Đề số 52

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
y x mx m x
3 2 2
2 9 12 1
   
(m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x
CĐ
, cực tiểu tại x
CT

thỏa mãn:
CÑ CT
x x
2
 .
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
x x x
2
1 1 4 3
   
2) Giải hệ phương trình: x x
5
5cos 2 4sin –9
3 6
 

 2  2
4 4 2 2
     
      
     
     

II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y
1
:2 –3 0
 
,
d x y
2
: 3 4 5 0
  
, d x y
3
: 4 3 2 0
  
. Viết phương trình đường tròn có tâm
thuộc d
1
và tiếp xúc với d
2
và d
3

. Tìm m sao cho
( )
d

cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai
điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi sao cho
m n
1
 
và m > 0, n > 0. Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN) tiếp
xúc với một mặt cầu cố định.
Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình:
 
x
x x
x
x
1
2
2
4 –2.2 –3
.log –3 4 4

 

1 1
3 , 3
2 2
      .
Dựa vào bảng xét dấu y suy ra
CÑ CT
x x x x
1 2
,
 

Do đó:
CÑ CT
x x
2
 
m m m m
2
3 3
2 2
 
   

 
 

m
2
 



x
2 1 0
 
 x
1
2

.
2) PT  x x
2
10sin 4sin 14 0
6 6
 
   
    
   
   
 x
sin 1
6

 
 
 
 

x k
2
3

    
.
Câu IV: Do B và D cách đều S, A, C nên BD  (SAC). Gọi O là tâm của đáy
ABCD. Các tam giác ABD, BCD, SBD là các tam giác cân bằng nhau và có
đáy BD chung nên OA = OC = OS. Do đó ASC vuông tại S.
Ta có:
S ABCD S ABC
V V BO SASC ax AB OA
2 2
. .
1 1
2 2. . . .
6 3
   
=
a x
a x
ax a ax
2 2
2 2
2
1
3
4 6
1
3

 
Do đó:
S ABCD

Tương tự: b a a b
2
1
2
3
4
    
.
Ta sẽ chứng minh a b a b
2
1 1 1
2 (2
2 2 2
    
    
    
    
(*)
Thật vậy, (*)  a b ab a b ab a b
2 2
1 1
4
4 4
2 
       
 a b
2
0
( )


t
2
4






Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x y
2 2
49
25
( 2) ( 1)

   và
x y
2 2
9
( 4) ( 5)
25
   
.
2) () :
2
2 2
3
1 3 2
2 2
x t

Do d song song mặt phẳng (P)
. 0
AI n
 
 
 
t t AI
1
3 1 0 3 2; 9; 5
3
         

.
Vậy phương trình đường thẳng d là:
1 2 1
2 9 5
x y z
  
 
 
.
Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x=
1 2 3 4 5 6

x a a a a a a
.
Vì không có mặt chữ số 1 nên còn 9 chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để thành lập
số cần tìm.
Vì phải có mặt chữ số 0 và
1

2 2 2
1 4 4 18 9 5 4 17 0
          
m m m m m m R

Ta có:

1 1 9
. sin .
2 2 2
  
S IA IB AIB IA IB
IAB

Vậy: S
IAB
lớn nhất là
9
2
khi

0
90
AIB


AB =
2 3 2
R



n n m mn


Phương trình mặt phẳng (SMN):
0
nx my mnz mn
   

Ta có: d(A,(SMN))
2 2 2 2
n m mn
n m m n
 

 
1 .
1
1
1
2 2
1 2
m n
mn
mn
mn m n


  


log 1 0
2.2 3 0
log 1 0













  
 
  
 

x
x
x
x
2
2
2 3
log 1
2 3

0
2

















 





x
x
2
log 3
1