SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG B
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm).
Giải phương trình:
3
2 (5 3 ) 5 3 2 5 3 .x x x x x     
Câu 2 (4,0 điểm).
Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
 
2
( 1) 1
x y m
y x xy m x
 



   


Câu 3 (2,0 điểm).
Cho ba số dương
, ,x y z
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 36
9x y z x y y z x z
  

của BD và AC. Trên cạnh AB lấy điểm P sao cho
1
.
3
AP
AB

Tính thể tích khối tứ diện
AMNP.
Câu 7 (2,0 điểm).
Tìm hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn:
f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x, y.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đề thi chính thức
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP
12
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: TOÁN 12 THPT - BẢNG B

CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
4.0
Điều kiện
5

Vây phương trình có nghiệm
3 29
2
x
 

0.5
2
4,0
Từ y = m - x thay vào phương trình còn lại ta được :
3 2
0 (1)x mx m  
0,5
Xét hàm số
3 2
( )f x x mx m  
trên

0.5
Để hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với Ox (*)
0,5
Ta có
2
( ) 3 2f x x mx

 

m
m
m m
m
f f
m


 




   








1
Vậy
3 3
2
m  
hoặc
3 3
2

2
+ z
2
y
2
+x
2
z
2
≥ 12
4 4 4
12
x y z
hay 9 + x
2
y
2
+ z
2
y
2
+x
2
z
2
≥ 12
3
xyz
(2)
0.5

lim lim
2 1
x
t
x t
e c x e t
I
x x t

 
  
 
 
0.25
=
2
2 2
0
1 1 cos
lim
t
t
e t
t t

 
 

 
 

0.25
2
2
0
2sin
1
2
lim
2
4
2
t
t
t


 
 
 
0,25
Suy Vậy I = 1+
1 3
2 2

0.25
5
3.0
Trong mặt phẳng (ABC) : AM cắt BC tại A
1
.

MAC
ABC
S
MB
MB
DB BB S


 
,
1
1
'
MAB
ABC
MC S
MC
DC CC S


 
0,5
D
C
A
1
B
A
A’
M

(Do M là trung điểm BD)
0,5
ABCD là tứ diện đều có độ dài cạnh bằng 1 nên V
ABCD
=
2
12
0.5
Suy ra V
AMCB
=
1 2 2
.
2 12 24

0.5
Vậy V
AMNP
=
1
6
V
AMCB
=
2
144
(đvtt)
0,5
7
2,0

Chọn x =
2

ta được
. 0
2 2
f f
 
   
 
   
   

0
2
0
2
f
f



 

 

 


 

   
   
0.25
Nếu
2
f

 

 
 
= 0 từ (1) chọn y = -
2

. Ta có
sinx = cos (**)
2 2
f x x x R
 
   
    
   
   
0,25
Từ (*) và (**) suy ra f(x) = cosx
x R 
. Thử lại thấy hàm số f(x) = cosx thỏa mãn
0.25
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.