Giáo án tự chọn nâng cao 11
CHỦ ĐỀ 1
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = a
• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm
• Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = α + k2π và x = π - α + k2π, k ∈ , với sin
α = a.
2. Phương trình cosx = a
• Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm
• Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = ± α + k2π, k ∈ , với cosα = a.
3. Phương trình tanx = a
Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠
2
π
+kπ, k ∈ .
Nghiệm của phương trình x = α + kπ, k ∈ , với tanα = a
4. Phương trình cotx = a
Điều kiện: sinx ≠ 0 hay x ≠ kπ, k ∈ .
Nghiệm của phương trình là x= α + kπ, k ∈ với cotα = a.
B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:
1. Phương trình asinx + bcosx = c
• asinx + bsinx = c ⇔ sin(x + α) =
2 2
c
a b+
trong đó: sinα =
2 2
b
a b+
Phương trình trở thành bt
2
+ 2at – (b + 2c) = 0
Trang 1
(Loại do điều kiện)
Giáo án tự chọn nâng cao 11
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
1. Phương trình đưa về phương trình tích:
Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x +
3
(tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
Giải
Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0
Ta biến đổi 3tan2xcot3x +
3
(tan2x – 3cot3x) – 3 = 0
⇒ 3tan2xcot3x +
3
tan2x – 3
3
cot3x – 3 = 0
⇒ tan2x (3cot3x +
3
) -
3
(3cot3x +
3
) = 0
⇒ (3cot3x +
3
= +
=
(k ∈ )
⇒
2
9 3
6 2
x k
x k
π π
π π
= +
= +
(k ∈ )
Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm
là: x =
2
9 3
k
π π
sin
2 sin
cos
x
x
x
=
⇒ sinx
1
2 0
cos x
− =
÷
⇒
sin 0
2
cos
2
x
x
=
=
⇒ x = ±
0
cos3 cos5 cos4
x x
x x x
− =
⇒
2sin 4 cos4 2sin 4
0
cos3 cos5 cos4
x x x
x x x
− =
⇒ 2sin4x
2
cos 4 cos3 cos5
0
cos3 cos 4 cos5
x x x
x x x
−
=
÷
⇒ 2sin4xsin
2
x = 0 ⇒
sin 4 0
sin 0
x
=
(k ∈ )
Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là:
1 2 3 4 5
3 5 7
; ; ; ;
4 4 4 4
x x x x x
π π π π
π
= = = = =
2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác.
Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos
4
x + sin
4
x)
Giải:
Ta có: 1 + sin2x = 2(cos
4
x + sin
4
x)
= 2[(cos
2
x + sin
2
x)
2
2
− −
< -1 nên bị loại.
Với t =
1 5
2
− +
ta có phương trình sin2x =
1 5
2
− +
Phương trình này có nghiệm: x=
1 1 5
arcsin
2 2
k
π
− +
+
÷
÷
, k ∈
Và x =
1 1 5
arcsin
2 2 2
k
π
x
⇒ tan
3
x + tan
2
x – 5tanx + 3 = 0
Đặt t = tanx ta được phương trình.
t
3
+ t
2
– 5t +3 = 0 ⇔ (t – 1)(t
2
+ 2t – 3) = 0 ⇔
1
3
t
t
=
= −
Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm
4
x k
π
π
= +
, k ∈
3 2 6
x x x x x x
− −
+ − +
=0
⇔
3 2 2 3 2 2
2 2
sin 3 sin cos sin cos cos sin cos 3 sin cos 0
3 3
x x x x x x x x x x
− + + + − =
÷ ÷
⇔
2 2
2
sin 3sin cos cos (sin cos ) 0
3
x x x x x x
− + + =
÷
⇔
2 2
x, ta được:
tan
2
x -
2
3 tan 0
3
x + =
Trang 4
Giáo án tự chọn nâng cao 11
Giải phương trình, ta được: x =
6
k
π
π
+
và x = arctan
2 3
3
+ kπ, k ∈
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm
x =
3
,
4 6
k x k
π π
π π
+ = +
và x = arctan
⇔
cos 1 0
3 sin cos 1 0
x
x x
+ =
+ + =
⇔
(2 1)
2
3
x k
x k
π
π
π
= +
= − +
(k ∈ )
Bài 8: Giải phương trình:
2cos
3
x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx +
cos 2 sin 2 1 0
cos sin 2 0
x x
x x
− − =
+ + =
⇔
2
cos 2
4 2
cos 1
4
x
x
π
π
+ =
÷
− = −
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
=
= − +
= +
(k ∈ )
4. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinx + cosx = c
Bài 9: Giải phương trình cos2x + cos
2
x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0
Giải:
Ta có: cos2x + cos
2
x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0
⇔ 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3
Đặt t = sinx + cosx (-
Giải ra ta được:
2
arcsin 2
4 6
3 2
arcsin 2
4 6
x k
x k
π
π
π
π
= − + +
= − +
(k ∈ )
Bài 10: Giải phương trình 2sin
3
x + cos2x – 3cosx + 2 =0
Giải:
Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin
3
x + cos2x – 3cosx + 2 = 0
⇔ 2sinx (1-cos
= +
= −
Trang 6
Giáo án tự chọn nâng cao 11
Với t = 1 -
3
, giải ra ta được:
2 6
arcsin 2
4 2
5 2 6
arcsin 2
4 2
x k
x k
π
π
π
π
−
= + +
÷
÷
=
−
= + +
÷
÷
−
= − +
÷
÷
(k ∈ )
III. BÀI TẬP:
Giải các phương trình sau:
1.
