www.VNMATH.com
Chuyên đề
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị
, ,i j k
r ur ur
( )
1i j k
= = =
r r ur
.
B.
( )
1 2 3 1 2 3
; ;
a
a a a a a i a j a k
=
⇔ + +
uur
uur ur ur uur
; M(x;y;z)⇔
OM xi y j zk
= + +
uur
uuuuur
ur uur
C. Tọa độ của vectơ: cho
( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z

y z z x x y
 
= − − −
 ÷
 ÷
 
∧ =
r r
8.
,u v
ur r
cùng phương⇔
[ , ] 0=
r r
r
u v
9.
( )
cos ,
.
.
u v
u v
u v
=
ur r
r r
r r
.
D. Tọa độ của điểm: cho A(x

G
=
3
A B C
y y y+ +
; z
G
=
3
A B C
z z z+ +
4. M chia AB theo tỉ số k:
; ; ;
1 1 1
− − −
= = =
− − −
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
; ; .
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x zy
+ + +

1
.
3
BCD
S h
(h là đường cao
của tứ diện hạ từ đỉnh A)
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT
I. Mặtphẳng
Mặt phẳng
α
được xác định bởi: {M(x
0
;y
0
;z
0
),
( ; ; )n A B C=
r
}. Phương trình tổng quát của mặt
phẳng
α
: Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax
0
+By
0
+Cz
0
+D=0

α β
=
uur uur
và ngược lại e/
α
//d⇒
d
u u
α
=
uur uur
f/
α
⊥d⇒
d
n u
α
=
uur uur
.
www.VNMATH.com
1
( )
1;0;0i
r
( )
0;1;0j
r
( )
0;0;1k


= +

;
ii.Phương trình chính tắc:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =

iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng:
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

trong đó
1 1 1 1
( ; ; )n A B C=
uur
,
2 2 2 2
( ; ; )n A B C=

0
x
y
=


=


b/ (AB):
AB
u AB=
r uuur
; c/ ∆
1
//∆
2
⇒
1 2
u u
∆ ∆
=
uur uur
; d/ ∆
1
⊥∆
2
⇒
1 2
u n

*sin(∆,
α
)=sinψ=
.
.
n u
n u
ur r
r r
.
KHOẢNG CÁCH
Cho M (x
M
;y
M
;z
M
),
α
:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M
0
(x
0
;y
0
;z
0
),
u
∆

* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=
0 0
[ , ']. '
[ , ']
u u M M
u u
r uur uuuuuuuur
uur uur
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
(S)
Dạng 2: x
2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R=
2 2 2
a b c d
+ + −
1. d(I,

và (S). Để tìm tâm H
và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r =
2 2
- ( , )R d I
α
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với
α
+H=∆
∩
α
(toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với
α
)
www.VNMATH.com
2
www.VNMATH.com
B. BÀI TẬP
1. (Khối D_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z−20=0.
Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
22
:
1 1 1
yx z−+
∆ = =
−

www.VNMATH.com
3
www.VNMATH.com
ĐS: a. x
2
+y
2
+z
2
−3x−3y−3z=0, b. H(2;2;2).
3. (Khối D_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(−1;2;4) và đường thẳng
21
:
1 1 2
yx z+−
∆ = =
−
.
a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
(OAB).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA
2
+MB
2
nhỏ nhất.
www.VNMATH.com
4
www.VNMATH.com
ĐS: a.

.
a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d
1
.
b. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
ĐS:
a. A’(−1;−4;1), b.
21 3
:
1 3 5
yx z−− −
∆ = =
− −
.
5. (Khối D_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
21 1
:
3 1 2
yx z
d
+− +
= =
−
và

lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O
là gốc tọa độ).
www.VNMATH.com
5
www.VNMATH.com
ĐS: a. 15x+11y−17z−10=0, b.
5
OAB
S
∆
=
.
6. (Khối D_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z−2=0. Viết
phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
ĐS:
( ) ( )
2 2
2
1 1 1x y z− + + − =
.
7. (Khối D_2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng d
k
là giao tuyến của hai mặt phẳng (
α
): x+3ky−z+2=0,
(
β
): kx−y+z+1=0. Tìm k để đường thẳng d

Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−5=0 và hai điểm A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong
các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó là nhỏ nhất.
www.VNMATH.com
8
www.VNMATH.com
ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z−5=0, Nâng cao
3 1
:
26 11 2
yx z+ −
∆ = =
−
.
10. (Khối B_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z−3=0 sao cho MA=MB=MC.
www.VNMATH.com
9
www.VNMATH.com
ĐS:
a. x+2y−4z+6=0, b. M(2;3;−7).
11. (Khối B_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+y
2
+z

= − −


= +

.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
, d
2
.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho A, M, N thẳng hàng.
ĐS: a. (P): x+3y+5z−13=0, b. M(0;1;−1), N(0;1;1).
13. (Khối B_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
với A(0;−3;0), B(4;0;0), C(0;3;0),
B(4;0;4).
a. Tìm tọa độ các đỉnh A
1
, C
1

1 4
x t
d y t
z t
= − +


= −


= − +

. Viết phương trình
đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
ĐS:
24 4
:
3 2 1
yx z++ −
∆ = =
−

15. (Khối B_2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho
( )
0;6;0AC =
uuur
. Tính
khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
ĐS: Khoảng cách bằng 5

2
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4. Nâng cao M
1
(0;1;−3),
2
18 53 3
; ;
35 35 35
M
 
 ÷
 
.
www.VNMATH.com
12
www.VNMATH.com
17. (Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
d
− −
= =
.
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d.
b. Viết phương trình mặt phẳng (
α


=

.
a. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y−4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d
1
,
d
2
.
www.VNMATH.com
13
www.VNMATH.com
ĐS:
2 1
:
7 1 4
yx z
d
− +
= =
−
19. (Khối A_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0),
A’(0;01). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

và mặt phẳng (P): 2x+y−2z+9=0.
a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.
ĐS: a. I
1
(−3;5;7), I
2
(3;−7;1)
www.VNMATH.com
15
www.VNMATH.com
21. (Khối A_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ
O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0),
( )
0;0;2 2S
. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
www.VNMATH.com
16
www.VNMATH.com
ĐS: a.
( )
2 6
,
3
d SA BM =
, b.

1
và song song với đường thẳng ∆
2
.
b. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
nhất.
www.VNMATH.com
17
www.VNMATH.com
ĐS: a. 2x−z=0, b. H(2;3;4)
23. (CĐ_Khối A_2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P
1
): x+2y+3z+4=0 và (P
2
): 3x+2y−z+1−0. Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
).
ĐS: (P): 4x−5y+2z−1−0
24. (CĐ_Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình
1
1 1 2
yx z −
= =