B
h
a
b
c
a
a
a
B
h
Chuẩn kiến thức Hình học 12
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với
B:dieän tích ñaùy
h : chieàu cao


a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V = a
3

với a là độ dài cạnh

Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a
3
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a b c
+ +
,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
3
2
a
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mp
( ABC), biết AB = a, BC =
3a
và SA = 3a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của
BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC
b) Tính thể tích khối chóp S. ABI theo a

mặt đáy (ABCD). , SA = AD = 2a và AB =BC = a .
Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.
Bài 11: Cho hình chop S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) , góc
giữa SC và đáy (ABCD) là 45
0
.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a. Đỉnh S cách đều A,B,C,
mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD : bài 12:

Bài 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng
3a
và hình
chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó
suy ra thể tích của khối chóp A’. ABC
HD:
Bài 14: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên hợp với
đáy góc 60
0
, A’ cách đều A,B,C. Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật và tính thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’.
HD:
2
Chuẩn kiến thức Hình học 12
Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b,
·
0
60ACB =

0
.
a) Tính độ dài đoạn AC’
b) Tính thể tích của lăng trụ.
20. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng 60
0
. Tính
thể tích của khối hộp đó theo a.
21. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba điểm A, B,
C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ(Gọi là diện tích xung quanh).
22. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ . Gọi M là trung điểm của AA’. Mặt phẳng đi qua M, B’,
C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
23. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C
b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể
tích khối chóp C.A’B’FE.
24. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB’D’ và thể tích khối hộp.
25. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính tỉ số thể tích của khối chóp
O.A’B’C’D’ và khối hộp đã cho.
3
Chuẩn kiến thức Hình học 12
26. Đáy của khối chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh huyền
vuông góc với đáy, mỗi mặt bên tạo với đáy một góc 45
0
.

0

a) Tính thể tích khối chóp.
b) Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD).
31. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
⊥
(ABC), góc giữa mặt bên
(SBC) và đáy bằng 60
0
.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Xác định điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và tính IA
32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi I là trung điểm của AB, SI
⊥
(ABCD), góc giữa mặt bên (SCD) và đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp.
33. Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a,
OB = b, OC = c. Tính đường cao OH của hình chóp.
34. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC) lấy
điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích
khối tứ diện CDEF.
35. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một
góc 60
o
. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.
b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC.
36. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với
đáy một góc 60

* Diện tích xung quanh: S
xq
=
π
rl
l: độ dài đường sinh
r: bán kính đường tròn đáy.
3) Khối nón:
Hình nón cùng với phần trong của nó
được gọi là khối nón.
* Thể tích khối nón: V=
π
3
1
r
2
h .
h: độ dài đường cao
r: bán kính đường tròn đáy
II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ:
1) Mặt trụ:
Cho hai đường thẳng ∆ và d song song
nhau và cách nhau một khoảng bằng r.
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d
khi quay quanh ∆ gọi là mặt trụ.
* d: đường sinh
*
∆
: trục
2) Hình trụ:

A nằm ngoài (S)
* OA < r
⇔
A nằm trong (S)
* OA = r
⇔
A nằm trên (S)
2) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:
Cho mặt cầu S(O,r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d= OH là khoảng
cách từ O đến mp(P).
* d > r
⇔
(P) không cắt (S) hay (P)
∩
(S) =
φ
* d = r
⇔
(P) tiếp xúc (S) tại H
Khi đó: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm
* d < r
⇔
(P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính
22
dr
−
5
Chuẩn kiến thức Hình học 12
 Chú ý: nếu d = 0 hay O ≡ H thì (P) cắt (S) theo đường tròn C(O, r)
3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:

BÀI TẬP
1) Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích của khối nón.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là
12 cm. Tính diện tích thiết diện đó.
2) Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ.
b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song vói trục và cách trục 3cm. Tính diện tích của thiết diện
được tạo nên.
3) Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được một thiết diện là một tam giác đều cạnh
2a.Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
4) Một hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h = r
3
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối trụ.
c) Cho hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ
bằng 30
0
. Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
5) Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a
2
.
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích khối nón.
b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa
đáy hình nón một góc 60
0
. Tính diện tích tam giác SBC.
6) Mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.

