =

0
2
x
x
=

⇔

=


Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
0; 2.
x x
= =

4
2
t
t
=

⇔

=

(Nhận).
+ Với
2
t
=

2
5
2 2
x x− −
⇒ =
2 2
5 1 5 1
x x x x
⇔ − − = ⇔ − = −

244

2 2
1 0

5 5 2
2 4 2 2
x x x x− − − −
⇒ = ⇔ =
2 2
5 2 5 2
x x x x
⇔ − − = ⇔ − = −

2 2
2 0
( 2) 5
x
x x
− ≥

⇔

− = −

2
4 9
x
x
≥

⇔

=


1
3 ( 0).
x x
t t
+ −
= >
Khi đó phương trình (1) trở thành
2
10
1 0
3
t t
− + =
3
1
3
t
t
=


⇔

=

(Nhận).
+ Với
1
3
t

=
2
1 2
3 3 1 1
x x
x x
+ −
⇒ = ⇔ + − =
2
2 0
x x
⇔ + − =
1
2
x
x
=

⇔

= −


Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
2; 1; 0; 1.
x x x x
= − = − = =

7)
3.4 (3 10).2 3 0(1)

2
3 10 4.3. 3 9 60 100 36 12
9 48 64 3 8 .
x x x x x
x x x
∆ = − − − = − + − +
= − + = −

245

Vì vậy
1

(2)
3
3
t
t x

=

⇔

= −


+ Với
1
3
t

là một hàm số tăng trên
ℝ
nên phương trình (3) chỉ có
một nghiệm duy nhất
1.
x
=

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
2
1
log ; 1.
3
x x
= =

8)
2
(2 3) 2(1 2 ) 0(1).
x x
x x+ − + − = Ta coi (1) là phương trình bậc hai theo ẩn
.
x
Khi đó
2
(1)
1 2
x
x
x

là hàm tăng trên
ℝ
,
1
y
=
là hàm hằng.
Nên
0
x
=
là nghiệm duy nhất của
(
)
2 .

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
0; 2.
x x
= =

9)
3 1
4.3 3 1 9 (1)
x x x+
− = −
Điều kiện:
1 9 0 9 1 0.
x x
x

t t t t
⇔ = ⇔ = (Do
[0; )
2
t
π
∈ )
246

cos3 cos
2
t t
π
 
⇔ = −
 
 

( )
3 2
8 22
, .
3 2
2 4
k
tt t k
k
t t k t k
π ππ
π

Ta có
2 2
2 2 2 2
cos 2cos 1 cos cos .
4 8 8 4 8 2
π π π π
+ +
= − ⇔ = ⇔ =
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
3
2 2
log .
2
x
+
=
10)
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +

Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng
( )( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 2 6 5 3 2 6 5


= − ∨ = −
+ + =

 

− = =

 

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
1; 2; 1; 5.
x x x x
= = = − = −

11)
sin
4
tan .
x
e x
π
 
−
 
 
=

Điều kiện:
( )

v x
=


=

. Ta có
(
)
, 1;1 ; , 0.
u v u v
∈ − ≠

Từ (1) ta có phương trình
2 2
2 2
.
u v
e e
u v
=
Xét hàm số
2
2
( ) ,
x
e
y f x
x
= = với

−

và
(0;1).

Ta thấy
,
u v
cùng dấu nên
,
u v
cùng thuộc một khoảng (
1
−
; 0) hoặc (0; 1).
Từ giả thiết
( ) ( ) tan 1 .
4
f u f v u v x x k
π
π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = +
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là
,
4
x k
π
π
= +
(

