hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
TRNG THPT TY THY ANH

THI TH TUYN SINH I HC LN II NM HC 2010-2011

Mụn:
TON

Thi gian lm bi: 180 phỳt (khụng k thi gian giao )

PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im).
Cõu I (2 im) : Cho hm s y = x
3
3x + 1 cú th (C) v ng thng (d): y = mx + m + 3.
1/ Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2/ Tỡm m (d) ct (C) ti ba im phõn bit M(-1; 3), N, P sao cho tip tuyn ca (C) ti N v P vuụng gúc
nhau.
Cõu II (2 im).
1. Gii phng trỡnh :
sin 2 3sin cos 2 cos 1
x x x x
+ = + +

2. Gii bt phng trỡnh :
2 1 5 3
x x x
+ >

Cõu III (1im) . Tớnh tớch phõn I =
1
2


vuụng gúc vi mt phng (BDMN) v tớnh
th tớch khi a din AA

BDMN theo a .
Cõu V (1 im).
Cho x, y, z l cỏc s dng tha món xyz = 1. CMR:
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z y z x z x y
+ +
+ + +

PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc B)
A. Theo chng trỡnh Chun.
Cõu VIa (2điểm).
1.
Cho tam giỏc ABC cú nh A (0;1), ng trung tuyn qua B v ng phõn giỏc trong ca gúc C
ln lt cú phng trỡnh : (
1
d
): x 2y + 4 = 0 v (
2
d
): x + 2y + 2 = 0
Vit phng trỡnh ng thng BC .
2. Trong khụng gian vi h ta ờcỏc vuụng gúc Oxyz cho mp(P) : x 2y + z 2 = 0 v
hai ng thng : (d)

ng (P) v c

t c

hai

ng th

ng (d) v (d)
. CMR (d) v (d) chộo nhau v tớnh kho

ng cỏch gi

a chỳng

Câu VIIa: (1điểm).
Cho khai triển
n
n
n
xaxaxaa
x
++++=






+


1.Trong mt phng ta Oxy , cho im A(2;
3
) v elip (E):
2 2
1
3 2
x y
+ =
. Gi F
1
v F
2
l cỏc tiờu
im ca (E) (F
1
cú honh õm); M l giao im cú tung dng ca ng thng AF
1
vi (E); N
l im i xng ca F
2
qua M. Vit phng trỡnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ANF
2
.

2
.
Trong khụng gian vi h to
Oxyz
, cho cỏc im

2 2
3
log (3 ) log ( 2 ) 3
( )
4 2.4 20
x y x y
x
x y
x y
x y x xy y
x R
+ +
+
+

+ + + + =




+ =


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
______________________ Hết ____________________ H
ọ
và tên thí sinh : ………………………………… S

ị
(C) và
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = mx + m + 3.
1/ Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
2/ Tìm m
để
(d) c
ắ
t (C) t
ạ
i M(-1; 3), N, P sao cho ti

+ Tính y’=3(x
2
-1); y’ = 0
0,25
đ

+ Kho
ả
ng
đồ
ng bi
ế
n , ngh
ị
ch bi
ế
n
+ C
ự
c tr
ị 1.
+ Gi
ớ
i h
ạ
n 0,25
đ
______
2.
* Đồ thị:

4
2
-2
-4
y
-6 -4 -2 2 4 6
x
-1
3
1
-1
o0,25
đ

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !

d cắt (C) tại M(-1;3) và cắt thêm tại N và P sao cho tiếp tuyến của (C) tại đó
vuông góc với nhau , ,
0
( ). ( ) 1
( 1) 0
g
N P
y x y x
g
∆ >


= −


− ≠


0,25
đ


+ = + +
2
2
2sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0
cos(2sin 1) 2sin 3sin 2 0
x x x x x
x x x
⇔ − + + − − =
⇔ − + + − =
0,25
đcos (2 sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0
(2sin 1)(cos sin 2) 0
x x x x
x x x
⇔ − + − + =
⇔ − + + =

0,25
đ1
2
sin


Giả
i b
ấ
t ph
ươ
ng
trì
nh :
2 1 5 3
x x x
− − + > −2
2 1 5 3
x x x
− − + > −
(1)
Đ
k:
1
x
≥

Nhân l
ượ
ng liên h
ợ
p:

VP > + =
>3
nên bất phương trình (3) vô nghiệm
0,25đ
TH2: x=3 thì 0>0 (vô lý)

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
TH3:
1 3
x
≤ <
nên từ bất phương trình (2) ta suy ra:

3 (2 1 5)
x x
< − + +
bình phương 2 vế ta được:

4 ( 1)( 5) 8 5
x x x
− + > −
(4)
*

(*) nên bình phương hai vế của (4)ta được
2
9 144 144 0 8 48 8 48
x x x− + < ⇔ − < < +0,25đ
Kết hợp với điều kiện(*) ta được:
8
8 48
5
x
− < ≤
(6)
Từ (5) và (6) ta có đs:
8 48 3
x
− < <

0,25đ

Tính I =
1
2
1
dx
1 x 1 x
−
+ + +
∫


2
2
2 2
x
2( 1)
t t
d dt
t
− +
⇒ =
−

Và
1 2 2
1 2
x t
x t

= ⇒ = +


= − ⇒ =



0,25đ

2 2 2 2
2
2 2
2 2
( 2 2) x 1 1 1 2

2 ( 1) 2 ( 1) 1
t t d
dt
t t t t t
+ +
 
− +
= = − +
 
− − −
 
∫ ∫

0,25đ

=
2 2
1 1
ln 1 2ln 1
2 1
2
t t
t
+

C
B
AGọi O là tâm của ABCD , S là điểm đối xứng của A qua A
’
thì M và N lần lượt là trung
điểm của SD và SB.
AB=AD=a , góc BAD = 60
0
nên
D
AB
∆
đề
u
⇒
3
, 3
2
a
OA AC a
= =

