học toán THPT và ôn thi miễn phí 1
Sở Gíao dục & Đào tạo
tỉnh Vĩnh Phúc
Trường THPT Xuân Hoà KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1

ĐỀ THI MÔN Toán; Khối A
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề thi gồm 01 trang
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
I/- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7, 0 điểm)
Câu I (2,0 điểm): Cho hàm số
4 2 2
2 1 (1)
y x m x  

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân
biệt với mọi giá trị của m.
Câu II (2,0 điểm):
1. Giải phương trình:
sin 4 cos 4 1 4(sin cos )
x x x x
   


diện SABC.
Câu V (1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 3 2
2
4 8 8 5
( )
2 2
x x x x
f x
x x
   

 

II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong phần ( phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất
( 3;0)

và đi qua
điểm
4 33
(1; )
5
M
. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của (E).
2. Giải phương trình:
2.27 18 4.12 3.8
x x x x

Họ và tên thí sinh:…………………………………; Số báo danh:………………

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM
MÔN TOÁN Khối A
Lưu ý : Học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
Câu Đáp án Điểm
I 1. (1, 0 điểm). Khảo sát….
Với m=1, hàm số trở thành:
4 2
2 1
y x x
  

* Tập xác định: R
* Sự biến thiên
+
3 2
' 4 4 4 ( 1) ' 0 0
y x x x x y x
       
0, 25
Ta có:
' 0 0; ' 0 0
y x y x
     

Hàm số nghịch biến trong khoảng

1

0, 25

* Đồ thị: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối
xứng.

0,25
2. ((1, 0 điểm). Chứng minh đường thẳng ….

Số giao điểm của hai đồ thị tương ứng với số nghiệm của phương trình:

4 2 2
2 1 1
x m x x
   3 2
( 2 1) 0
x x m x
   
(*)


3
x = 0
Ta sẽ đi chứng minh phương trình:
3 2
2 1 0
x m x
  
(**) có đúng một nghiệm
khác 0 với mọi giá trị m
* Nếu m=0 thì pt(**) trở thành:
3
1 0 1
x x
    
pt(*) có đúng 2 nghiệm.

0,25
 Nếu
0
m

, Xét hàm số
3 2
( ) 2 1
f x x m x
  
trên R.
 Ta có:
2 2
'( ) 3 2 0,

   
(1)
ĐK:
x R
  
2
2 2
(1) sin 4 1 cos 4 4(sin cos )
2sin 2 .cos 2 2cos 2 4(cos sin )
(cos sin )(cos 2 sin 2 ) 2(cos sin ) 0
(cos sin ) (cos sin )(cos 2 sin 2 ) 2 0 (2)
x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
    
   
     
     

0,25
Xét hai khả năng xảy ra cho (2):
* TH1: cos sin 0 tan 1
4



 



0,25

Xét: cos( ) 1 2
2 2
x x m
 

     

3
3 6
2
x m


   

Lúc đó:

  



HPT
2 2 2 2
2 2 2 2
( 16) ( 4) ( 16) 5 (1)
4 5 4 5 (2)
x x y y x x x y
y x y x
 
    
 
 
 
   
 
 0,25

Pt (1)
2
0
16 5 (3)
x
x xy


, pt (3)
2
16
5
x
y
x

 
thay vào (2) ta được:
4 2 2
124 132 256 0 1
x x x
    

 Nếu x = 1 thì y = -3
 Nếu x =-1 thì y = 3.
Vậy HPT có các nghiệm: (x; y) =( 0; 2); (0; -2); (1; -3); (-1; 3).

0,25
III
(1, 0 điểm) Tính giới hạn: I=
2
0
1 cos 2 tan
lim
.sin
x
x x
x x

lim( ) 2 1 3
.cos
x
x x
I
x x x

    0,5
IV
(1 điểm): Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Từ giả thiết suy ra
ABC


vuông tại C kết hợp với
( )
d SAC

.
Suy ra
( )
BC SAC


Do đó

0
0,25

Suy ra bán kính mặt cầu bằng
10
2 2
SB a

Vậy S
2 2
4 10
mc
R a
 
  (Đ.V.D.T)

0,25
V
(1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
4 3 2
2
4 8 8 5
( )
2 2
x x x x
f x
x x
   


( 2 2) 1 1
( ) 2 2 2( 2 2 0
2 2 2 2
x x
f x x x do x x
x x x x
  
        
   
)

0,25

Đẳng thức xảy ra
2
2 2 1 1
x x x
     
.
Vậy Minf(x) = 2 khi x =1
0,25
Vi.a
1.(1 điểm): Hãy xác định toạ độ các đỉnh của (E). (E) có tiêu điểm
1
( 3;0)
F 
nên

3
a b c b
   
thay vào
(1) ta được:
4 2
2 2
1 528
1 25 478 1584 0
3 25
b b
b b
     

2
22 22
b b    0,5
Suy ra:
2
25 5
a a
  
. Vậy (E) có bốn đỉnh là: (-5;0); (5; 0); (0;-
22
); (0;
22
)

0,25
Đặt
3
2
x
t
 

 
 
, đk: t>0. PT trở thành:

 


3 2 2
2 4 3 0 1 2 3 0
1
3
2
t t t t t t
t
t
        
 






ViIa
(1,0 điểm). Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong
mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.

Từ giả thiết bài toán ta có 6
2
4
C cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có số 0)
và
10
2
5
C
cách chọn hai chữ số lẻ => cã
2
5
C
.
2
5
C
= 60 bộ 4 số thoả mãn bài
toán.
0,5
Mỗi bộ 4 số như thế có 4! số được thành lập. Vậy có tất cả
2
4
C .
2
5

     0,5

Do
max
5
0
2
b S
   khi b =0. Suy ra B(0; 0); C(0; 5).

0,25
2.(1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn
có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ

học toán THPT và ôn thi miễn phí 6
Từ giả thiết bài toán ta thấy có
10
2
5
C
cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có
chữu số 0 đứng đầu ) vµ
3
5

. Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thoả mãn YCBT.

0,5
VII.b
(1 điểm): Tìm m để hàm số:
2
1
mx
y
x

 có hai điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn nhất.
Ta có:
2
2
1
'
mx
y
x

 .
0,25
Hàm số có hai cực trị
' 0
y
 
có hai nghiệm phân biệt khác 0
0(*)
m

  

( không đổi).
1
4
2
4 16( )
1
2
m
AB m
m
m

 

    







Kết hợp với điểu kiện (*) ta được
1
2
m
 
.