16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a,
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
17) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và
bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
18) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng
19) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Dựng mp(P) qua A và
vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’.
a) CMR: 7 điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ luôn nằm trên một mặt cầu
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo thành.
20) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc bằng 60
0
.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.
21) Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao h.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
b) Tính diện tích mặt cầu đó
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Hệ tọa độ trong không gian
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đội một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc
trong không gian.
Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị
→→→
kji ,,
lần lượt trên Ox, Oy, Oz thì:
0 ,1

222111
zyxvzyxu ==
→→
*





=
=
=
⇔=
→→
21
21
21
zz
yy
xx
vu
*
);;(
212121
zzyyxxvu ±±±=±
→→
*
Rkkzkykxuk ∈=
→
);;(

kyy
kxx
ukvRkuvu ==⇔





=
=
=
⇔=∈∃⇔≠
→→→→→→
5.Chia đọan thẳng theo tỉ số cho trước.
.M chia đọan AB theo tỉ số k









−
−
=
−
−
=


+++
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx
6.Tích vô hướng của hai vectơ.
Cho hai vectơ
);;(),;;(
222111
zyxvzyxu ==
→→
.
212121
,cos.||||. zzyyxxvuvuvu
++=






=
→→→→→→
.|
2
1

1
2
1
212121
→→→→
→→
→→
→→
≠≠
++++
++
==
vv
zyxzyx
zzyyxx
vu
vu
vu
.
0.
212121
=++⇔⊥
→→
zzyyxxvu
7.Tích có hướng của hai vectơ.
.[





cùng phương
→→→
=⇔ 0],[ vu
.
→→→
wvu ,,
đồng phẳng
0].,[ =⇔
→→→
wvu
8.Các ứng dụng.
.
[ ]
ACABS
ABC
,
2
1
=
.
[ ]
'.,
''''.
AAADABV
DCBAABCD
=
.
[ ]
ADACABV
ABCD

kính R =
dcba
−++
222
B.BÀI TÂP.
1/ Cho
)4;0;4(),1;2;2(),3;2;1( −=−==
→→→
wvu
. Tìm tọa độ
→
x
, biết:
a)
→→→→→→→→→→→→→
=+−+−−=−+=
032),
2
1
35),42 xwvucwvuxbwvux
2/ Cho
→
u
có điểm đầu là (1 ; -1 ; 3) và điểm cuối là (-2 ; 3 ; 5).
Trong các vectơ sau đây vectơ nào cùng phương với
→
u
.
→→→→→→→→→→→
+−=+=++−= kjicckjbbkjiaa 24),24),486)

11/ Cho hai điểm A(2 ; -1 ; 7), B(4 ; 5 ; -2). Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm M. Điểm M chia đọan
AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M.
12/ Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
→→→
wvu ,,
trong mỗi trường hợp sau.
a)
)3;2;4(),2;1;0(),1;1;1( ==−=
→→→
wvu
b)
→→→→→→→→→→→
+=++=++= kiwkjivkjiu 2,33,524
13/ Cho ba vectơ
)4;2;3(),1;3;2(),0;7;3( −===
→→→
wvu
a) Chứng minh
→→→
wvu ,,
không thẳng hàng.
b) Biểu thị
)3;12;4( −−=
→
a
theo ba vectơ
→→→
wvu ;;
.
14/ a) Cho

=
→→
ba
.
15/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 1 ; 0), B0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; 2),
D(1 ; 1 ; 1).
a) Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD.
9
Chuẩn kiến thức Hình học 12
b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD.
c) Tính diện tích các mẳt của tứ diện.
d) Tính độ dài các đường cao của khối tứ diện.
e) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
f) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
16/ Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 0 ; 1), C(2 ; 1 ; 1).
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
d) Tính độ dài đường cao h
a
của tam giác ABC.
e) Tính các góc của tam giác ABC.
f) Xác định tọa độ trực tâm của tam giác ABC.
g) Xác định tọa độ tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC.
17/ Cho bốn điểm A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0), D(1 ; 2 ; 1).
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Tính bán kính đường tròn nội, ngọai tiếp tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ đỉnh C.
18/ Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(2 ; 1 ; -1), B(3 ; 0 ; 1), C(2 ; -1 ; 3) và D thuộc trục Oy. Biết V
ABCD

