ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÊ MINH PHẤN
ĐỀ TÀI
PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN
VÀ CÁC TOÁN TỬ TOEPLITZ GIAO HOÁN
Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu
Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
PGS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và
thành kính nhất đến thầy, thầy không chỉ hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa
học mà Thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên tôi trong suốt
quá trình làm luận văn. Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn gia
đình và bạn bè tôi đã hết sức quan tâm và giúp đỡ tôi trong thời gian học
tập và hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo Đại học Sư Phạm Hà Nội, viện Toán học Việt Nam và các thầy cô
giáo trong khoa sau Đại học, Đại học Sư Phạm Thái Nguyên, Đại Học
Thái Nguyên đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc
chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự
góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010
Học viên
Lê Minh Phấn

2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
LỜI MỞ ĐẦU
Toán tử Toeplitz giao hoán đã được nghiên cứu trong không gian
Hardy bởi những kết quả cổ điển của Brown và Halmol. Gần đây Zeljko
Cuckovic và N.V. Rao đã nghiên cứu và phát biểu bài toán này trong không
gian Bergman thông qua phép biến đổi Mellin. Cụ thể hơn, các tác giả đã
chứng minh được kết quả cơ bản sau :
Cho ϕ và ψ là các hàm điều hòa bị chặn trên D. T
ϕ
T
ψ
= T
ψ
T
ϕ
nếu và
chỉ nếu:
1, ϕ và ψ là chỉnh hình trong D
2,
¯
ϕ à
¯
ψ là chỉnh hình trong D
3, Tồn tại a,b ∈ C, a
2
+ b
2
= 0, sao cho aϕ + bψ là hằng số trong D
Rõ ràng nếu ϕ và ψ là chỉnh hình trong D,

iθ
) = r
m
e
iδθ
thì điều kiện T
ϕ
,T
ψ
giao hoán được diễn tả như thế nào.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả nói trên của
Cuckovic và Rao .
Luận văn bao gồm 2 chương.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 1, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hàm
chỉnh hình, không gian Bergman, phép biến đổi Mellin. Chúng là những
công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn.
Chương 2 là một chương quan trọng của luận văn. Trong chương này
chúng tôi nghiên cứu toán tử Toeplitz giao hoán thông qua phép biến đổi
Mellin. Phần đầu chương trình bày điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz
giao hoán với các symbol ϕ,ψ là các hàm điều hòa. Phần tiếp theo chúng
tôi trình bày các kết quả về điều kiện cần và đủ để toán tử Toeplitz giao
hoán thông qua phép biến đổi Mellin với ϕ,ψ ∈ L
∞
(D,dA) và
ˆ
ψ
k
là hữu
tỉ, vô tỉ.

(z) = lim
∆z→0
f (z +∆z) − f (z)
∆z
.
Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi
tại z.
Bởi vì
lim
∆z→0
[ f (z +∆z) − f (z)] = lim
∆z→0
f (z +∆z) − f (z)
∆z
∆z = 0
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
nên nếu f là C- khả vi tại z thì
lim
∆z→0
[ f (z +∆z) − f (z)] = 0.
Nói cách khác f liên tục tại z.
Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết
f
(k)
= (f
(k−1)
)

nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên Ω.

(x,y) = −
∂ v
∂ x
(x,y)
(1.2.1)
Chứng minh. Điều kiện cần:
Giả sử f C - khả vi tại z = x +iy ∈ Ω. Khi đó tồn tại giới hạn
f

(z) = lim
∆z→0
f (z +∆z) − f (z)
∆z
với ∆z = ∆x + i∆y.
Vì nếu giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến điểm 0 của
∆z nên nếu chọn ∆z = ∆x, ta có :
f

(z) = lim
∆z→0
u(x +∆x,y) +iv(x + ∆x,y) −u(x, y) −iv(x,y)
∆x
=
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
= lim
∆z→0
u(x +∆x,y) −u(x,y)
∆x
+ i lim






∂ u
∂ x
(x,y) =
∂ v
∂ y
(x,y)
∂ u
∂ y
(x,y) = −
∂ v
∂ x
(x,y)
Ta còn phải chứng tỏ u(x, y) và v(x , y) khả vi tại (x,y).
Vì f C- khả vi tại z nên
∆ f = f (z + ∆z) − f (z) = f

(z)∆z + o(∆z)
với o(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là
lim
∆z→0
o(∆z)
∆x
= 0.
Rõ ràng
∆ f = ∆u +i∆v,∆z = ∆x + i∆y.