SA = 2AA
’
=
3
a

⊥
⇒
⊥
Vậy AC
’

⊥
(BDMN)0,25
đ

L
ậ
p lu
ậ
n d
ẫ
n t
ớ
i
3
2
D
1 3
. 3
3 4 4
SAB
a


0,25
đ

Câu V
(1 điểm)

Cho x, y, z là các s
ố
d
ươ
ng th
ỏ
a mãn xyz = 1.
CMR:
3 3 3
2 2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z y z x z x y
+ + ≥
+ + +
Đặ
t
1 1 1
; ;a b c
x y z

C
ũ
ng áp d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cô si
ta
đượ
c
2
a
4
b c
a
b c
+
+ ≥
+

2
4
b a c
b
a c
+

2 2 2
3 3 3
2 2 2 2a 2 2
3
( ) ( ) ( )
b c
x y z y z x z x y b c a c b a
+ + = + + ≥
+ + + + + +

Đ
i
ề
u c
ầ
n ch
ứ
ng minh
0,75
đCho tam giác ABC có đỉnh A (0;1), đường trung tuyến qua B và đường phân
giác trong của góc C lần lượt có phương trình : (
1
d
): x – 2y + 4 = 0 và
(
2
d

− −

G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC nên
1
1;
2
c
c
y
M y
+
 
− −
 
 0,25
đ

ẻ
2
AJ d
⊥
t
ạ
i I ( J thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng BC) nên véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a
đườ
ng
th
ẳ
ng (d2) là
(2; 1)
u
→
−

m c
ủ
a h
ệ4
2 1 0
4 3
5
( ; )
2 2 0 3
5 5
5
x
x y
I
x y
y

= −

− + =


⇔ ⇒ − −
 
+ + =



y y
 
+ = − = −
 
 
⇔ ⇒ − −
 
 
+ = − = −
 
 

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (BC) qua C(-4;1) ;
8 11
( ; )
5 5
J − −
là:
4x+3y+13=0
0,25
đ


t (d) t
ạ
i
đ
i
ể
m A(10 ; 14 ; 20) và c
ắ
t (d’) t
ạ
i
đ
i
ể
m B(9 ; 6 ; 5)
Đườ
ng th
ẳ
ng
∆
c
ầ
n tìm
đ
i qua A, B nên có ph
ươ
ng trình :
0,25
đ



ng (d)

i qua M(1 ;2 ;1) v cú VTCP
(
)
u ' 2;1;1
Ta cú : (
)
MM ' 2; 1;3
=
( )
(
)
1 2 2 1 1 1
1 1 1 2 2 1
MM ' u, u ' 2; 1;3 ; ; 8 0

= =




0,5


Tìm số lớn nhất trong các số
n
aaaa , ,,,
210Ta có
221
n
2
n
1n
n
1
n
1n
n
2n
n
2n
n
2
n

n
2
nTa có khai triển

=

=

=












=







Gi

s


k
a
l hệ số lớn nhất cần tìm ta đ-ợc hệ ,
qua cụng th

c khai
tri

n nh

th

c NEWTON ta cú h

sau :
1
1
k k
k k
a a
a a
+


0,25_____
0,25
Do k

N
, nên nhận 2 giá trị k = 5 hoặc k = 6 0,25


Cõu
VIIa

0,25
Cõu VIb

(2 im)
hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1
( )
2 2
2 2 2
: 1 3 2 1
3 2
x y
E c a b
+ = ⇒ = − = − =

Do
đ
ó F
1
(-1; 0); F
2

đ⇒

1
NA 1;
3
 
= −
 
 

;
(
)
2
F A 1; 3
=


⇒

2
NA.F A 0
=
 ⇒

2 4
( 1)
3
3
x y
 
− + − =
 
 

0,25
đ

2
• Gọi
,
a c
lần lượt là hoành độ, cao độ của các điểm
,
A C
. Do OABC là
hình tứ diện theo giả thiết nên ac
≠
0
Vì
(
)
0;3;0
B Oy
∈

V OB S ac ac
∆
= = = = ⇔ =
(2) 0,25
đT
ừ
(1) và (2) ta có h
ệ

4
6 6 2
3
4 3 6 4 3 6 3
2
a
ac ac a
c a c a c
c
= −

= = − =
  

∨ ⇔ ∨


Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:
2 2
3
log (3 ) log ( 2 ) 3
( )
4 2.4 20
x y x y
x
x y
x y
x y x xy y
x R
+ +
+
+

+ + + + =

∈


+ =
 Đặ


< + ≠


Víi ®k trªn PT (1)
2
3
log (3 ) log ( ) 3
x y x y
x y x y
+ +
⇔ + + + =3
log (3 ) 2 log ( ) 3 (3)
x y x y
x y x y
+ +
⇔ + + + =Đặ
t
log (3 )
x y
t x y
+
= +


ta ®-îc : 4
y
+2.4
0
=20
4
4 18 log 18
y
y
⇔ = ⇔ =
(TM)
Víi t=2 ta cã
2
log (3 ) 2 3 ( ) (4)
x y
x y x y x y
+
+ = ⇔ + = +0,25
đ

PT(2)
2 3
1
2( ) 2( )
2 2 20 2 2 20 (5)
x x y
x y x y

t L
t TM
= −


=


Víi t = 4 ta cã
2 4 2 3 4
x y
x y x y
+
= ⇔ + = ⇒ + =

Ta cã hÖ
2 1
( )
3 4 1
x y x
TM
x y y
+ = =
 
⇔
 
+ = =
 