5
x
t
 
= >
 
 
Bất phương trình (1) trở thành
2
1 0
t
t
− − >

2
2 0
t t
⇔ − − >

1
2
t
t
< −

⇔

>




2)
2
9 3 3 9
x x x+
− > −

⇔
2
2
3 9 0
9 3 0
3 9 0
9 3 9 18.3 81
x
x x
x
x x x x
+
+


− <



− ≥





≥



≥




Vậy, tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là
[2; ).
+∞

248

3)
4 2 4
2(1)
1
x
x
x
+ −
≤
−

1
4 2 0 2 1
2


− ≤ ≤








− > > >
− 
  


⇔ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ <



−
≥
  
− ≥


≥





Đặt
2 0
x
t
= >

Bất phương trình đã cho trở thành
30 1 1 2
t t t
+ ≥ − +

+ Xét
0 1
t
< <

Ta có
30 1 1 2
t t t
+ ≥ − +

2
2
30 1 1 2
30 1 1
30 1 2 1
28 0
0 28
t t t
t t

30 1 1 2
t t t
+ ≥ − +

30 1 1 2
30 1 3 1
t t t
t t
⇔ + ≥ − +
⇔ + ≥ −

2
30 1 9 6 1
t t t
⇔ + ≥ − +
(do
1 3 1 0)
t t
≥ ⇒ − >

2
9 36 0
t t
⇔ − ≤

0 4
t
⇔ ≤ ≤

So với điều kiện

t x x
= ⇒ =
Ta có bất phương trình
2 2
2 2 4
t t
+ ≤

2
2 2
t
⇔ ≤

2
1
t
⇔ ≤

1 1
t
⇔ − ≤ ≤

Suy ra
2
1 log 1
x
− ≤ ≤
1
2
2

10 3 10 3 1
10 3 10 3
−
− + =
⇒ − = +

do đó bất phương trình (1) tương đương với

( ) ( )
( ) ( )
1 3
3 1
1 3
3 1
10 3 10 3 0
10 3 10 3
1 3
3 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
+ −
−
+ −
+ −
−
+ −

− < ≤ −
⇔

< ≤



Vậy, tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là
( 3; 5] (1; 5].
− − ∪
7)
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + > + +

Bất phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12 0
x x x
x x x x
+
+ + − − − >

(
)

2 4
2 3 0 1 3
2 44 2 0
1 3
2 3 0
x
x
xx
x x x x
x
x x




− >

<





− − > < − ∨ >

 

 
⇔ ⇔


x x
x


− < <




< − ∨ >
− < < −



⇔ ⇔



< <

< − ∨ >





− < <




⇔ + − > −

( )
2
2
2
2
5 2 0
8 2 0
5 2 0
8 2 5 2
5
2
2 4
5
2
5 22 17 0
t
t t
t
t t t
t
t
t
t t

− <




≤





− + <



5
4
2
1 4
5
1
2
t
t
t

< ≤

⇔ ⇔ < ≤


< ≤




Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
x
x
+
< −
−

(
)
2 2 2
0
2
2 2 4
0(1)
2
x x
x
x x
x
+ + −
⇔ <
−
+ − +
⇔ <
−

+ Xét trường hợp

⇔ <

(1) cũng không nghiệm đúng.
+ Xét trường hợp
0
x
>

2 2 4
(1) 0
2
6
0 2 6.
2
x x
x
x
x
x
+ − +
⇔ <
− +
−
⇔ < ⇔ < <
−

Vậy, tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là
(
)
2;6 .


Xét hàm số
(
)
2 .
t
f t t
= +

Hàm số này đồng biến trên
.
ℝ

Phương trình
(
)
1
được viết dưới dạng
(
)
(
)
2
6 4 3
f m x f x m
+ = +
252

( )
2

≠ ±
thì phương trình
(
)
1
có nghiệm là
2
3 6
.
4
m
x
m
−
=
−

V.4.
(
)
(
)
4 4 2 2 1 1 .
x x x x
m
− −
+ = + + Đặt
(
)
2 2 2

t
m
t
−
⇔ =
+

Xét
( )
2
2
1
t
f t
t
−
=
+
,
2
t
≥
. Phương trình
(
)
1
có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng
y m
=


Dựa vào bảng biến thiên ta có với
2
3
m
≥
thì phương trình
(
)
1
có nghiệm.
Vậy, phương trình (1) có nghiệm khi
2
.
3
m
≥

V.5. 1)
3 2 3
4 128
.
5 1
x y
x y
+
− −

=



2
2 2 7
3
5 10
2
x
x y
x
y
=

+ =


⇔ ⇔
 
=
=




Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là
3
2; .
2
 
 
 


x y x y y y
x y
x y
x y
+ +
− − + +
= +

− =
= +



⇔ ⇔ ⇔
  
− =
− =
− − =





2 1
2
2 1
4 1
4 1
5
2 8



Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là
(5;1).

3)
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

+

( )
3 2
2 5 4
2 2 2


3 2
5 4 0
2
x
y y y
y

− + =

⇔

=


0
0
1
1
4
2
4
2
x
xy
yy
y
x
y
y


Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là
(
)
(
)
0;1 ; 2;4 .

4)
2 2
log ( ) log 3
2 2
9 3 2( )
( )
3 3 6
xy
xy
I
x y x y

= +


+ = + +



Điều kiện:
0
xy

Khi đó, phương trình
2 2
log ( ) log 3
9 3 2( )
xy
xy= + trở thành
3
log
9 3 2
t
t
= +
2
3
log
3 3 2
t
t
⇔ = +
2 2
3 2 2 3 0
t t t t
⇔ = + ⇔ − − =
1
3
t
t
= −

⇔

2
x y
x y x y
x y
+ =

+ − + − = ⇔

+ = −


Suy ra
2
5
( )
2
2
xy
x y
I
xy
x y
 =



+ =


⇔

5 17
2
5 2 0
5 17
2
X
X X
X

+
=


− + = ⇔

−
=



Suy ra hệ phương trình
( )
I
′
có hai nghiệm là
5 17 5 17 5 17 5 17
; ; ; .
2 2 2 2
   
+ − − +

′′
vô nghiệm.
Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là
5 17 5 17 5 17 5 17
; ; ; .
2 2 2 2
   
+ − − +
   
   
   

5)
2
2
2
2
( )2 1
( )
9( ) 6
y x
x y
x y
I
x y
−
−

+ =


  
⇔ ⇔ ⇔
  
− =
= =

 

 

2
2
2
2
2
2 2 4
2
2
2
1
2
x y
y
x y
x y
x y
y
x y
−


x
y
y
y
x
x
x
x
y


=

=



=
=

 



⇔ ⇔ ⇔=
 

=

= −

I
x y

− = − +


+ =



2 2
2 2
2 2 3 3 2 2 3 3
2 2 2 2
3 3 ( )( )
( )
8
3 3 3 3
8 8
x y
x y x y
y x xy x y
I
x y
xy x y y x xy x y x y
x y x y

− = − + +

⇔


Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
2
2
2
8 2 8
2
2
2
x
x y
y
x y x y
x
x y x
x
x
y

= −

=



= −
= =
 
 

3 3 (1)
7
3 3 (2)
x
y
x y
y x

+ = +


+ = +



Trừ
(
)
1
cho
(2)
vế theo vế ta được
3 3 3 2 3 2 .
x y x y
x y y x x y
+ − − = − ⇔ + = +
Xét hàm số đặc trưng
(
)
(

Do đó phương trình 3 2 3 2
x y
x y x y
+ = + ⇔ =

Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với
3 3
x
x y
x x
=


+ = +

1
1
3 3
x
x y
x
y
=
=


⇔ ⇔
 
=
=

I

Ta có hệ phương trình
( )
I
tương đương với
(
)
2 2 2
2
2
2 2
2
2
4 3 2
2
2
2 2 3 2 3. 2 3 2 2
2 3 2 2
2 2 2 3 2
2 3 2 2
4 6 5 2 0
2 3 2 2
x
x
x
y y y y y
y y
y y y y
y y

2
2
2
2
1 2 1 0
2 2 3 2
1 0
2 0
2 2 3 2
x
x
y y y y
y y
y
y
y y

− − − + =

⇔

= − +

 − =



− =
⇔



=



0
1
1
1
2
x
y
x
x
y

=



=



⇔

=




2 2
2 3 2
( )
2 3 2
u u y
I
y y u

− = −


− = −



Trừ theo vế của hai phương trình của hệ cho nhau ta được
2 2 2 2
2( ) 3( ) ( ) 3( )( 1) 0
1
u y
u y u y u y u y u y
y u
=

− − − = − − ⇔ − + − = ⇔

= −


+ Với

= = =

 
⇔ ⇔
 

= ∨ = = =
− = −
 



= =






= =


 

⇔ ⇔


= ∨ = −
 
=

)
( )
3
3
log 2
log ( )
2 2
4 2
9
3 3 12
xy
xy
x y x y

= +


+ − − =



Điều kiện:
0
xy
>

Hệ phương trình đã cho tương đương với
( )
( ) ( )
( ) ( )

log
log
2
2
2 1
2 2
2 2
2 3 12
2 3 12
xy
xy
xy
VN
x y xy x y
x y xy x y


= −



=
 
⇔ ⇔

=
 

+ − − + =
 

+ − + − =
+ − − + =




=


⇔ + =




+ = −



( )
3
6
3
6
3
3
xy
x y
xy
x y
xy

x
y


= +


= −


⇔


= −


= +



Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là
(
)
(
)
3 6;3 6 ; 3 6;3 6 .
+ − − +