+ y
2
+ z
2
-2x – 6y – 8z + 1 = 0
b) x
2
+ y
2
+ z
2
– 2y = 0
c) 2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
– 2x – 4y + 6z - 2 = 0
d) x
2
+ y
2
+ z
2
– 3x + 4y – 8z + 25 = 0
22) Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm A(1 ; 2 ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( 2 ; 2 ; 3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
c) Đi qua bốn điểm A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1).

);;(),;;(
222111
zyxvzyxu ==
→→
không cùng phương và các đường thẳng chứa
chúng song song với (hoặc nằm trên) một mp(
)
α
(
→→
vu,
còn gọi là cặp vectơ chỉ phương
10
Chuẩn kiến thức Hình học 12
của mp(
)
α
) thì :








=





0
≠
VTPT
(
=
→
n
A ; B ; C)
3. mp
0)()()(:)(
);;(
);;(
:)(
000
0000
=−+−+−⇒





=
→
zzCyyBxxAmp
CBAnVTPT
zyxMqua
αα
4. Trường hợp đặc biệt. Cho mp(
)

Cho hai mặt phẳng
:)(
α
Ax + By + Cz + D = 0 và
)'(
α
: A’x + B’y + C’z + D’ = 0.
''''
)'//()(
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==⇔
αα
''''
)'()(
D
D
C
C
B
B
A
A
===⇔≡

trình là:
0,1 ≠=++ abc
c
z
b
y
a
x
7. Góc của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng
)(
α
: Ax + By + Cz + D = 0 và
)'(
α
: A’x + B’y + C’z + D = 0
Gọi
ϕ
là góc của hai mặt phẳng, ta có:
222222
'''.
'''
cos
CBACBA
CCBBAA
++++
++
=
ϕ
8. Khỏang cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

; y
0
; z
0
) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).
11
Chuẩn kiến thức Hình học 12
b) Qua các hình chiếu của điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) với( x
0
.y
0.
z
0

0
≠
), lên các Ox, Oy, Oz.
c) Qua điểm M
0
(x
0
; y

(-2 ; 3 ; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng 2x + y + 2z + 5 = 0 và
3x + 2y +z – 3 = 0
3. Tìm a để bốn điểm A(1 ; 2 ; 1), B(1 ; a ; 0), C(1 ; -2 ; 1), D( 1 ; 1 ; 1) thuộc một mặt phẳng.
4. Cho ba điểm A(1 ; 1 ; 1), B(3 ; -1 ; 1), C(-1 ; 0 ; 2). Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực của đọan AB
không?
5. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau:
a) x – y + 2z – 4 = 0 và 10x – 10y + 20z – 40 = 0
b) 2x – 3x – 3z + 5 và 9x – 6y – 9z – 5 = 0
c) x + y + z – 1 = 0 và 2x + 2y – 2z + 3 = 0
6. Cho hai mặt phẳng có phương trình: 2x – my + 3z – 6 = 0 và (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0
Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó :
- Song song với nhau.
- Trùng nhau.
- Cắt nhau.
- Vuông góc với nhau.
7. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2 ; 1 ; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình :
x + 2y – 2z + 5 = 0
8. Cho điểm bốn điểm A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; 2 ; 0), C(0 ; 2 ;1),D(-1 ;1 ; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A,
tiếp xúc với mp(BCD).
9. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và có tâm I nằm trên mặt
phẳng x + y + z – 3 = 0.
10. Cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M(4 ; 3 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu tại M.
11. Tìm điểm trên Oy cách đều hai mặt phẳng x + y – x + 1 = 0 và x –y + z – 5 = 0

0
0
Rt
ctzz
btyy
atxx
o
∈





+=
+=
+=
- Phương trình chính tắc của d:
)0(
000
≠
−
=
−
=
−
abc
c
zz
b
yy

=⇔
→→
MMuu
+ d và d’ cắt nhau





≠
=
⇔
→→→
→→
0]';[
0].'[
'
00
uu
MMuu
+ d // d’





