Đề số 50

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
3 2
( ) 2
y f x x mx m
    (1) ( m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại duy nhất
một điểm.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
2
2sin 3sin 2 1 3sin cos
x x x x
   
2) Giải hệ phương trình:
 
2
3 2
2 8
x y xy
x y

 


 



   
 
 
.
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm
P( 7;8)

và hai đường thẳng
1
:2 5 3 0
d x y
  
;
2
:5 2 7 0
d x y
  
cắt nhau tại A . Viết phương trình đường
thẳng
3
d
đi qua P tạo với
1
d
,
2
d

n
A n
 .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng () đi
qua gốc tọa độ và cắt đường tròn (C) có phương trình :
2 2
2 6 15 0
x y x y
    
thành một dây cung có độ dài bằng 8.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng
():
1
1 1 2
x y z

 
 
và tạo với mặt phẳng (P) :
2 2 1 0
x y z
   
góc 60
0
. Tìm
tọa độ giao điểm M của mặt phẳng () với trục Oz.
Câu VII.b (1 điểm): Tìm giá trị của tham số m để cho phương trình
 

thoả yêu cầu bài toán.
 Khi
0
m

thì (1) có 2 cực trị
1 2
2
0 ,
3
m
x x 
Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi:



1 2
( ). 0
f x f x

3 2
2
4 2
2 (2 ) 0 4 (1 ) 0
27 27
m m
m m m
     

0

x x x x





3sin cos 3sin cos 1 0
   
x x x x

3sin cos 0
3sin cos 1 0

 

  


x x
x x

3
tan
3
sin sin
6 6
 

 


 
2
3 2 (1)
2 8 (2)

 


 


x y xy
x y
. Điều kiện : . 0 ;
x y x y
 

Ta có: (1) 
2
3( ) 4 (3 )( 3 ) 0
     
x y xy x y x y 3
3
y
x y hay x
  

 Với
3
x y

Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là:
6 12
;
2 4
x x
y y
 
 
 
 
 

Câu III:
6 6
2
0 0
sin sin
cos2 2cos 1
 
 

 
x x
I dx dx
x x
. Đặt
cos sin
t x dt xdx
   


ln
2 2 5 2 6



Câu IV: Kẻ đường cao SH, gọi I là trung điểm BC. Giả thiết cho

0
45
SIH 
.
Gọi x là độ dài cạnh của ABC. Suy ra :
3 3 3
, ,
2 3 6
x x x
AI AH HI  
SAH vuông tại H
2
2 2 2 2
3
3
x
SH SA AH a
 
    
 
 
 


1 1
2
x y
A x y
x y y x
   
     
   
   
. Đặt
x
t
y

thì
1
( ) 2
A f t t
t
   

Với
 
2 4
1 1
, 2;4 2 ;2
1 1 1
2 2
4 2
x

t t1 9 9
(2) ; (1) 4 4
2 2 2
f f f A
 
     
 
 
(đpcm)
Câu VI.a: 1) Ta có
A(1; 1)

và
1 2
d d

.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi
1
d
,
2
d
là:

1
:

d
có dạng:
7 3 0
x y C
  
hay
3 7 0

  
x y C
Mặt khác,
3
d
qua
( 7;8)
P

nên C = 25 ; C = 77
Suy ra :
3
: 7 3 25 0
d x y
  
hay
3
:3 7 77 0
d x y
  

Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng

3
87
( ; )
58
d A d 
( loại )
2) Theo giả thiết mp(Oxy) và (P):
z
2

vuông góc với trục Oz , cắt mặt cầu
theo 2 đường tròn tâm
1
(0,0,0)
O , bán kính
1
2
R

và tâm
2
(0,0,2)
O , bán
kính
2
8
R

. Suy ra tâm mặt cầu (S) là
(0,0, )



I
0;0;16

Vậy phương trình mặt cầu (S) :
2 2 2
( 16) 260
x y z   
Câu VII.a:
3 2
20 ( 1)( 2) 20 3 18 0
n
A n n n n n n n
        
 n = 6 và n = – 3 (
loại )
Khi đó:
2 7
0 1 6
6 6 6
127
. .
2 7 7
a a
aC C C   
Ta có :
6 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6
(1 )

7 2 7
a
x a a
a C C C
 

   
 
 


7
7 7 7
(1 ) 1 127
(1 ) 128 (1 ) 2
7 7 7
a
a a

       

a
1


Vậy a = 1 và n = 6 .
Câu VI.b: 1) (C) có tâm
(1; 3)
I



hay
4 3 0
A B
 

 Với
4 3 0
A B
 
, chọn A = 3; B = – 4  Phương trình của ():
3 4 0
x y
 

 Với A = 0, chọn B = 1  Phương trình của (): y
0

.
Kết luận : PT của () là
3 4 0
x y
 
hay y
0

.
2) () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP
(1; 1; 2)
u



2
2
1 1 1
cos , 2 4 1 0
2 2
2 4 5

      
 
n n m m
m m
 

m
m
2 2
2 2

 

 

.
Kết luận :
(0;0;2 2)
M  hay
(0;0;2 2)
M 


,
1 .ln3
( )
3



x
x
f x ;
 
1
( ) 0 1;2
ln3

    f x x

2 1 1 1
( 1) 3 ; (2) ; 3 ( )
9 ln3 .ln3 .ln3
 
        
 
 
f f f f x
e e
;