3
cot2xtan3x-(cot2x +
3
tan 3x) + 1 =0
x x x x x x
− + + − − + − =
÷
6. cos3x(3tanx + 6 + 2
3
) – 3tanx + (3 - 2
3
) sin2x = 2
3
.
7. sin2x – 2sin
2
x + 3sinx – cosx = 1
8. (
2
- 1)sinx -
2
cosx-cos3x = 0
9. (sinx + cosx)(3cosx + 2) = cos2x + cos
2
x + 3
CHỦ ĐỀ 2:
Trang 7
Giáo án tự chọn nâng cao 11
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC
A. QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP:
1. Quy tắc cộng:
( )!
k
n
n
A
n k
=
−
5. Tổ hợp:
• Cho tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của tậm A gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử đã cho.
• Kí hiệu
k
n
C
là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có:
!
! !( )!
k
k
n
n
A
n
C
k k n k
= =
−
6. Nhị thức Niu – tơn:
• 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0, P(Ω)=1
• P(A ∪B) = P(A) + P(B) nếu A ∩ B = ∅.
9.Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh
hưởng đến xác suất của B.
A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B)
A và B độc lập ⇒ A và
B
độc lập.
10. Công thức cộng mở rộng:
Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó:
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)
D. BIẾN NGẪU NHIÊN:
11. Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép
thử với một số thực:
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và a là một giá trị của nó. biến cố “X nhận giá trị a” được kí
hiệu là [X = a] hay (X = a)
Giải sử X có tập các giá trị là {x
1
, x
2
,…,x
n
}
Đặt: p
1
= P[X = x
1
], … , p
n
= P[X = x
( ) ( )
n n n n
V X x p x p x p x p x p= + + + − + +
Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: σ (X), là một số được cho bởi công thức:
σ (X) =
( )V X
Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X.
Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X.
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
Bài 1: Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d mà các hệ số a, b, c, d
thuộc tập {-3, -2, 0, 2, 3}. Biết rằng:
Trang 9
Giáo án tự chọn nâng cao 11
a. Các hệ số tùy ý?
b. Các hệ số đều khác nhau?
Giải:
a. Có 4 cách chọn hệ số a vì a ≠ 0. Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 5 cách chọn
hệ số d. Vậy có 4 x 5 x 5 x 5 = 500 đa thức.
b. Có 4 cách chọn hệ số a (a≠ 0)
- Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b
- Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c.
- Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d.
Theo quy tắc nhân có: 4 x 4 x 3 x 2 = 96 đa thức.
Bài 2: Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang.
Mỗi tín hiệu được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu
nếu:
C
cách.
- Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau, có 5! Cách.
Từ đó theo quy tắc nhân ta có: n(A) =
3
6
C
.
2
5
C
.5!
Vì sự lựa chọn và sự sắp xếp là ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng.
Do đó:
3 2
6 5
5
11
. .5!
( ) 0,433
C C
P A
A
= ≈
.
Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng.
Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Tính xác suất để sao cho hội
đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai.
Giải:
Kết quả của sự lựa chọn là một nhóm 5 người tức là một tổ hợp chập 5 của 12. Vì vậy
2
4
C
= 90
Tương tự n(C) = 1.
3
6
C
.
1
4
C
= 80
Vậy n(A) = 80 + 90 = 170 và P(A) =
( ) 170
0,215
( ) 792
n A
n
= ≈
Ω
Bài 5: Sáu bạn, trong đó có bạn H và K, được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc. Tính xác suất
sao cho:
a. Hai bạn H và K đứng liền nhau;
b. hai bạn H và K không đứng liền nhau.
Giải:
Không gian mẫu Ω gồm các hoán vị của 6 bạn. Do đó: n(Ω) = 6!. Do việc xếp là ngẫu nhiên
Ω gồm các kết quả đồng khả năng.
a. Kí hiệu: A là biến cố “H và K đứng liền nhau”,
B là biến cố “H đứng ngay trước K”
2
13
C
cách.
Chọn 2 người từ tổ II, có
2
12
C
cách.
Từ đó không gian mẫu gồm:
2
13
C
.
2
12
C
= 5148 (phần tử).
n(B) =
2 2
6 8
.C C
= 420
n(C) =
2 2
7 4
.C C
= 126
Vậy P(A) =
420 126 546
P
1
8
3
8
3
8
1
8
Bài 8: Từ một hộp có 3 bi xanh và 6 bi đỏ, chọn ngẫu nhiên 4 bi. Gọi Y là số bi xanh trong 4
bi đã chọn.
a. Lập bảng phân phối xác suất của Y.
b. Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có ít nhất 1 bi xanh
b. Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có nhiều nhất 2 bi đỏ,
d. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của Y.
Giải:
a. Y có tập giá trị là 0, 1, 2, 3
Ta thấy P[Y = 0] =
0 4
3 6
4
9
.
15
126
C C
C
=
Tổng quát ta có: P[Y = k] =
4
c. Vì số bi đỏ được lấy là 4 – Y và 4 – Y ≤ 2 ⇔ Y ≥ 2 nên
P[Y ≥ 2] = P[Y = 2] + P[Y = 3] =
45 6 51
0,405
126 126
+
= ≈
d. Theo định nghĩa, ta có:
2
2 2 2 2 2
15 60 45 6 4
E(Y) =0. 1. 2. 3. ;
126 126 126 126 3
15 60 45 6 294 4 5
V(Y) =0 . 1 . 2 . 3 . ( ( )) ;
126 126 126 126 126 3 9
5 5
( ) ( )
9 3
E Y
Y V Y
σ
+ + + =
+ + + − = − =
÷
= = =
III. BÀI TẬP:
1. Phân phối 4 quả cầu khác nhau vào 3 cái hộp khác nhau (có thể có hộp không chứa quả
Trang 13
C
B
A
Giáo án tự chọn nâng cao 11
a. Các quyển được sắp tùy ý?
b. Các quyển cùng môn phải cạnh nhau?
c. Các quyển toán cạnh nhau, còn các quyển khác xếp tùy ý?
7. Một tổ gồm 6 nam, 6 nữ được xếp ngẫu nhiên vào 6 bàn, mỗi bàn 2 bạn. Tính xác suất sao
cho:
a. Không bàn nào có 1 nam và 1 nữ
b. Có đúng 4 bàn được xếp 1 nam và 1 nữ.
8. Cho một mạng giao thông như hình 2.3 mà các ô
nhỏ đều là các hình vuông bằng nhau. Một du khác
xuất phát từ A muốn đi đến B.
a. Có bao nhiêu cách đi nhanh nhất
(i) Từ A đến B?
(ii) Từ A qua C, đến B?
Dựa vào ý tưởng giải câu a, hãy chứng minh:
m n
m n m n
C C
+ +
=
với m, n ≥ 1 Hình 2.3
b. Giải sử ở tại mỗi đỉnh của hình vuông du khách chọn ngẫu nhiên một trong hai
hướng lên trên và sang phải để đi tiếp. Tính xác suất để du khách xuất phát từ A có thể đến
được C.