∂ x
∆x +
∂ v
∂ y
∆y +o(|∆z|).
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
điều kiện đó nghĩa là u và v khả vi tại (x,y).
Điều kiện đủ:
Vì u và v khả vi tại (x,y) nên
∆u =
∂ u
∂ x
∆x +
∂ u
∂ y
∆y +o(

∆x
2
+ ∆y
2
)
và
∆v =
∂ v
∂ x
∆x +
∂ v
∂ y

∆z
=
∂ u
∂ x
∆x −
∂ v
∂ x
∆y +o(∆z)
∆z
+ i
∂ v
∂ x
∆x +
∂ u
∂ x
∆y +o(∆z)
∆z
=
∂ u
∂ x
∆x +i
∂ u
∂ x
∆y
∆z
+
− ∂v
∂ x
∆y +i
∂ v

8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Xét vi phân
d f =
∂ f
∂ x
dx +
∂ f
∂ y
dy (1.2.6)
Vì dz = dx +idy và d ¯z = dx − idy nên
dx =
1
2
(dz + d ¯z),dy =
1
2i
(dz −d ¯z).
Thế các đẳng thức này vào (1.2.6) ta có
d f =
1
2
(
∂ f
∂ x
− i
∂ f
∂ y
)dz +
1

∂ f
∂ y
) (1.2.7)
thì
d f =
∂ f
∂ z
dz +
∂ f
∂ ¯z
d ¯z (1.2.8)
Bởi vì
∂ f
∂ ¯z
=
1
2
(
∂ f
∂ x
+ i
∂ f
∂ y
) =
1
2
[(
∂ u
∂ x
−

∂ x
(z) − i
∂ u
∂ y
(z) +
∂ v
∂ y
(z)]
=
1
2
[2
∂ u
∂ x
(z) + 2i
∂ v
∂ x
(z)] =
∂ u
∂ y
(z) + i
∂ v
∂ y
(z) = f

(z).
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.2.3 Định nghĩa. Hàm f xác định trong miền Ω ∈ C với giá trị trong C
gọi là hàm chỉnh hình tại z

∂ f
∂ x
=
∂ f
∂ y
= 0. Vậy f = const.
1.2.5 Định lý. (Công thức tích phân Cauchy)
Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và z
0
∈ Ω. Khi đó với mọi chu
tuyến γ ⊂ Ω
γ
⊂ Ω ta có công thức tích phân Cauchy
f (z
0
) =
1
2πi

γ
f (η)
η −z
0
dη
Nếu thêm f liên tục trên
¯
Ω và ∂Ω là một chu tuyến, thì với mọi z ∈ Ω ta có
f (z) =
1
2πi

γ,ρ
là miền 2- liên, ta có

γ∪C
−
ρ
f (η)
η −z
0
dη = 0.
Từ đó ta có công thức

γ
f (η)
η −z
0
dη =

C
ρ
f (η)
η −z
0
dη.
Thực hiện phép biến đổi η = z
0
+ ρe
iϕ
,dη = iρe
iϕ

= i

2π
0
[ f (z
0
+ ρe
iϕ
) − f (z
0
)]dϕ +2πi f (z
0
).
Chú ý rằng khi ρ → 0 thì do tính liên tục của f ta có
lim
ρ→0
i

2π
0
[ f (z
0
+ ρe
iϕ
) − f (z
0
)]dϕ = 0
vì thế
lim
ρ→0


∂ Ω
f (η)
η −z
dη.
1.2.6 Định lý. (Bất đẳng thức Cauchy)
Nếu f là hàm chỉnh hình trên Ω, điểm a ∈ Ω,0 < r < d(a,∂ Ω) và
M(a,r) = sup
|z−a|=r
| f (z)|.
Khi đó ta có bất đẳng thức sau
| f
(n)
(a)| ≤
n!M(a,r)
r
n
(1.2.9)
Chứng minh. Ta có
f
(n)
(z) =
n!
2πi

γ
f (η)
(η −z)
n+1
dη,n = 0,1,2,

M
R
,∀R > 0
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ở đây
M = sup
z∈C
| f (z)| < ∞
Cho R → ∞, ta có f

(z) = 0. Vì vậy f = const
1.2.8 Định lý. (Định lý về giá trị trung bình)
Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và hình tròn
¯
D(z
0
,r) ⊂ Ω, thì
f (z
0
) =
1
2π

2π
0
f (z
0
+ re
iϕ

0
f (z
0
+ re
iϕ
)dϕ.
1.2.9 Định lý. (Weierstrass)
Giả sử
{
f
n
}
hội tụ đều trên mọi tập compact trong Ω tới hàm f , thì hàm f
chỉnh hình trên Ω.
Chứng minh. Cho z
0
∈ Ω. Chọn r > 0 đủ bé để
¯
D(z
0
,r) ⊂ Ω.
Theo công thức tích phân Cauchy với mọi z ∈ D(z
0
,r) ta có :
f
n
(z) =
1
2πi


