Biờn son : GV HUNH C KHNH

trang 3

Bt phng trỡnh dng :
( )
(
)
log
x
f
g x a
>
, ta xột hai tr

ng h

p c

a c

s

:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )





<




>




>



< <
> Vớ d . Gii bt phng trỡnh :
(
)
2
x
log 5x 8x 3 2
+ >
.

x x
2 2





< <





< < < <







< <

+ < + <




< <




+ >









+ >


< >




2






.
- V


log 2x 2
+
>

3)
x
1
log x 2
4

4)
(
)
x
x 3
log log 9 72 1

5)
(
)
2
x 3
log 5x 18x 16 2
+ >

a
a
log 35 x
3.
log 5 x

>
DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ
A BT PHNG TRèNH M.
Vớ d 1.
Gi

i b

t ph

ng trỡnh :
x x 2
x x
2.3 2
1
3 2
+



.

−
 
≤ ⇔ ≤
−
 
−
 
 

(*)

-
ðặ
t :
( )
x
3
t , 0 t 1
2
 
= < ≠
 
 
.
- Khi
ñ
ó (*) tr
ở
thành
2t 4 t 3

5 4.5 5
− − − − + −
− <
.
- ðặt :
x 5 3 x 2
u 5 0, v 5 0
− −
= > = >
.
- Khi ñó bpt trở thành :
( )
2
2 2
u
4u 5v u 4uv 5v vi v 0
v
− < ⇔ − < >

(
)
(
)
2 2
u 4uv 5v 0 u v u 5v 0 u 5v 0 u 5v
⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ − < ⇔ <
x 5 1 3 x 2
5 5 x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
− + −
⇔ < ⇔ − < + − ⇔ − < −

≥
≥




⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
  

< <
− + <
− > −





.
- V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
[

2 x 2x 1 x 2x 1
2 4.2 2 0.
− − − − −
⇔ − − ≤

-
ðặ
t :
2
x 2x 1
t 2 , t 0.
− −
= >

- Bpt tr
ở
thành :
( )
( )
2 3 2
1
t 4 2 0 t 2t 4 0 t 2 t 2t 2 0
t
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + + ≤

( ) ( ) ( )
2
t 2 t 1 1 0 t 2 0 t 2.
 
⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤

trang 5

Ví dụ 4. Giải bất phương trình :
2x 1 2x 1 x
3 2 5.6 0
+ +
− − ≤
.
- Ta có :
x x
2x 1 2x 1 x 2x 2x x
2
3 2 5.6 0 3.3 2.2 5.6 0 3. 2. 5 0
3
2 3
+ +
− − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤
   
   
   
.
- ðặt :
x
3
t , t 0
2
 
= >
 
 

ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là :
3
2
S ;log 2
 
= −∞


 
.
BÀI TẬP.
1)
1 x x 1 x
8 2 4 2 5
+ +
+ − + >
2)
2 1
1
x x
1 1
3. 12
3 3

x 4 2
log 8 log x log 2x 0
+ ≥
.
- ðiều kiện :
0 x 1
< ≠
.
- Bpt
( ) ( )
1
2
2
4 2 2 2
8 2
1 3 1
log x log 2x 0 log x . 1 log x 0
log x log x 2
 
 
⇔ + ≥ ⇔ + + ≥
 
 
 
 

- ðặt :
2
t log x
= .

2
t 0 log x 0
x 1.

≤ −
≤ −
≤



⇔ ⇔



> >


>


- ðối chiếu ñiều kiện ta chọn :
1
0 x
2
x 1.

< ≤


>

( ) ( )
3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
x 32
log x log 9log 4log x
8 x
 
 
− + <
 
 
 
 
.
- ðiều kiện :
x 0
>
.
- Bpt
( ) ( )
1 1
3
4 2 2
2 2
2
2 2
x 32

ðặ
t :
2
t log x
=
.
- Bpt tr
ở
thành :
2
4 2 2
2
3 log x 2
3 t 2
t 13t 36 0 4 t 9
2 t 3 2 log x 3
− < < −
− < < −


− + < ⇔ < < ⇔ ⇔


< < < <



1 1
x


2)
(
)
x
x
2
3 2
log 3 2 2.log 2 3 0
+
+ + − >
.