9. Tìm các số hạng không chứa x trong các khai triển:
a.
cố: “Tổng số chấm trên hai con là 6”, B là biến cố: “Con đỏ xuất hiện mặt 4 chấm” và C là
biên cố: “Tổng số chấm trên hai con là 7”. Chứng tỏ rằng:
a. A và B không độc lập
b. B và C độc lập
12. Bốn quả cầu được rút ngẫu nhiên (cùng một lúc) từ một cái hộp chứa 8 quả cầu đen và 4
quả cầu trắng. Giả sử ta sẽ nhận được 2 cái kẹo cho mỗi quả đen được rút ra và mất 1 kẹo cho
mỗi quả trắng được rút. Kí hiệu X là số kẹo nhận được.
a. Lập bảng phân phối của X
Trang 14
Giáo án tự chọn nâng cao 11
b. Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
13. Con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần. Kí hiệu X là số nhỏ nhất trong 2 số chấm
xuất hiện trên con xúc xắc.
a. Lập bảng phân phối xác suất của X b. Tính E (X), V(X)
14. Trên mỗi tờ vé số, người ta in 6 ô, mỗi ô chứa một trong các số khác nhau từ 1 tới 49. Khi
mở thưởng người ta rút ngẫu nhiên cùng một lúc 6 quả cầu từ 49 quả cầu được đánh số từ 1
đến 49.
Nếu vé của bạn có k số trúng thì bạn được x
k
đồng. Giả sử bạn mua 1 vé số. Tính số tiền
thưởng trung bình mà bạn nhận được nếu giả thiết
x
0
= 0, x
1
= 100.000đ, x
2
= 500.000đ; x
3
= 1.000.000đ, x
0
0
0
\{ }
lim ( ) ( )
\{ }
lim ( ) ( )
\{ }
lim ( ) ( )
lim ( )
lim ( )
lim ( )
n
n
x x
n
n
n n
x x
n
n
n n
x x
n
x x
x x
x x
x K x
f x L f x L
x x
= ⇔ > ⇒ →
÷
÷
→
∈
÷
= ⇔ < ⇒ →
÷
÷
→
=
= ⇔
= L
÷
÷
→
→ →
∈
= +∞ ⇔ ⇒ → +∞
÷
→
= −∞ ⇔ − = +∞
• Giả sử f(x) xác định trên khoảng (a; + ∞)
lim ( ) ( )
lim ( ) lim ( ( ))
n
n
x
n
x x
x a
f x f x
x
f x f x
→+∞
→+∞ →+∞
>
= +∞ ⇔ ⇒ → +∞
÷
= = ±∞
thì
0
( )
lim
( )
x x
u x
v x
→
có dạng
∞
∞
• Khi
0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x x x
u x v x
→ →
= = ±∞
thì
0
lim[ ( ). ( )]
x x
u x v x
→
có dạng 0. ∞
• Khi
0 0
lim ( ) lim ( )
• f(x) liên tục trên [a; b] ⇔
lim ( ) ( )
( ) ( ; )
lim ( ) ( )
x a
x b
f x f a
f x lien tuc tren a b
f x f b
+
−
→
→
=
=
5. Định lí:
a. Các hàm số đa thức liên tục trên . Các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác
định.
b. Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b) < 0 thì tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c)=0 (tứ là
phương trình f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (a; b)) .
C. ĐẠO HÀM
6. Định nghĩa và ý nghĩa:
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x
f x f x
x x
→
−
−
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M(x
0
; f(x
0
)) là:
y – y
0
= f’(x
0
)(x – x
0
); y
0
= f(x
0
).
• Vi phân của hàm số f(x) tại x (ứng với ∆x) là dy = df(x) = f’(x)dx
• Công thức tính gần đúng: f(x
0
+ ∆x) ≈ f(x
0
) + f’(x
0
) ∆x
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi x ∈ (a; b) thì hàm số x → f’(x) được gọi là
(uv)’ = u’v + uv’
Trang 17
Giáo án tự chọn nâng cao 11
2
' ' '
( 0)
u u v uv
v
v v
−
= ≠
÷
y'
x
= y'
u
. u'
x
(y = y(u), u = u(x))
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:
Bài 1: Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau:
a.
2
3
2
2
lim
8
d.
(
)
2
lim 1
x
x x x
→+∞
+ + −
Giải
a. Dạng
0
0
2
3 2 2
2 2 2
2 ( 1)( 2) 1 3 1
lim lim lim
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12 4
x x x
x x x x x
x x x x x x
→− →− →−
+ − − + − −
= = = = −
+ + − + − +
b. Dạng
∞
∞
2 2
4 1
3
lim
2
5
5
x
x x
x
→−∞
+ + +
÷
= −
− +
÷
c. Dạng 0. ∞
0 0 0
3 1 1 3[2 ( 2)] 3 3
lim lim lim
2 2 2 ( 2) 2( 2) 4
x x x
x
x x x x x
→ → →
− + −
+ + −
+ + − = =
+ + +
+ + +
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
a.
2
1
4 3
lim
1
x
x x
x
−
→
− +
−
b.
2
2
3 1
lim
2
x
x x
1
x x
x x
x x
x
− −
→ →
− +
= − − =
−
Bài 3: Cho hàm số f(x) =
2
2
25
4
x
−
a. Tính
4 4 3 3
lim ( ); lim ( ); lim ( ); lim ( );
x x x x
f x f x f x f x
− + − +
nên f(x) liên tục trên (- ∞; -4]
Vì
4
lim ( ) ( 4)
x
f x f
+
→−
≠ −
nên f(x) không liên tục tại x= -4
Vì
3 3
lim ( ) lim ( ) (3) 4
x x
f x f x f
− +
→ →
= = =
nên f(x) liên tục tại x=3
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (- ∞; -4] và (-4; +∞)
Bài 4: Tìm số thực m sao cho hàm số:
2
3
( )
2 1
x
f x
mx
=
= ⇔ = + ⇔ =
Với m =
11
4
thì f(x) liên tục tại x = 2.
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình x
3
– 2x
2
+ 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm.
* Sử dụng định lí: Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại điểm x ∈ (a;b) sao
cho f(c) = 0
Giải:
Đặt f(x) = x
3
– 2x
2
+ 1
Trang 19
nếu x ≤ - 4
nếu -4 < x ≤ 3
nếu x > 3
Giáo án tự chọn nâng cao 11
Ta có f(x) liên tục trên và do đó liên tục trên [-1; 0]
Mặt khác, vì f(0) = 1, f(-1) = -2 < 0 nên tồn tại số c ∈ (-1; 0) sao cho f(c) = 0. Vậy phương
trình có ít nhất một nghiệm âm.
Bài 6: Chứng minh rằng phương trình (3m
2
– 5)x
3
;y
0
) là y-y
0
=f’(x
0
)(x–x
0
)
Giải:
a. Hoành độ giao điểm của (H) và (d) là nghiệm của phương trình:
2
1
2 3 0
3
2
3
0
x
x x
x
x
x
x
= −
− − =
= − ⇔ ⇔
Bài 8: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. f(x) =
cot 3
4
x x
π
−
÷
;
b. g(x) = cos
2
x + cos
2
2
2 2
cos
3 3
x x
π π
+ + −
÷ ÷
c. h(x) = sin(cos
2
x).cos(sin
2
x)
x
x
x
π
π
− −
÷
−
÷
Trang 20
Giáo án tự chọn nâng cao 11
b. Tương tự g’(x) = - 2cosxsinx – 2cos
2 2 2 2
sin 2cos sin
3 3 3 3
x x x x
π π π π
+ + + − −
÷ ÷ ÷ ÷
= - sin2x -sin
4 4
2 sin 2
3 3
x x
x)cos(sin
2
x) + sin(cos
2
x)sin(sin
2
x)]
= -sin2xcos(cos
2
x – sin
2
x)
= -sin2xcos(cos2x)
Vì g’(x) = 0 nên g(x) là một hàm bằng. Bằng cách chọn x = 0, ta thấy g(0) =
3
2
Vậy g(x) =
3
2
với mọi x.
Bài 9: Tìm
a. d(tanx)
2
x k
π
π
≠ +
÷
( 1)
x x x x x x
x
+ + − − + + −
−
=
2 2 2 2
2 2 2
(2 2)( 1) ( 2 5) 2( 1) 2 5 2 7
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x
x x x
+ − − + + − − − − − −
= =
− − −
Vậy dy =
2
2
2 7
( 1)
x x
dx
x
− −
−
Bài 10: Không dùng máy tính và bảng số hãy tính gần đúng sin29
0
* Áp dụng công thức f(x
0
π π
−
÷
≈ sin
cos 0,4849
6 6 180
π π π
+ − ≈
÷ ÷
Bài 11: Tìm y
(n)
biết
1
2
y
x
=
−
* Dùng phương pháp quy nạp toán học.
Trang 21
Giáo án tự chọn nâng cao 11
Giải:
Ta có:
' '' '''
2 3 4
1 1 1 1.2 1 1.2.3
k
k
x x
+
= −
÷
− −
Ta chứng minh (*)đúng với n = k+1
Lấy đạm hàm hai vế của (2) ta đượC:
( 1)
1
1 1
2 2 2 2
1 ![( 2) ]' !( 1)( 2)
( 1) ( 1)
2 ( 2) ( 2)
k
k k
k k
k k
k x k k x
x x x
+
+
+ +
+ +
− + −
+
= −
÷
− −
III. BÀI TẬP:
1. Áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:
a.
2
2
1
4 3
lim
3 2
x
x x
x x
→
− +
− +
b.
2
lim
1 3
x
x
→−∞
−
2. Tính các giới hạn sau:
x x x
→+∞
+ − −
d.
(
)
2
lim 1
x
x x x
→+∞
+ −
3. Tìm các giới hạn sau:
a.
2
7
lim
2
x
x
x
+
→−
−
+
và
2
7
lim
2
→−
+
+
4. Cho hàm số f(x) =
3
1 3
1 1
2
x x
mx
−
− −
+
Với giá trị nào của m, hàm số f(x) có giới hạn khi x → 0.Tìm giới hạn đó.
5. Tìm các khoảng liên tục của các hàm số sau:
a. f(x) =
2
6x x+ −
;
Trang 22
nếu
nếu
nếu
nếu
nếu
sin
3
3
3
x x
ax x
π
π
<
− ≥
liên tục tại x =
3
π
7. Chứng minh rằng phương trình x
3
– 10x
2
– 1 = 0 có ít nhất một nghiệm dương.
8. Chứng minh rằng phương trình (m
2
+ m +1)x
5
+ x
a. y =
2
1
x
x
+
−
b. y =
tan x
x
12. Tính gần đúng các số sau với sai số 0,001
a. cos61
0
b. tan 44
0
c.
16,02
13. Cho y = x
2
sinx. Tìm y
(4)
.
14. Chứng minh rằng:
( )
(sin ) sin
2
n
x x n
π
b. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng bằng nó.
c. Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến gốc thành góc bằng nó.
d. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
5. - Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng
tâm , trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoài tiếp của tam giác ABC tương ứng thành
trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’.
- Phép dời hình biến một đa giác n cạnh H thành một đa giác n cạnh H’, biến các đỉnh của H
thành các đỉnh của H’, biến các cạnh của H thành các cạnh của H’…
6. Hai hình được gọi là bằng nhau khi có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
B. PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
7. Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì
và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN.
8. a. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1
b. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|
c. Thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép
đồng dạng tỉ số pk.
9. Phép đồng dạng tỉ số k là hợp thành của một phép dời hình và một phép vị tự tỉ số k. Nó
cũng là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k và một phép dời hình.
10. Phép đồng dạng tỉ số k:
a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các
điểm ấy.
b. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng.
c. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
d. Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R.
Trang 24
Giáo án tự chọn nâng cao 11
11. - Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng
biến trọng tâm, trực tâm,tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng
2
= AB
2
⇒
2 2
' 'A B AB=
uuuuuur uuuur
⇒
2 2
( ' ' ' ') ( )O B O A OB OA− = −
uuuuur uuuuur uuur uuur
⇒
2 2 2 2
' ' 2 ' '. ' ' 2 .O B O B O A OB OB OA OA− = − +
uuuuuur uuuuuur uuuur uuuur
uuuuur uuur uuur
⇒
2
' ' 2 ' '. ' ' .O B O A O B OAOB− =
uuuuuur
uuuuur uuuuur uuur uuur
b. Từ câu a) và định nghĩa ta có:
' ' ' ' ' ' ' ' 0O B tO A O B tO A= ⇔ − =
uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur r
⇔
2
( ' ' ' ') 0O B tO A− =
uuuuur uuuuur
⇔
2
AM t AB=
uuuur uuur
Giải:
Cho đường thẳng d và phép dời hình F. Lấy A, B phân biệt thuộc đường thẳng d, gọi A’ =
F(A), B’ = F(B). Khi đó vì A’B’ = AB nên A’ và B’ phân biệt. Ta sẽ chứng minh rằng F(d) là
đường thẳng A’B’.
Lấy điểm M thuộc d, gọi M’ = F(M). Áp dụng câu b) của bài 1, ta có:
Trang 25
Copyright: Tài liệu đại học ©