,r).
Vì vậy f chỉnh hình trên D(z
0
,r).
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.2.10 Định lý. Giả sử các hàm f
n
liên tục trên miền Ω và chuỗi hàm
∑
∞
n=1
f
n
hội tụ đều trên Ω tới hàm f . Khi đó với mọi đường cong trơn (hay
trơn từng khúc) γ ⊂ Ω ta có

γ
f dz =

γ
(
∞
∑
n=1
f
n
)dz =
∞
∑

. Cụ thể là
f (z) =
∞
∑
n=0
C
n
(z −z
0
)
n
với |z − z
0
| < R
ở đây các hệ số C
n
được xác định một cách duy nhất theo công thức
C
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
=
1
2πi


là đường tròn |z −z
0
| = r.
Ta viết
1
η −z
=
1
(η −z
0
) −(z −z
0
)
=
1
(η −z
0
)(1 −
z −z
0
η −z
0
)
vì thế nếu η ∈ γ
r
thì |
z −z
0
η −z
0

và chuỗi này hội tụ đều trên γ
r
. Theo định lý 1.2.8 ta có
1
2πi

γ
r
f (η)
(η −z)
dη =
1
2πi

γ
r
f (η)[
∞
∑
k=0
(z −z
0
)
k
(η −z
0
)
k+1
]dη
=

)
k+1
dη =
f
(k)
(z
0
)
k !
,k = 0,1,2,
không phụ thuộc vào r,0 < rR. Vậy ta có
f (z) =
1
2πi

γ
r
f (η)
η −z
dη =
∞
∑
n=0
C
n
(z −z
0
)
n
.

0
| < R < +∞
thì f (z) biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của chuỗi Laurent
f (z) =
+∞
∑
n=−∞
C
n
(z − z
0
)
n
các hệ số của chuỗi này được xác định bởi công thức
C
n
=
1
2πi

γ
ρ
f (η)
(η −z
0
)
n+1
dη,n = 0,±1,
trong đó γ
ρ

+
R

f (η)
(η −z)
dη
với mọi z : r

< |z −z
0
| < R

.
Đặt
f
+
(z) =
1
2πi

γ
R

f (η)
η −z
dη,|z −z
0
| < R

.

(z −z
0
)
n
(η −z
0
)
n+1
]dη
=
∞
∑
n=0
C
n
(z −z
0
)
n
với |z −z
0
| < R

.
trong đó
C
n
=
1
2πi

Đặt
f
−
(z) =
1
2πi

γ
r

f (η)
η −z
dη,|z −z
0
| > r

ta có
f
−
(z) =
1
2πi

γ
r

f (η)
(z −z
0
)

∑
n=0
(
1
2πi

γ
r

f (η)(η −z
0
)dη(z − z
0
)
−n−1
)
=
0
∑
n=−∞
C
n
(z −z
0
)
n
.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
trong đó

hội tụ đến f
−
(z) trong |z − z
0
| > r.
Vậy trong vành khăn r < |z − z
0
| < R, f (z) khai triển thành chuỗi Lau-
rent như trong định lý.
1.3.6 Định nghĩa. (Điểm bất thường của hàm chỉnh hình)
Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω. Điểm z
0
∈ C gọi là điểm bất
thường của f nếu tồn tại r > 0 sao cho vành khăn 0 < |z −z
0
| < r bao hàm
trong Ω và f chỉnh hình trên hình vành khăn đó không thể mở rộng chỉnh
hình tới z
0
, tức là không tồn tại hàm chỉnh hình g trên hình tròn |z −z
0
| < r
sao cho
g(z) = f (z) với 0 < |z − z
0
| < r.
Giả sử f chỉnh hình trên hình vành khăn 0 < |z − z
0
| < r. Chỉ có thể sảy ra
một trong ba khả năng sau:

n=−∞
C
n
(z −z
0
)
n
(1.3.1)
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
trong đó
C
n
=
1
2πi

γ
ρ
f (η)
(η −z
0
)
n+1
dη,n = 0,±1,
với ρ tùy ý, 0 < ρ < r.
1.3.7 Định lý. Nếu tồn tại lim
z→z
0
f (z) = a ∈ C, tức z

|C
n
| ≤
M2πρ
2πρ
n+1
=
M
ρ
n
với mọi 0 < ρ < r

,n = 0,±1,
Vì thế hàm
f
+
(z) =
∞
∑
n=0
C
n
(z − z
0
)
n
,|z −z
0
| < r
là một mở rộng chỉnh hình củaf (z) tới z

.
2. Điểm z
0
là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nêu tồn tại vô số k > 0
để C
−k
= 0.
Chứng minh. Rõ ràng chỉ cần chứng minh (1.). Giả sử tồn tại m > 0 để
C
−m
= 0 còn C
k
= 0 với k < −m. Khi đó ta có khai triển
f (z) =
∞
∑
k=−m
C
k
(z − z
0
)
k
hay
f (z)(z −z
0
)
m
=
∞

