Đề số 55

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x x
3 2
–3 2
 
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
m
x x
x
2
2 2
1
  

.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
x x
5
2 2 cos sin 1
12

 
 
 
 



Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB
= a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với
mặt phắng đáy một góc
0
60
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
a
3
3
,
mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Câu V (1 điểm): Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :
x y z

5 5 5 1
  
  
.Chứng
minh rằng :

x y z
x y z y z x z x y
25 25 25
5 5 5 5 5 5
  
 
  



2
7 2
:
6 9 12
 
 


a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
song song . Viết phương trình mặt phẳng (P)
qua d
1
và d
2
.
b) Cho điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2). Tìm điểm I trên đường thẳng d
1
sao
cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức:
z
z z z
2
4 3
1 0
2
    

d y
z t
2
2 2
: 3


 








a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau và viết phương trình đường vuông
góc chung của d
1
và d
2
.
b) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của
d
1
và d


Với
 
f x khi x
y x x x
f x khi x
2
( ) 1
2 2 1
( ) 1


    

 

nên


C
'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
x
1.


+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
x
1

2
  
 
    
 
 x
5 5
sin 2 sin sin 2cos sin sin
12 4 12 3 12 12
     
     
       
     
      
x k x k
x k
x k x k
5
2 2
5
12 12 6
sin 2 sin
5 13 3
12 12


   


     

.
Đặt:
u x y
v x y

 

 

ta có hệ:

u v u v u v uv
u v u v
uv uv
2 2 2 2
2( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
 
     
 

 

Kết hợp (1) ta có:
uv
u v
u v
0
4, 0
4


  

 

(với u > v). Từ đó ta có: x = 2; y =
2.(thoả đk)
Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2).
Câu III:
I x xdx x xdx I I
4 4
2
1 2
4 4
1 sin sin
 
 
 
    
 

 Tính

2
2
2
4

  
Suy ra: I
2
2
4

  .
Câu IV: Ta có: (BCM) // AD nên mặt phẳng này cắt mp(SAD) theo giao tuyến
MN // AD .

BC AB
BC BM
BC SA


 



. Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là
đường cao.
 SA = AB tan60
0
=
a

2
4
2
2 10
3
2 2
3 3 3
 

 

  
 
 

 Hạ AH

BM. Ta có SH

BM và BC

(SAB)

BC

SH . Vậy SH

(
BCNM)


10 3
27
.
Câu V: Đặt
  
5 ; 5 ; 5
x y z
a b c
. Từ giả thiết ta có: a, b, c > 0 và
  
ab bc ca abc

BĐT 
 
  
  
2 2 2
4
a b c a b c
a bc b ca c ab
(*)
Ta có: (*)

 
  
  
3 3 3
2 2 2
4
a b c a b c

( )( ) 8 8 4
b b c b a
b
b c b a
( 2)

 
  
 
3
3
( )( ) 8 8 4
c c a c b
c
c a c b
( 3)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.
Câu VI.a: 1) Do
AB CH

nên phương trình AB: x y
1 0
  
.
 B =
AB BN

 Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:
x y
x y

( )
 
.
Giải hệ:
x y
x y
2 5 0
2 5 0

  

  

. Suy ra: I(–1; 3) A
'( 3; 4)
  

 Phương trình BC: x y
7 25 0
  
. Giải hệ:
BC x y
CH x y
: 7 25 0
: 1 0

  

  


S d A BC BC
1 1 450 45
( ; ). .3 2. .
2 2 4 4
  
2) a)  VTCP của hai đường thẳng lần lượt là: u u
1 2
(4; 6; 8), ( 6;9;12)
    
 

u u
1 2
,
 
cùng phương.
Mặt khác, M( 2; 0; –1)

d
1
; M( 2; 0; –1)

d
2.
. Vậy d
1
// d
2
.
 VTPT của mp (P) là n MN u

1
B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A
1
B. Khi đó A
1
, I, B thẳng hàng

I là giao
điểm của A
1
B và d. Do AB // d
1
nên I là trung điểm của A
1
B.
 Gọi H là hình chiếu của A lên d
1
. Tìm được H
36 33 15
; ;
29 29 29
 
 
 
. A’ đối xứng
với A qua H nên A’
43 95 28
; ;
29 29 29

1 1 1
0
2
   
    
 
 
 
 
(1)
Đặt t z
z
1
 
. Khi đó
t z
z
2 2
2
1
2
  
z t
z
2 2
2
1
2
   


1 3
2

 : ta có
i
z z i z
z
2
1 1 3
2 (1 3 ) 2 0
2

      
(4a)
Có
i i i i i
2 2 2
(1 3 ) 16 8 6 9 6 (3 )

         

 PT (4a) có 2 nghiệm :
i i
z i
(1 3 ) (3 )
1
4
  
  
,

 PT (4b) có 2 nghiệm :
i i
z i
(1 3 ) (3 )
1
4
  
  
,
i i i
z
(1 3 ) (3 ) 1
4 2
    
 
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm :
i i
z i z i z z
1 1
1 ; 1 ; ;
2 2
  
      .
Câu VI.b: 1) Ta có:
I d d
1 2
   Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
x
x y
x y

1
  là trung điểm cạnh
AD. Suy ra M(3; 0)
Ta có: AB IM
2 2
9 3
2 2 3 3 2
2 2
   
    
   
   

Theo giả thiết:
ABCD
ABCD
S
S AB AD AD
AB
12
. 12 2 2
3 2
     

Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d
1

d AD
1
 
   
y x y x
y x
x
x y x x
2 2
2 2
3 3
3
3 1
3 2 3 (3 ) 2
 
     
 

 
  
  
  
      

 
 
x
y
2
1


2 9 2 7
2 3 1 2

    

    


Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; –1)
2) a) d
1
có VTCP u
1
(1; 1;2)
 

và đi qua điểm M( 2; 1; 0), d
2
có VTCP
u
2
( 2;0;1)
 

và đi qua điểm N( 2; 3; 0) .
Ta có: u u MN
1 2
, . 10 0
 

. 0
. 0














t
t
1
3
' 0


 








b) PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính:
x y z
2 2 2
11 13 1 5
6 6 3 6
     
     
     
     

Câu VII.b: Ta có: i C iC i C
2009 0 1 2009 2009
2009 2009 2009
(1 )     

C C C C C C
C C C C C C i
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 3 5 7 2007 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009

( )
       
     

Thấy:
S A B
1

2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
(1 )      
Cho x = –1 ta có: C C C C C C
0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
      
Cho x=1 ta có: C C C C C C
0 2 2008 1 3 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
( ) ( ) 2        .
Suy ra:
B
2008
2

.
 Từ đó ta có:
S
1003 2007
2 2 
.