≠
=
⇔
→→

);;(
);;(
0000
cbauVTCP
zyxMqua
và mp(
)
α
: Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT
);;( CBAn =
→
+
0)(
≠++⇔∩
CcBbAad
α
+



≠+++
=++
⇔
0
0
)//(
000
DCzByAx
CcBbAa
d

ϕ
giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức.
)900(
'''.
'''.
'
'.
cos
0
222222
≤≤
++++
++
==
→→
→→
ϕϕ
cbacba
ccbbaa
uu
uu
5. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Cho đường thẳng d có VTCP
);;( cbau
=
→
và mp(
)
α
có VTPT

1
; y
1
; z
1
) đến đường thẳng
∆
:





→
uVTCP
Mqua
0
+ Cách 1: - Viết phương trình mp(
)
α
qua M
1
và vuông góc với
∆
.
- Tìm tọa độ giao điểm H của
∆
và mp(
)
α




∆





∆
→
→
'
:',:
'
0
0
uVTCP
Mqua
uVTCP
Mqua
.
+ Cách 1: - Viết phương trình mp(
)
α
chứa
∆
và song song với
'
∆

=∆∆
→→
→→
',
.',
)',(
'
00
uu
MMuu
d
II. BÀI TẬP.
1.Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc( nếu có) của các đường thẳng sau.
a) Đi qua hai điểm A(2 ; 4 ; -1) và B(5 ; 0 ; 7).
b) Đ qua A(2 ; 0 ; -1) và có VTCP
→→→→
++−= kjiu 53
c) Đi qua A(-2 ; 1 ; 2) và song song với trục Oz.
d) Đi qua A(2 ; 3 ;-1) và song song với đường thẳng





+=
−=
+=
∆
tz
ty

z
ty
tx
tz
ty
tx
.
2. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d:





+=
+−=
+=
tz
ty
tx
3
32
21
trên mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz),
mp(P): x + y + z – 1 = 0.
3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng.
14
Chuẩn kiến thức Hình học 12
a)
1
2

2
:',
12
2
2
1
:
−=
+
=
−
=
−
−
=
−
z
yx
d
zyx
d
c)
129
2
6
7
:',
8
1
64

3
5
9
:
, d’ là giao tuyến của 2 mp(P): 2x – 3y – 3z – 9 = 0
và mp(Q):x – 2y + z + 3 = 0.
4. Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
a)
1
3
9
4
12
:
−=
=
=
−
z
yx
d
và (
)
α
: 3x + 5y – z – 2 = 0
b)
34
3
2
1

5. Tính khỏang cách từ M
0
(2 ; 3 ; 1) đến đường thẳng
2
1
2
1
1
2
:
−
+
=
−
=
+
∆
zyx
.
6. Cho đường thẳng





+=
=
=
∆
tz

'32
'32
:',
1
1
1
:
tz
ty
tx
d
z
ty
tx
d
b)
4
1
2
1
4
2
:',
2
4
1
3
2
1
:



+=
+−=
+=
'24
'31
'2
:',
43
1
21
:
tz
ty
tx
d
tz
ty
tx
d
b)
4
2
1
2
3
1
:',
1


−=
+−=
+=
zyx
tz
ty
tx
d
α
b)
02:)(,
2
3
1
1
4
2
:
=+−+
−
−
=
−
=
+
zyx
zyx
d
α





=
−−=
+=
tz
ty
tx
d
2
1
21
:
13. Viết phương trình đường vuông góc chung của cặp đường thẳng:

1
4
2
4
3
1
:',
5
4
3
3
2
2

d 21:
và hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 1 = 0
và (P’) : x + 2y + 2z + 7 = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và
(P’).
b) Cho đường thẳng
2
1
1
1
2
:
+
=
−
=
zyx
d
và hai mặt phẳng (P): x + y – 2z + 5 = 0 và
(P’): 2x – y + z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d và tiếp xúc với (P) và (P’).
15. Cho hai đường thẳng





+−−
=
+=



– 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và hai đường thẳng
d:





=
−−=
+−=
+
=
−
−
=
+
8
21
37
:',
2
13
3
1
2
5
z
ty
tx
d

:
. Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua
M(0 ; 1 ; 1) sao cho
∆
vuông góc d và
∆
cắt d’.
18. Cho hai đường thẳng









−=
+−=
=
−
−
=
−
+
=
+
tz

2
1
:
−
=
−
=
+
zyx
d
và mp(P): x – y –z – 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng
∆
đi qua
A(1 ; 1 ; -2) sao cho
d
⊥∆
và
).//(P
∆
16
Chuẩn kiến thức Hình học 12
20. Cho hai đường thẳng
1
2
0
3
1
:',
11
1

1
:
−
+
=
−
+
=
zyx
d
22. Cho điểm A(1 ; -1 ; 1) và hai đường thẳng
5
4
2
1
1
:',
3
21:
−
=
−
=





−=
−−=

−
=
zyx
d
zyx
d
.
a) Viết phương trình đường thẳng
∆
song song với Ox và cắt d tại M, cắt d’ tại N. Tìm tọa độ của M, N.
b) Cho A thuộc d, B thuộc d’, AB vuông góc với d và d’. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1 ; 0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z + 3 = 0.
1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P).
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm.
2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1 ; 2 ; 1) và đường thẳng
(d):
1
2
12
1
−
+
==
−
zyx
.
1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với (d).
2/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (d). Tìm tọa độ giao điểm.
3/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2),




−=
+=
+=
tz
ty
tx
4
2
21
và điểm A(-1 ; 0 ; 2).
1/ Viết phương trình mặt phẳng chứa d và điểm A.
2/ Tìm điểm A’ đối xứng của A qua d.
7/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm
M(1, -2 ; 3).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến
mp(P).
2/ Tìm tọa độ hinh chiếu của điểm M lên mp(P).
8/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0,
17
Chuẩn kiến thức Hình học 12
(Q): 4x + 5y – z + 1 = 0.
1/ Tính góc giữa hai mặt phẳng và viết phương trình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng (P)
và (Q).
2/ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O vuông góc với (P) và (Q).
9/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm
A(1 ; 0 ; 11), B(0 ; 1 ; 10), C(1 ; 1 ; 8).
1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng (P).

− zyx
,
d’:





−−=
−−=
=
tz
ty
tx
31
51
1/ Chứng minh d và d’ chéo nhau.
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’.Tính khỏang cách giữa d và d’.
13/ Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0), D(0 ; 0 ; 3).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
2/ Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’.
14/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2
1
1
1
2
+
=
−

1 ; 1), N(2 ; -1 ; 5).
1/ Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua các hình chiếu của
tâm I trên các trục tọa độ.
2/ Chứng tỏ đường thẳng MN cắt mặt cầu (S) tại hai điểm. Tìm tọa độ các giao điểm đó.
17/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4).
1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực của đọan AB.
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B. Tìm điểm đối xứng của B qua A.
18/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:
4
2
3
1
2
1
−
=
+
=
−
zyx
và d’:





+=
+=
+−=
tz

−
==
−
zyx
.
1/ Tìm điểm A’ đối xứng của A qua d.
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A, song song với mp(P) và cắt d.
21/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2
2
2
4
1
+
=
−
=
zyx
và mặt phẳng
(P):x + y – z – 2 = 0.
1/ Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O và song song với d.
2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q), biết (Q) song song với (P) và cắt d tại điểm có hòanh độ
x = 0.
22/ ). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d
1
:
4
5
3
2

2
cùng nằm trong một mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đó.
2/ Tìm tọa độ giao điểm M của d
1
và d
2
. Viết phương trình của mặt cầu tiếp xúc với (P) tại M và có
bán kính bằng
429
.
23/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ xác định bởi các hệ thức
→→→→
−−=−= kjOBkiOA 44,2
và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + 2 = 0.
1/ Tìm giao điểm M của đường thẳng AB với mp(P).
2/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp (P).
24/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:





=
=
+=
tz
ty
tx
2
21