DAÏNG 3. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC.

Dạng :
log log
a
b
u v
<
, ta thường giải như sau : ðặt
log
a
t u
=
( hoặc
log
b
t v
=

   
   
. (*)
- Hàm số
( )
t t
1 2
x 3.
5 5
f
   
= +
   
   
nghịch biến trên
ℝ
và
(
)
1 1.
f
=

- Bpt (*)
(
)
(
)
t 1 t 1
f f

log
b
v
trong tập xác ñịnh của phương trình.
● Trong TXð, nếu
log
a
u
và
log
b
v
cùng dấu thì :

1 1
og og .
log log
a
b
a
b
l
u l v
u v
⇔
> <

Ví dụ : Giải bất phương trình :
( ) ( )
2 2

< − ≠
≠ <

 
≠
 

●

(
)
2
log x 1 0 x 1 1 x 0.
+ > ⇔ + > ⇔ >

●
(
)
2
log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.
− > ⇔ − > ⇔ <

- Ta có b
ả
ng xét d
ấ
u :

- T
ừ

Khi
ñ
ó bpt
(
)
(
)
2 2
log x 1 log 3 2x
⇔ + < −
2
3 2x x 1 x .
3
⇔ − > + ⇔ <

3) Với
3
1 x
2
< <
thì
VT 0, VP 0,
> <
suy ra bpt vô nghiệm.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
2
S 0 x
3
 
= < <

v u u u v v
v
< − ⇔ + < +
, ta th
ườ
ng gi
ả
i nh
ư
sau : Xét hàm s
ố

(
)
log
a
f t t t
= +ñồ
ng bi
ế
n khi
0
t
>
, suy ra
(
)


trang 8

- Bpt trở thành :
3 3 3 3 3
u
log v u log u log v v u log u u log v v
v
= − ⇔ − = − ⇔ + > +
. (*)
- Xét hàm số :
(
)
3
t log t t
f
= +
, ta có :
( )
1
' t 1 0, t 0
tln3
f
= + > ∀ >
nên hàm số ñồng biến khi
t 0
>
. Do ñó (*)
(
)

Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình :
( )
2 3
1
log x 2 4 log 8
x 1
 
− + ≤ +
 
−
 
.
-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
x 2.
≥
.
- Ta có :
●

x 2
VP 2
x 2


=
− =
 
⇔ ⇔ =
 
=
=




.
- Vậy nghiệm của bất phương trình là :
{
}
S 2
= .

BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
1)
2
2
2x x
x 2x
1

4)
2 3 2 3
log x log x 1 log x.log x
+ < +
5)
( )
2
2
2
2
x 3
1 1 1
log x 6 2 log
2 12 64
+
− < +
6)
1 1
x x
6 6
1
log 3.4 2.9 log 5
x
− −
 
+ + =
 
 

7)

2
log x 1 log x 1
0
x 5x 6
+ − +
>
− −

10)
( ) ( )
2 3
2 3
2
log x 1 log x 1
0
x 3x 4
+ − +
>
− −
.

HẾT

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

t
r
an
g
1

Nhận xét : ðây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =


- Ta có :
2
2
2
2
1 log 3
D 1 log 3 0
log 3 1
= = − ≠2 2
2
x 2
2
2 log 3 log 3
D 2 2log 3
1 2log 3 1
+

= =


.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình :
( ) ( )
( )
1 4
4
2 2
1
log y x log 1 1
y
x y 25. 2

− − =



+ =


-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
y x 0

( ) ( )
4 4
4
log y log y x 4 y y x 4 y x.
3
 
⇔ = − ⇔ = − ⇔ =
 

- Khi đó hpt
( )
2
2
x 3
4x
4x
y
y
y 4
33

x 3
4x
x 3
x 25
loai .
x 3
3
y 4





CHUYÊN ĐỀ 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ – LOGARIT
Biờn son : GV HUNH C KHNH

t
r
an
g
2

- Vy h phng trỡnh cú nghim :
x 3
y 4
=


=

.
Vớ d 3. Gii h phng trỡnh :
(
)
( ) ( )
3 2
2 2 2
2log y log x 1 1
log y log x 1 .log 3 2

log y log x 1 log 2
y 8
log 3
y
= +

= + =

=





=
= =
=





.
- Vy h phng trỡnh cú nghim :
x 9
y 8
=


=

=


+ =


3)
3x 2
x x 1
x
2 5y 4y
4 2
y
2 2
+

=


+
=

+

4)
(
)

( ) ( )
logx log y
log7 log5
5 7
7x 5y

=


=



-

i

u ki

n :
x 0
y 0
>


>

.
- L


cú d

ng :
2 2
u.log5 v.log7 0
u.log7 v.log5 log 5 log 7
=


=


Nhn xột : õy l h phng trỡnh bc nht hai n cú dng
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =


+ =


- Ta cú :
2 2
log5 log7
D log 7 log 5 0
log7 log5

= =

g
3

- Suy ra hệ có nghiệm :
u
v
D
u log7
D
D
v log5
D

= = −




= = −


, suy ra
1
x
7
1
y
5

=

log xy
2 2
4 2 xy (1)
x y 3x 3y 12 (2)

= +


+ − − =



-
ð
i
ề
u ki
ệ
n :
x.y 0
>
.
- Nh
ậ
n xét :
b b
log c log a
a c=
. Do
ñ

= + ⇔ − − = ⇔

=


- Với
t 2
=
thì
3
log xy 1
=
hay
xy 3
=
.
- Biến ñổi (2)
( ) ( )
(
)
( )
2
x y 6
x y 3 x y 18 0
x y 3

+ =
⇔ + − + − = ⇔

+ = −


+ = −





=




- Vậy hệ có hai nghiệm :
(
)
3 6; 3 6
− +
và
(
)
3 6; 3 6
+ −
.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình :
( ) ( )
2 2
5 3
9x 4y 5
log 3x 2y log 3x 2y 1

+ − =

⇔

 
+ = −

 


- Từ (2) ta ñặt :
(
)
(
)
5 3
t log 3x 2y log 3. 3x 2y
 
= + = −
 
. Suy ra :
( )
t
t 1
3x 2y 5
*
3x 2y 3
−

+ =

- Vậy hệ phương trình có nghiệm :
x 1
y 1
=


=

.
Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

t
r
an
g
4

Lưu ý : Với phương trình dạng :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1
log log 2
a b
f x g x k
f x g x f x g x

− =



và
(
)
(
)
.
t
f x g x b
− =
Thay vào (1) ta tìm ñượ
c t.

BÀI TẬP.
1)
2 2 2
3 3 3
xlog 3 log y y log x
xlog 12 log x y log y
+ = +


+ = +

2)
x y
2 2 8
x y 4

+ =


2
y
log y log x 2
x 3x y 20 log x
+ =



− − = +


6*)
2 2
2
2x 2 2x y y
2y 2 2x y
4 2 4 1
2 3.2 16
− +
+ +

− + =


− =



7*)
y x

=
. Ta gi
ả
i nh
ư
sau :
Xét hàm s
ố
:
(
)
y f t
=

●
N
ế
u hàm s
ố
:
(
)
y
f t
=

ñơ
n
ñ
i

có m
ộ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i
t a
=
thì nó thay
ñổ
i chi
ề
u bi
ế
n thiên m
ộ
t l
ầ
n
khi qua a. T
ừ

(1)
suy ra
x y
=
ho

x 0
y 0
>


>

.
- Phương trình (1)
x y
x y
e e
⇔ − = −
(3).
- Xét hàm số :
(
)
t
t e t
f
= −
liên tục với mọi
t 0
>
. Mặt khác :
(
)
t
' t 1 0 , t 0
f e

+ = ⇔ − + + =2
log x 1 x 2.
⇔ = ⇔ =

- Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
(
)
(
)
x; y 2; 2 .
=