ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011
KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm )
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x



(C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận
tại A, B. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
3 3
sin .sin3 os .cos3 1
8
tan .tan
6 3
x x c x x
x x
 

 

3
AA'
2
a
 , góc
BAD
bằng
0
60
. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể
tích khối đa diện AA’BDMN theo
a
.
Câu V. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn
2 2 2
1
a b c
  
, ta có:
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
     

2
n
x
x
 

 
 
, biết n là số nguyên dương thỏa mãn:

2 3 1
0 1 2
2 2 2 6560
2
2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n

    
 
.
II. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có phương trình
7x – y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
1 0

Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
=========================================================================== ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn thi: TOÁN
.
Câu Ý Đáp án Điểm
I
1
1,0
 TXĐ : D = R\


1
.
 Sự biến thiên:
y’ =
 
2
1
0,
1

Bảng biến thiên: 0,25

 Đồ thị:

0,25
2
1,0
Gọi M(m;
2 1
1
m
m


)
Tiếp tuyến của (C) tại M:
 
 
2
1 2 1
1
1
m
y x m
m
m
 
  




 
.
Vậy diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
0,25
II
1
1,0
Điều kiện:
6 2
k
x
 
 

Ta có
tan .tan tan .cot 1
6 3 6 6
x x x x
   
       
      
       
       

0,25
Phương trình tương đương với:
3 3
sin .sin3 os .cos3
x x c x x


ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================  
ai
6
,
6
x k lo
k Z
x k





 

 


  


. Vậy :
6
x k


u v
uv u v uv

 


   



0,25
Ta có:
 
 
 
 
 
 
2
2 2
3 3 2 2
1 1 1
1 2 2 2
2 2 2
( ) 2
uv uv u v uv u v
u v u v u v vu u v uv
       
       


Đặt
 
2
2
2
2 1
ln 1
1
2
x
du dx
u x x
x x
x
dv xdx
v





  
   

 






0
0
1 1 1 3
ln3 ln( 1)
2 2 4 4 1
3 3
ln3
4 4
dx
x x x x
x x
J
     
 
 


0,25
1
2
2
0
1 3
2 2
dx
J
x

 
 


Vậy I =
3
ln3
4
-
3
12


0,25
IV

1,0 Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’

M, N lần lượt là trung
điểm của SD và SB
AB = AD = a, góc BAD = 60
0




ABD đều

OA =
3

(I là giao điểm của AC’ và SO)
'
SO AC
 
(1)
Mặt khác
( ' ') '
BD ACC A BD AC
  
(2)
Từ (1) và (2)

đpcm
0,25
2
2
2
2
'
1 3
3
3 2 4
1 3 3
3 2 4 2 32
SABD
SA MN
a
V a a
a a a
V



2
2
5 3
3
2 2 2
1
2
1
a a
a a a
a a
b c a

 
   
 

BĐT thành:
     
3 3 3
2 3
3
a a b b c c        
0,25
Xét hàm số




a b c   

0,25
VI.a
1
1,0
I
9 3
;
2 3
 
 
 
, M


3;0

0,25
Giả sử M là trung điểm cạnh AD. Ta có: AB = 2IM =
3 2

. 12 2 2
ABCD
S AB AD AD   

AD qua M và vuông góc với d
1



4
1
x
y



 


0,25

Chọn A(2 ; 1)






4; 1 7;2 à 5;4
D C v B  
0,25
2
1,0
Gọi H là trung điểm đoạn AB
8
HA
 

0,25


Ta có:
 
2
2 3 1
0 1 2
0
2 2 2
2 1
2 3 1
n
n
n
n n n n
C C C C x dx
n

     



0,25
1
1
3 1 6560
3 6561 7
1 1
n
n
n

0,25 Số hạng chứa x
2
ứng với k thỏa:
14 3
2 7
4
k
k

  

Vậy hệ số cần tìm là:
21
4

0,25
VI.b
1
1,0
Gọi A(-4; 8)

BD: 7x – y + 8 = 0

AC: x + 7y – 31 = 0 0,25
Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b)
D: ax + by + 4a – 5b = 0,
D hợp với AC một góc 45

1,0
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)

B’(-1; -3; 4)
0,25
' '
MA MB MA MB AB
   

Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng

M là giao điểm của (P) và AB’
0,25
AB’:
1
3
2
x t
y
z t
 


 


 


0,25

x y
x y ay
x y my
y x
y x
y y a
y y ay

 
 
 

 
  
 

  

 
 
 
 
 
 
  



