Đề số 48

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
3
1
x
y
x



.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm


1;1
I  và cắt đồ thị (C) tại hai
điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
 
cos3 sin 2 3 sin3 cos2
  
x x x x

2) Giải hệ phương trình:


x y xy

lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
.
Câu V (1 điểm): Chứng minh
 
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
2 2 2
1
2
       
  

với mọi số dương
; ;
a b c
.
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Giải bất phương trình:




2 2
2
1 log log 2 log 6






2) Tìm nguyên hàm của hàm số
 
cos2 1
cos2 1
x
f x
x



.
Câu VII.b (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) , cho điểm
1
3;
2
M
 
 
 
.
Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M và nhận


1
3;0

.
Hay:


2
2 4 0
f x kx kx k
    
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
 
0
4 0 0
1 4 0
k
k k
f



      


  


Mặt khác: 2 2

   
   
   
   

2
6
2
10 5


 

  



  


x k
k
x

2) Ta có :
2 2
9 3
x y xy
   
.

x y     hoặc
3 3
2 31, 2 31
x y     .
 Khi:
3
xy
 
, ta có:
3 3
4
x y
  
và


3 3
. 27
 
x y
Suy ra:


3 3
;
x y

là nghiệm của phương trình:
2
4 27 0 ( )

t

Xét hàm số:
   
 
2
1 1
' 1
2
2
f t t f t
t
t
    


 
2
2
4 3
2
 


t t
tt loaïi
f t

.
Mà ' ( ' )
2
a
AH A M AH A BC AH
    
.
Mặt khác:
2 2 2
1 1 1 6
'
4
'
a
AA
AH A A AM
    .
Kết luận:
3
. ' ' '
3 2
16
ABC A B C
a
V  .
Câu V: Ta có:
2
1
2
2

2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
       
  

Câu VI.a: 1) Điều kiện:
0 6
x
 
.
BPT


 
2
2
2 2
log 2 4 log 6
x x x
   
 
2
2 2
2 4 6 16 36 0
x x x x x
       







. Suy ra :
2 2 2
ln ln 2 ln 2
     
 
I x dx x x dx x x x C

Câu VII.a: Gọi




;0 , 0;
A a B b
là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra:
: 1
x y
d
a b
 
.
Theo giả thiết, ta có:
2 1
1
8


b a d x y
     
.
 Khi
8
ab
 
thì
2 8
b a
  
. Ta có:
2
4 4 0 2 2 2
b b b      
.
+ Với




2
2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0
        
b d x y
+ Với






y x
y x x y y x y x
y x

 Khi:
y x

thì (*) 
x x
y x
1
2 3







2
3
2
3
log 3
log 3





 

x
y

2) Ta có:


2
tan
f x x
 
2
1
1
cos
 
x



tan
F x x x C
  

Câu VII.b: PTCT elip (E) có dạng:
2 2
2 2
1( 0)
x y





. Vậy (E):
2 2
1
4 1
x y
 