)
2 2

. Điều kiện:
0
0
u
v
>


>


Hệ phương trình đã cho trở thành
2 2
2
3
u v
u v uv

+ =

+ + =


( )
2
2 2
3
u v uv
u v uv


3
3
u v
u v u v
u v
uv u v
uv u v
 + =


+ + + − =



+ = −
⇔ ⇔

 
= − + +
 

= − + +


( )
4
7
1
1.
2


Suy ra
2 1 0
0.
4 1
x
y
x
y

= =


⇔
 
=
=




Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là
(
)
0;0 .

11)
2 2
1 1
2

2 2 2 ln ln
2 2 ln ln
2 ln 2 ln
x y
x y
x y
x y
y x
y x
y x
x y
⇔ − = −
⇔ − = −
⇔ − = −
⇔ + = +

Xét hàm số
(
)
( ) 2 ln 0 .
t
f t t t= + > Khi đó ta có
2 2
( ) ( ).
f x f y
=
Ta có hàm số
( )
f t
tăng trên

2
0
0
3 2 3
x y
x y
y y x

− =



+ =
⇔



+ + = +


2
3 3
x y
x x
=


⇔

+ = −

x x
+ = − có nhiều nhất một nghiệm, kiểm tra được
1
x
=
là nghiệm của phương trình.
Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là
(1;1).

12)
1
( )
2 2 2
x y
x y
I
+ =


− =


(
)
( )
2 . 2 2
2 2
( )
2 2 2
2 2 2


= −


điều kiện
0, 0.
u v
> <
Ta có hệ
2
. 2
u v
u v
+ =


= −

, khi đó
,
u v
là nghiệm của
phương trình
2
1 3
2 2 0
1 3
t
t t
t

= − − = −
= −
 

 


Vậy, hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là
(
)
(
)
(
)
2 2
log 1 3 ;log 3 1 .
+ −
13)
3 1 2 3
2
2 2 3.2 (1)
3 1 1(2)
x y x y
x xy x
+ − +

+ =


+ + = +



=


⇔
≥ −




= −



260

+ Với
0,
x
=
thay vào (1) ta được
2
2
8 8
2 2 3.2 8 2 12.2 2 log .
11 11
y y y y y
y
−

x
+ − − + + +
+
+
+
+ = ⇔ + = ⇔ − + =

= +
⇔

= −



Do điều kiện
1
x
≥ −
nên
3 1
1
2
4
x+
≥
vì vậy ta chọn
3 1
2 3 2 2.
x+
= +


Vậy, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là
( ) ( )
2 2 2
11 1
0;log , log 3 2 2 1 ;2 log 3 2 2 .
8 3
   
 
+ − − +
   
 
   

14)
2 2 2 2
1
3 2 17
( )
2.3 3.2 8
x y
x y
I
+ +
+

+ =


+ =

2
2 2
8 3
25 48 4 0
9 4 17
9 4 17
6
8 3
6 3 8
8 3
6
6
2
1
2
25
3
8 3
2, 0
6
v
v v
v
u v
v
u v
u
v
u
v v

= ∨ = −

=
 
⇔ ⇔
 
−
 
= >
=




Như vậy ta được
1
3
1
3
1
2 2
x
y
x
y

=
= −



3 8
3
x
x
⇔ − =

2
(3 ) 8.3 9 0
x x
⇔ − − =

3 1
3 9 2
3 9
x
x
x
x

= −
⇔ ⇔ = ⇔ =

=


.
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
2.
x
=

= +
⇔ − + = ⇔ − − = ⇔

= −



Ta chọn
1 3
x = +
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
1 3.
x = +
3)
2
log (9 2 )
1(1)
3
x
x
−
=
−

Điều kiện:
2
3
3
log 9
9 2 0

⇔ − =
( )
2
2 1 0
2 9.2 8 0
3
2 8
x
x x
x
x
x

= =

⇔ − + = ⇔ ⇔


=
=




Ta chọn
0.
x
=

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là

0
x
x
x
> −


⇔ ≠


>


0
8
x
x
>

⇔

≠


8
2 2 2
1
(1) log ( 3) log ( 8) log (4 )
8
x x x




< <


⇔

+ − =



>




2
2
24 0
1 97
0 8
2
9 24 0
9 177
2
8
x x
x
x


Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
1 97 9 177
; .
2 2
x x
+ +
= =
5)
2 2
1
log (4 15.2 27) 2log 0(1)
(4.2 3)
x x
x
+ + + =
−

Điều kiện:
2
4 15.2 27 0
3 3
4.2 3 0 2 log .
4 4
4.2 3 0
x x
x x
x
x


x
x x x x
x x x x
+ +
⇔ = ⇔ + + = −
−
⇔ + + = − +
⇔ − + + = ⇔ + + =

2
2 3
2 3 log 3
2
2
5
x
x
x
x

=

⇔ ⇔ = ⇔ =

= −



2
log 3

x x
 
⇔ − − =
 

(
)
2
(2 1)(2 7) 7 2 8.2 0
2 0
2 8 3
2 8
x x x x
x
x
x
x
⇔ − − = ⇔ − =

=
⇔ ⇔ = ⇔ =

=



263

3
x

⇔ + − =

2
2 2
log log 2 0
x x
⇔ + − =

2
2
log 1
log 2
x
x
=

⇔

= −

2
1
4
x
x
=


⇔


2
x
x
x
x
x

>
− >


⇔ ⇔ >
 
+ >
> −




( ) ( )
2
3 3
(1) log 4 3 log 2 3 2
x x
⇔ − − + =

( ) ( )
( )
( )
2

x x
x
x x x
−
⇔ = ⇔ − = +
+
⇔ − + = +

2
3
8 21 9 0
3
8
x
x x
x
=


⇔ − − = ⇔

= −


Đối chiếu với điều kiện (*) ta chọn
3.
x
=

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là

log 3log 5 9
x x
⇔ − + =

2
1 1
2 2
log 3log 4 0
x x
⇔ − − =
1
2
1
2
log 1
log 4
x
x
= −


⇔

=



2
2
log 1

log 2 2log 4 log 8(1)
x x
x
+ =
Điều kiện:
0; 1 0
2 0;2 1 1
1
2 0; 2 1
2
x x x
x x x
x x
x

 
> ≠ >
 
> ≠ ⇔ ≠
 
 
> ≠


≠


2 3
2 2
2 2

log 2 1 0
x
x x
x
=

⇔ − = ⇔

− =


log 2 1 2
x
x
⇔ = ⇔ =
(Nhận)
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
2.
x
=

11)
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0(1)
x x x+ − − − − =
Điều kiện:
1 0 1

x x x
x x x
x x
x
x
⇔ + − = −
⇔ + − = −
⇔ − − =

+
=


⇔

−
=



Ta chọn
1 17
2
x
+
=
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
1 17
.
2

3 3
log (9 9) log 3 (28 2.3 )
9 9 28.3 2.9
x x x
x x x
⇔ + = −
⇔ + = −

2
3.(3 ) 28.3 9 0
x x
⇔ − + =
3 9
2
1
1
3
3
x
x
x
x

=
=


⇔ ⇔



3 1
x
x
x
x
x
x
x

>

≠
>


 
> ⇔
 
≠
 
>


≠



3 3
16
(1) log 6log 0

x
>

3
4
2 2 3
2 4 4
log 0
(1)
log 2 log 16 log
x
x x x

≥
⇔

+ =
2
2 2 2 2 2
1
1 9
log 2 2log 2log 2 log log
2 4
x
x x x
≥


1
5 133
log
2
2
9
5 133
log
2
9
x
x
x
x
x
x
x
++
−
≥

≥




+


 

15)
(
)
(
)
1
2
log 2 1 log 2 2 6(1)
x x+
+ + =
(
)
(
)
2 2
(1) log 2 1 .log 2 2 1 6
x x
⇔ + + =

(
)
(
)
(
)
2 2
log 2 1 . 1 log 2 1 6
x x
⇔ + + + =



+ =

⇔ ⇔


+ = −
+ =




=

⇔ ⇔ = ⇔ =

= −



Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là
2
log 3.
x =
16)
( )
( )
( )
2
2 4

− − >
− < <



− > ⇔
 
≠ ±
 
− ≠