= 0
và
lim
z→z
0
(z − z
0
)
m
= 0
nên
lim
z→z
0
f (z) = ∞.
Nghĩa là z
0
là cực điểm của f .
Ngược lại giả sử z
0
là cực điểm của hàm f (z), tức là lim
z→z
0
f (z) = ∞.
Chọn r

,0 < r

< r sao cho f (z) = 0 với 0 ≤ |z − z
0

∑
k=m
C

k
(z −z
0
)
k
,|z −z
0
| < r

20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
trong đó m ≥ 1 và C

m
= 0. Ta có thể viết
f (z) =
1
∑
∞
k=m
C

k
(z −z
0
)


< r

sao cho ψ(z) = 0 với |z −z
0
| < r

. Trong hình tròn này
1
ψ(z)
chỉnh hình, vì vậy ta có thể viết
1
ψ(z)
= C
−m
+
∞
∑
k=1
C
−m+k
(z −z
0
)
k
,|z −z
0
| < r

trong đó

)
k
,0 < |z −z
0
| < r trong đó m ≥ 0,C
−m
= 0.
1.3.9 Nhận xét. 1. Như đối với đa thức điểm z
0
được gọi là không điểm
bậc m của hàm chỉnh hình f nếu
f (z
0
) = = f
(m−1)
(z
0
) = 0
nhưng
f
(m)
= 0
Như vậy z
0
là không điểm bậc m của f (z) nếu và chỉ nếu khai triển (1.3.1)
có dạng
f (z) =
∞
∑
k=m

0
.
(ii). z
0
là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu m = −∞.
3. z
0
là cực điểm bậc m của f (z) nếu và chỉ nếu nó là không điểm cấp m
của hàm
1
f (z)
.
4. Điểm ∞ được gọi là điểm bất thường của hàm chỉnh hình f (z) trên
|z| > R nếu 0 là điểm bất thường của hàm g(z) = f (
1
z
). Như vậy, tồn tại
R > 0 sao cho f chỉnh hình trên vành khăn |z| > R và không chỉnh hình tại
∞. Khai triển Laurent của hàm f (
1
z
) trong vành khăn 0 < |z| <
1
R
đưa tới
khai triển mà ta cũng gọi là khai tr iển Laurent của hàm f (z) tại ∞, trong
vành khăn |z| > R
f (z) =
∞
∑

z→∞
f (z) ∈ C
thì z = ∞ là điểm thường của hàm f tức là f có thể mở rộng chỉnh hình tới
∞.
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Nếu tồn tại
lim
z→∞
f (z) = ∞
thì tồn tại m > 0 để C
n
= 0 với mọi n > m và C
m
= 0. Lúc đó z = ∞ được
gọi là cực điểm cấp m của f (z).
Cuối cùng nếu không tồn tại lim
z→∞
f (z) (trong
¯
C) thì có vô số m > 0 để
C
m
= 0, lúc đó ∞ sẽ được gọi là điểm bất thường cốt yếu của f (z).
Như vậy z = ∞ là cực điểm của mọi đa thức khác const. Bậc của nó chính
là bậc của đa thức.
1.4. Không gian Bergman
1.4.1 Định nghĩa. 1. Cho D =
{
z ∈ C : |z| < 1


1
0
r
|
a(r)
|
2
dr < ∞

và R
k
= e
ikθ
R,k ∈ Z, với mỗi R
k
là không gian con của L
2
(D,dA)
Từ đó với u ∈ R
k
thì u(re
iθ
) = e
ikθ
a(r) và

D
|
u(z)

2
(D,dA).
Chứng minh. Lấy
{
f
n
}
∈ L
2
a
(D,dA) thỏa mãn f
n
→ f trong L
2
(D,dA). Ta
chứng minh f chỉnh hình trên D.
Lấy z
0
∈ D và hình tròn D(z
0
,r) ∈ D.
Với m > n ≥ 1, theo định lý giá trị trung bình ta có :
| f
m
(z) − f
n
(z)|
2
≤
4

| <
r
2
.
⇒
{
f
n
}
là dãy Cauchy trong D(z
0
,r).
Theo định lý Weierstrass f chỉnh hình trên D(z
0
,r), do z
0
tùy ý nên f
chỉnh hình trên D.
1.4.3 Định nghĩa. Giả sử P là toán tử chiếu trực giao từ L
2
(D,dA) lên
L
2
a
(D,dA). Cho ϕ ∈ L
∞
(D,dA), toán tử Toeplitz với symbol ϕ là toán tử
T
ϕ
: L

) x → 0
o(x
β
) x → ∞
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn