Cácchuyênđề,bàiviếtdướiđâydo laisacsưutầmtrênInternetrồibiên soạn,cắtxén vàdánthànhhai
filetổnghợpvớimụcđíchphụgiúp(thờigiantìmkiếm)chocácemởđộituyểntrườngTHPTchuyên
L.V.C.Vìkhôngliênhệđược trựctiếpvớicáctácgiảđểxinphép,mongthôngcảm!
1.ĐịnhLý Ceva
ChotamgiácABC.D,E,FlầnlượtnằmtrêncáccạnhBC,AC,AB.Chứngminhrằngcácmệnhđề
saulàtươngđương:
1.1 AD,BE,CFđồngquytại mộtđiểm.
1.2
·
·
·
·
·
·
sin sin sin
. . 1
sin sin sin
ABE BCF CAD
DAB EBC FCA
= .
1.3 . . 1
AE CD BF
EC DB FA
= .
Chứngminh:
Chúngtasẽchứngminhrằng1.1dẫnđến1.2,1.2dẫn
đến1.3,và1.3dẫnđến1.1.
Giảsử1.1đúng.GọiPlàgiaođiểmcủaAD,BE,CF.
TheođịnhlýhàmsốsintrongtamgiácAPD,ta
có:
·

Giảsử1.2đúng.TheođịnhlýhàmsốsintrongtamgiácABDvàtamgiácACDta
có:
·
·
·
·
sin sin
; .
sin sin
ADB AB CAD CD
DB CA
BAD ACD
= = Dođó:
·
·
sin
. .
sin
CAD AB CD
CA DB
BAD
=
·
·
( )
0
180BDA ADC + = (4)
Tươngtự,tacũngcó:
·
·

Đ
Đ
Ề
Ề
,
,
B
B
À
À
I
I
V
V
I
I
Ế
Ế
T
T
V
V
Ề
Ề
H
H
Ì
Ì
N
N

V
V
Ậ
Ậ
N
N
D
D
Ụ
Ụ
N
N
G
G
T
T
Í
Í
N
N
H
H
C
C
H
H
Ấ
Ấ
T
T

)
)
·
·
sin
. .
sin
ABE BC AE
AB EC
EBC
= (6)
Nhântừngvếcủa(4),(5), (6)tađược1.3.
Giảsử1.3đúng,tagọi
1
, .P CF BE D AP BC = = I I
Theo1.1và1.2,tacó:
1
1
. . . . 1
CD
AE BF AE CD BF
EC D B FA EC DB FA
= = hay:
1
1
.
CD
CD
D B DB
= Dođó:

làgiaođiểmcủaAA
1
vàBC.B
2
vàC
2
đượcxác
địnhtươngtự.
Theođịnhlýhàmsố sin,ta có:
·
·
1 1
1
1
sin
sin
SA SAA
AA
A SA
= hay
·
µ
( )
1 2
0
1
sin
sin 45
SA BAA
AA

CAA
+
= .Dođó, tađược:
·
·
µ
( )
µ
( )
0
2 1 1
0
1 1
2
sin 45
sin
. . 1.
sin
sin 45
C
BAA AA SA
TA AA
CAA
B
+
= =
+
(1)
Chứngminhhoàntoàntươngtự, ta cũngđược:
·

0
2
sin 45
sin
. 1.
sin
sin 45
A
ABB
CBB
C
+
=
+
(3)
Nhântừngvếcủa(1), (2), (3) kếthợpđịnhlýCevatađượcđiềucầnchứngminh.
Bàitập ápdụng:
1. QuacácđiểmAvàDnằmtrênđườngtròn kẻcácđườngtiếptuyến,chúngcắtnhautại
điểmS.TrêncungADlấy cácđiểmA vàC. CácđườngthẳngACvàBDcắtnhautạiđiểmP, các
đườngthẳngABvàCDcắtnhautạiđiểmO.ChứngminhrằngđườngthẳngPQchứađiểmO.
2. Trên cáccạnhcủatamgiácABCvềphía ngoàitadựngcáchinhvuông.A
1
,B
1
,C
1
, là
trungđiểm cáccạnh của các hìnhvuôngnằmđốinhauvới cáccạnhBC,CA,ABtươngứng.
ChứngminhrằngcácđườngthẳngAA
1

AH BF CG
HB FC GA
= -
Chứngminh:
Ø Phầnthuận:
Sửdụngđịnhlýsintrongcáctam giácAGH,BFH,CGF, tađược:
·
·
·
·
·
·
sin sin sin
; ;
sin sin sin
AH AGH BF BHF CG GFC
GA HB FC
AHG HFB CGF
= = = .
(vớilưuý rằng
·
·
·
·
·
·
sin sin ;sin sin ;sin sin .AGH CGF AHG BHF HFB GFC = = = )
Nhântừngvếtađượcđiềuphảichứngminh.
Ø Phầnđảo: Gọi ' .F GH BC = I Hoàntoàntươngtựta cóđược:
( )

. . 1
ZQ XP YR
QX PY RZ
= -
.TheođịnhlýMenelausta
đượcP, Q, Rthẳnghàng.
Bàitập ápdụng:
1. ĐiểmPnằmtrênđườngtrònngoạitiếpcủatamgiácABC,A
1
,B
1
,C
1
lầnlượtlàchân
đườngvuônggóchạtừ PxuốngBC,CA,AB.ChứngminhrằngA
1
,B
1
,C
1
thẳnghàng.
2. TrongtamgiácvuôngABCkẻ đườngcaoCKtừđỉnh của gócvuôngC,còntrongtam
giácACKkẻđườngphângiácCE.D làtrungđiểm củađoạnAC,F làgiaođiểmcủacácđường
thẳngDEvàCK.ChứngminhBF//CE.
3. CácđườngthẳngAA
1
,BB
1
,CC
1

DIỆNTÍCHTAMGIÁCTHỦYTÚC
IvanBorsenco
Translator:DuyCuong.
TrongToánhọc,HìnhHọcluôngiảiquyếtcácbàitoánvớinhữngkếtquảchínhxácvàhấpdẫn.Bài
viếtsauđâytrìnhbàyvềmột trongnhữngkếtquảtuyệtđẹptrongbàitoánhìnhhọc–ĐịnhlýEulercho
tamgiácthùytúcvàứngdụngcủanó.Chúngtahãybắtđầuvớiphépchứngminhđịnhlý,sauđócùng
nhauthảoluậncácBàitoánOlympiad.
Địnhlý1.ChoC(O,R)làđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.XétmộtđiểmMtuỳýnằmtrong
tamgiác.KýhiệuA
1
,B
1
, C
1
làhìnhchiếucủaMlêncácmặtcủatamgiácthì
1 1 1
2 2
2
.
4
A B C
ABC
R OM
S
S R
-
=
Chứngminh. ĐầutiêntađểýrằngAB
1
MC

B C AM AC BM A B CM
BC R AC R BC R
= = =
GiảsửAM, BM, CMcắtđườngtròn C(O,R) tại X, Y,Z.
Tacó:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.A B C A B M MB C ACM MAC ZYB BYX ZYX Ð = Ð + Ð = Ð + Ð = Ð + Ð = Ð Tương tự,
1 1 1
B C A YZX Ð = Ð và
1 1 1
.B AC YXZ Ð = Ð Dođó,
1 1 1
A B C D đồngdạngvới
XYZ D
và
1 1 11 1
.
A B C
R
A B
XY R
=
Mặtkhác,
MAB D
đồngdạngvới
MYX D
nêntacó .
XY MX
AB MB
=

u v w
+ +
+ + = + + +
+ +
CáchchứngminhcóthểtìmthấykhiápdụngĐịnhlýStewartmộtsốlần.Địnhlýnàycómộthệquả
rấthaykhi P trùngvớitâm OđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.Khiđó,tađược:
2 2 2
2 2
2
.
( )
vwa uwb uvc
R OM
u v w
+ +
- =
+ +
TừhệquảnàykếthợpđịnhlýEulerchotamgiácthùytúc,tađượcđịnhlýsau:
Địnhlý3:ChoMlàđiểmnằmtrongmặtphẳngtamgiácABC,vớibộsố(u,v,w).KýhiệuA
1
,B
1
,C
1
làhìnhchiếucủaMlêncáccạnhtamgiác.Tađược:
1 1 1
2 2 2
2 2
.
4 ( )

1 2
w w = .
Đểýrằng
1
2
1 1 1
2
. sin sin
. sin sin
B C
ABC
S
B BC w w
S AB BC
b b

W
W
= = vàtươngtự,
1 1
2 2
1 1
2 2
sin sin
, .
sin sin
C A A B
ABC ABC
S S
w w

(1)
Cáchtínhtươngtự,tacũngđược
2 2 2 2
2
1 1 1 1
sin sin sin sinw
a b g

= + +
(2)
Từ(1),(2)suyra
1 2
.w w w = =
Ýtưởngchocáchchứngminhtrênbắt nguồntừĐịnhlýEulerchotamgiácthùytúc.Đểýrằng
1
W và
2
W luônnằmtrongtamgiácABC,bởivìmỗinửađườngtrònnhưtrênđềuthuộcmp(ABC).Từ
đó,
1
W và
2
W luônnằmtrongtamgiác.Đểchứngminh
1 2
O O W = W tachứngminhdiệntíchtamgiác
thùytúccủachúngbằngnhau.Nếuvậy,tacó
2 2 2 2
1 2
R O R O - W = - W .Từđósuyrađpcm.
Kýhiệu

Từ
1 2
w w w = = , ta kết luận được tam giác thùytúc chứa
1
W và
2
W có cùng diện tích. Suy ra
1 2
O O W = W .
Chúý:Giaocủacácđườngđốitrungtrongtamgiáckýhiệulà KvàđượcgọilàđiểmLemoine.Ta
có thểchứng minh được
1 2
K K W = W . Hơn thế nữa, các điểmO,
1
W , K,
2
W nằm trên đường tròn
đườngkínhOKgọilàđườngtrònBrocard.ChúngtahãycùngnhautìmhiểumộtBàitoánthúvịkhác
sauđây:
Bàitoán2:ChotamgiácABC,kýhiệuO,I,Hlầnlượtlàtâmđườngtrònngoạitiếp,nộitiếpvà
trựctâmcủatamgiácABC.Chứngminhrằng:
.OI OH £
Hướngdẫn:NhiềucáchchứngminhsẽbắtđầutừOIhay OH,nhưngchúngtahãychọnmộthướng
khác,đólàđặtdiệntíchnộitiếpvàoIvàH.Mộtcáchđơngiản,tâmđườngtrònnộitiếpluônnằmbên
trongtamgiácA BC,vànếu OH R ³ ,tađượcđiềucầnchứngminh.Vìvậy,giảsử OH R < .Điềuđó
dẫnđếntamgiácABClàtamgiácnhọn.Đểchứngminh OI OH £ tacóthểsửdụngđịnhlýEulercho
tamgiácthùytúcvàchứngminhdiệntíchtamgiácthùytúctâmI,
I
S lớnhơndiệntíchtamgiácthùy
túc tâmH,

.cos cos cos
2 cos cos cos .
2
A B C
abc
S S
R

a b g
a b g
= =
Đểtínhdiệntíchtamgiác
2 2 2
A B C ,đểýrằng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
1 ( )
(sin sin sin )
2 4
A B C A IB A IC B IC
r a b c
S S S S r
R

a b g

+ +
= + + = + + =
.

æ ö
® =
ç ÷
è ø
Từđó:
( ) ( ) ( ).
2 2 2
a b b c c a
f f f f a f b f c
+ + +
æ ö æ ö æ ö
+ + ³ + +
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Vìvậy,
( )
ln sin sin sin ln cos cos cos
2 2 2

a b g
a b g

æ ö
³
ç ÷
è ø
,vàbàitoánđãđượcgiảiquyết.
HaivídụkếtiếpđểhướngdẫngiảimộtcáchngắngọnmộtsốbàitoánOlympiadbằngcáchsửdụng
ĐịnhLýEulervềtamgiácthùytúc.
Bàitoán3: (OlympiadToánBalkan).

VìtamgiácABCnhọnnêntacócos cos cos 0
a b g
³ ,dẫnđến8cos cos cos 0
a b g
³ .
Vìvậy,
2 2
9OG R £ hay
2
2
.
9
R
OG £
Đưađếnkếtluậnsau:
Bàitoán4.(Toánđốixứng,IvanBorsenco)Vớiđiểm M bấtkìnằmtrongtamgiácABC,xác
địnhbộba(
1 2 3
, ,d d d )lầnlượtlàkhoảngcáchtừ M đếncạnh , ,BC AC AB .Chứngminhrằngtậphợp
cácđiểm M thỏamãnđiềukiện
3
1 2 3
. .d d d r ³ ,với r làbánkínhđườngtrònnộitiếptamgiác,nằm
trongvòngtròntâm
O
bánkính
OI
.
Lờigiải.
Gọi

R d d d
æ ö
= = + +
ç ÷
è ø
V
Màtađãbiết:
1 2 3
2 2 . . . .
ABC
S S a d b d c d = = + +
V
ÁpdụngBĐTCauchySchwarztađược:
( )
( )
2
1 2 3
1 2 3
1 1 2 3
1 2 3
. . .
. .
4 . . . . .
2 2
d d d a b c
d d d
a b c
S S a d b d c d
R d d d R
+ +

ABC
vàcótọađộlà
( )
; ;x y z .Gọi
M
R làbánkínhđườngtròn
nộitiếptamgiácthùytúccủađiểm M.Chứngminhrằng:
( )
2 2 2
. 6 3. .
M
a b c
x y z R
x y z
æ ö
+ + + + ³
ç ÷
è ø
Lờigiải.
Kíhiệu
N
làđẳnggiáccủađiểm M.Chúngtacần2bổđềsau:
Bổđề1:Nếu
1 1 1
A BC và
2 2 2
A B C là2tam
giácthùytúccủa2đẳnggiácđiểm M và
N
thì

AC B B C B B AN
f
= - = - = -
Dođó
¼
¼
1 1 2 2
AB C AC B = nên
1 2 2 1
B B C C làmộttứgiácnộitiếp.Cứthếtathuđượcrằng
1 2 2 1
A A B B và
1 2 2 1
A A C C cũnglàtứgiácnộitiếp.Xét3đườngtrònngoạitiếptứgiáccủachúngta,nếuchúngkhông
trùngnhauthìchúngcómộttâmđẳngphương,đólàđiểmgiaonhaucủa3trụcđẳngphương.Tuynhiên,
chúngtacóthểthấyrằngnhữngtrụcđẳngphươngnày,tứccácđườngthẳng
1 2 1 2 1 2
, ,A A B B C C ,tạothành
mộttamgiác,đặttênlà
ABC
,mộtđiềutráingược.Điềunàychứngtỏ,cácđiểm
1 2 1 2 1, 2
, , , ,A A B B C C
nằmtrêncùng1đườngtròn.
Bổđề2: Nếu ,M N làhaiđẳnggiácđiểm,thìtaluôncó:
. . .
1.
A M AN BM BN CM CN
bc ac ab
+ + =

b
= và
1 1
1
. . .sin
2
CA NB
S CM CN
g
=
Từtrên,tasuyra:
1 1 1 1 1 1
ABC AB NC BC NA CA NB
S S S S = + +
Hay:
1
.( . .sin . .sin . .sin )
2
ABC
S AM AN BM BN CM CN
a b g
= + +
SửdụngĐịnhlíhàmSin,tađượcđiềucầnchứngminh:
. . .
1.
A M AN BM BN CM CN
bc ac ab
+ + =
QuaytrởlạiBàitoán.ÁpdụngBĐTAMGMvàobổđề2,tađược:
3

Vì
4
2 2 2 2 2 2
2
4
.sin .sin .sin
S
a b c
R

a b g
= ,nên:
4
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
2
1 4
. . . . . .
27
S
A B B C AC A B B C A C
R
³
Sửdụngbổđề1vàĐịnhlíEulerchodiệntíchcủamộttamgiácthùytúc,tacó:
2 2
1 1 1 1 1 1
2
. . 4 . .
4
M
R OM

2 2
2 2
a b c
xyz
x y z
yza xzb xyc
R OM
x y z x y z
æ ö
+ +
ç ÷
+ +
è ø
- = =
+ + + +
Đẳnggiácđiểmcủa M,
N
có
2 2 2
a b c
x y z
æ ö
+ +
ç ÷
è ø
làtọađộkhônggian,vậy:
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2

R a b c
a b c
R S x y z
x y z
³
æ ö
+ + + +
ç ÷
è ø
Cuốicùng,tathuđược:
( )
2 2 2
. 6 3. .
M
a b c
x y z R
x y z
æ ö
+ + + + ³
ç ÷
è ø
ĐỊNHLÍPTOLEMY
DựatheobàicủaZaizai
Trêndiễndàntoànhọc
1.Mởđầu.
Hìnhhọclàmộttrongnhữnglĩnhvựctoánhọcmanglạichongườiyêutoánnhiềuđiềuthúvịnhất
vàkhókhănnhất.Nóđòihỏitaphảicónhữngsuynghĩsángtạovàtinhtế.Tronglĩnhvựcnàycũng
xuấthiệnkhôngítnhữngđịnhlí,phươngphápnhằmnângcaotínhhiệuquảtrongquátrìnhgiảiquyết
cácbàitoán,giúptachinhphụcnhữngđỉnhnúingồghềvàhiểmtrở.Trongbàiviếtnàyzaizaixingiới
thiệuđếncácbạnmộtvàiđiềucơbảnnhấtvềđịnhlíPtolemytrongviệcchứngminhcácđặctínhcủa

BA BM
BD BC
= và
·
·
ABM DBC =
Nên ( . ).ABM DBC g g D D : Suyra
A B BD
A M CD
= hay
. .A B CD AM BD =
(2).
Từ(1)và(2)suyra
. . . . . .AD BC AB CD BD MC AM BD AC BD + = + =
VậyđẳngthứcPtolemyđượcchứngminh.
2.2.BấtđẳngthứcPtolemy.
ĐâycóthểcoilàđịnhlíPtolemymởrộngbởivìnókhônggiớihạntronglớptứgiácnộitiếp.
Địnhlí:Chotứgiác
A BCD
.Khiđó
. . . .A C BD AB CD AD BC £ +
Chứngminh.
Trong
·
ABC
lấyđiểmMsaocho:
·
·
,ABD MBC =
·

. . ( )AD BC AD DC BD A M CM DBD AC + = + ³ >
VậyđịnhlíPtolemymởrộngđãđượcchứngminh.
3,ỨngdụngcủađịnhlíPtolemy.
Mởđầuchophầnnàychúngtasẽđếnvới1vídụđiểnhìnhvàcơbảnvềviệcứngdụngđịnhlí
Ptolemy.
Bàitoán1. [ĐềthivàotrườngTHPTchuyênLêQuíĐôn,thịxãĐôngHà,tỉnhQuảngTrị,nămhọc
20052006]Chotamgiácđều
ABC
cócáccạnhbằng
( )
0 .a a > Trên
AC
lấyđiểmQ diđộng,trêntiađối
củatia
CB
lấyđiểm P diđộngsaocho
2
. .AQ BP a = GọiMlàgiaođiểmcủa BQ và AP .Chứng
minhrằng
.AM MC BM + =
Chứngminh.
Từgiảthiết
2
.AQ BP a = suyra
.
A Q AB
A B BP
=
Xét ABQ D và B PA D có:
( )

nộitiếpvàgiảthiết
.AB BC CA = =
Tacó
. . .A B MC BC AM BM AC AM MC BM + = Þ + =
(đpcm).
Đâylà1bàitoánkhádễvàtấtnhiêncáchgiảinàykhôngđượcđơngiảnlắm.Vìnếumuốnsửdụng
đẳngthứcPtolemytrong1kìthithìcólẽphảichứngminhnódướidạngbổđề.Nhưngđiềuchúýởđây
làtachẳngcầnphảisuynghĩnhiềukhidùngcáchtrêntrongkhiđónếudùngcáchkhácthìlờigiảicó
khilạikhôngmangvẻtườngminh.
Bài toán 2. [Đề thi chọn đội tuyển Hồng Kông tham dự IMO 2000] Tam giác
ABC
vuông
có
B C CA AB > >
.Gọi D làmộtđiểmtrêncạnh ,BC E làmộtđiểmtrêncạnh AB kéodàivềphíađiểm
A saocho
.BD BE CA = =
.Gọi P làmộtđiểmtrêncạnh
AC
saocho , , ,E B D P nằmtrênmộtđườngtròn.
Q làgiaođiểmthứhaicủa BP vớiđườngtrònngoạitiếp
A BC D
.Chứngminhrằng: AQ CQ BP + =
Chứngminh.
Xétcáctứgiácnộitiếp ABCQ và BEPD tacó:
· · ·
CAQ CBQ DEP = =
(cùngchắncáccungtròn)
Mặtkhác
·

Từ(1),(2),(3)suyra . . .AQ ED QC ED ED BP AQ QC BP + = Þ + = (đpcm).
Cóthểthấyrằngbài1làtưtưởngđơngiảnđểtaxâydựngcáchgiảicủabài2.Tứclàdựavàocác
đạilượngtrongtamgiácbằngnhautheogiảthiếttasửdụngtamgiácđồngdạngđểsuyracáctỉsốliên
quanvàsửdụngphépthếđểsuyrađiềuphảichứngminh.Cáchlàmnàytỏrakhálàhiệuquảvàminh
họarõràngqua2vídụmàzaizaiđãnêuởtrên.Đểlàmrõhơnphươngphápchúngtasẽcùngnhauđến
vớiviệcchứngminh1địnhlíbằngchínhPtolemy.
Bàitoán3.(ĐịnhlíCarnot)Chotamgiácnhọn
ABC
nộitiếptrongđườngtròn( , )O R vàngoại
tiếpđườngtròn ( , ).I r Gọi , ,x y z lầnlượtlàkhoảngcáchtừ
O
tớicáccạnhtamgiác.Chứngminhrằng:
x y z R r + + = +
Chứngminh.
Gọi , ,M N P lầnlượtlàtrungđiểmcủa , , .BC CA AB Giảsử
,x OM = ,y ON = ,z OP = ,BC a = ,CA b =
.AB c =
Tứgiác
OMBP
nộitiếp,theođẳngthứcPtolemytacó:
. . .OB PM OP MB OM PB = +
Dođó: . . . (1)
2 2 2
b a c
R z x = +
Tươngtựtacũngcó:
. . . (2)
2 2 2
. . . (3)
2 2 2

ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Þ + = + +
Đâylàmộtđịnhlíkháquenthuộcvàcáchchứngminhkháđơngiản.Ứngdụngcủađịnhlínàynhư
đãnóilàdùngnhiềutrongtínhtoáncácđạilượngtrongtamgiác.Đốivớitrườnghợptamgiácđókhông
nhọnthìcáchphátbiểucủađịnhlícũngcósưthayđổi.
Bàitoán4. [ThiHSGcácvùngcủaMĩ,năm1987]Chomộttứgiácnộitiếpcócáccạnhliêntiếp
bằng , , ,a b c dvàcácđườngchéobằng , .p q Chứngminhrằng
2 2 2 2
( )( ).pq a b c d £ + +
Lờigiải.
ÁpdụngđịnhlíPtolemychotứgiácnộitiếpthì ac bd pq + =
Vậytacầnchứngminh
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )( )p q ac bd a b c d = + £ + +
BấtđẳngthứcnàychínhlàmộtbấtđẳngthứcrấtquenthuộcmàcólẽaicũngbiếtđólàBĐT
CauchySchwarz.Vậybàitoánđượcchứngminh.
Mộtlờigiảiđẹpvàvôcùnggọnnhẹcho1bàitoántưởngchừngnhưlàkhó.Ýtưởngởđâylàđưa
bấtđẳngthứccầnchứngminhvề1dạngđơngiảnhơnvàthuầnđạisốhơn.
ThậtthúvịlàbấtđẳngthứcđólạilàBĐTCauchySchwarz.
Bàitoán5.Chođườngtròn ( )O vàBClàmộtdâycungkhácđườngkínhcủađườngtròn.Tìm điểm
AthuộccunglớnBCsaocho
A B AC +
lớnnhất.
Lờigiải.
GọiDlàđiểmchínhgiữacungnhỏBC.
Đặt
DB DC a = =
khôngđổi.TheođịnhlíPtolemytacó:
. . . ( ) .

làtứgiánộitiếpđườngtrònnhỏ.Cáctia , , ,AB BC CD DA lầnlượtcắtđường
trònlớntại ', ', ', '.A B C D
Chứngminhrằng:Chuvitứgiác
' ' ' 'A B C D
lớnhơn2lầnchuvitứgiác
.ABCD
ĐỊNHLÝPTOLEMYMỞ RỘNG
1. ĐịnhlýPtolemymởrộng.Cho ABC D nộitiếpđườngtròn
( )
.O Đườngtròn
( )
1
O thayđổi
luôntiếpxúcvới
»
BC
(khôngchứa A).Gọi ', ', 'AA BB CC lầnlượtlàcáctiếptuyếntừ , ,A B C đến
đườngtròn
( )
1
,O thìtacóhệhệthứcsau
. ' . ' . '.BC AA CA BB AB CC = +
Chứngminh.
Xét trường hợp
( )
O và
( )
'O tiếp xúc ngoài
với nhau(trường hợptiếp xúctrongchứng minh
tươngtự).

2. Cácbàit oánứngdụng.
A’
C’
B’
Z
Y
X
O
O’
M
B
A
C
Bàitoán2.1.Cho2đườngtròntiếpxúcnhau,ởđườngtrònlớnvẽtamgíacđềunộitiếp.Từcác
đỉnhcủatamgíackẻcáctiếptuyếntớiđườngtrònnhỏ.Chứngminhrằngđộdàimộttrongbatiếptuyến
đóbằngtổnghaitiếptuyếncònlại.
Lờigiải.
Coirằngđườngtrònnhỏ tiếpxúc với
»
BC
(khôngchứa A) vàđặt , ,
a b c
l l l lần lượt làđộ dàicác
đườngtiếptuyếnkẻtừ , ,A B C đếnđườngtrònnhỏ.
TừđịnhlýPtolemymởrộngtacó
.
a b c a b c
al bl cl l l l = + Þ = +
Bàitoán2.2.ChohìnhvuôngABCDnộitiếpđườngtròn
( )

( )
1
O tiếpxúc
1 1
,BB B C vàcungnhỏBC(Khôngchứa
A)và r làbánkínhđườngtrònnộitiếp
1
.BB C D Chứngminhrằng .R r =
Lờigiải.
Giảsửđườngtròn
( )
1
O tiếpxúcvới
1 1
,BB B C lần
lượttại ,M N .
Đặt
( )
1 1
0 .B M x B N x c = = < <
Suyra
2 .cos
.
2 .cos
a
b
c
l AM x c A
l BN c x
l CM b x c A

( ) ( ) ( )
2 .cos 2 .cosx x c A b c x c b x c A + = - + - -
Suyra
( )
( )
2
2 .cos .cos .a b c x bc c A ac A + + = - -
Gọi y làđộdàitiếptiếptừ
1
B tớiđườngtrònnộitiếp
1
.BB C D
Thếthìtacó
( ) ( )
( )
1 1
1 1
2 .cos
2 2
y BB B C BC c b c A a = + - = + - -
Lạicó
( )
( )( )
( )
2
2
2 2 2 2
2 2 2 .cos .cos 2 .cos
2 2 .cos 2 .cos .
R r x y bc c A ac A a b c c b c A a

/ / /
.
3
A O B O C O
a b c
P P P
+ +
+ + ³
Đẳngthứcxảyrakhinào?
3.2. [TH&TTbàiT11/359]Cho .ABC D Đườngtròn
( )
1
O nằmtrongtamgiácvàtiếpxúcvớicác
cạnh , .AB AC Đườngtròn
( )
2
O điqua ,B C vàtiếpxúc ngoàivớiđườngtròn
( )
1
O tại .T Chứng
minhrằngđườngphângiáccủagóc BTC điquatâmđườngtrònnộitiếpcủa .ABC D
MỘTTỈSỐVÀỨ NG DỤNG
DựatheobàicủaSonHongTa
TrênMathematicalreflections2(2008)
Trongbài“ĐịnhlýPtolemymởrộng”tađãthấymộttínhchấtthúvịđốivớihaiđườngtròntiếpxúc
nhau,ởbàinàytatiếptụctìmhiểuthêmvềmộttínhchấtkhácđốivớihaiđườngtròntiếpxúctrongvới
nhauvàsựứngdụngcủatínhchấtnày.
BổĐề. Cho Avà B làhaiđiểmnằmtrênđườngtròn
.
g

A
B
2 2
1 1
1 1 1 1 1 1
.
. .
.
AE AA AT BB BT BF
TA AT AT BT BT TB
æ ö æ ö
= = =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Suyra
1
1 1 1
,
AE BF AE TA TA
TA TB BF TB TB
= Þ = = đâychínhlàđiềuphảichứngminh.
Đểminhhọachobổđềnày,chúngtasẽđếnvớimộtvàivídụ.Bàitoánsauđâyđãđượcđềnghịcủa
NguyễnMinhHà,trongtạpchítoánhọcvàtuổitrẻ(2007).
Bàitoán1.Cho W làđườngtrònngoạitiếpcủatamgiác ABC và D làtiếpđiểmcủađườngtròn
( )
I
r
 nộitiếptamgiác ABC vớicạnh .BC Chứngminh
rằng
0

BE PB
=
A
T
C
B
I
F
D
E
E
P
A
C
D
B
T
F
Chúýrằng ,PEB AFP Ð = Ð vàtừđịnhlýhàmsinđốivớihaitamgiác , ,APF BPE chúngtacó
được
sin sin
.
sin sin
AP AFP BEP BP
AF APF BPE BE
Ð Ð
= = =
Ð Ð
Vìvậy,tađược ,
AF AP

( )
O và AB .Gọigiaođiểmgiữa
( ) ( )
1 2
,O O là , .M N Chứngminhrằng MN điquatrungđiểm
cung AB (khôngchứa ,M N ).
Lờigiải.Gọi Pvà Q lầnlượtlàtiếpđiểm
củađườngtròn
( )
1
O với
( )
O và .AB R và
S lầnlượclàtiếpđiểmcủađườngtròn
( )
2
O
với
( )
O và .AB Cho T là trung điểm của
cung AB (khôngchứa ,M N ).
Áp dụng bổ đề đối với hai đường tròn
( ) ( )
1
,O O vàhaiđiểm ,A B vớihaitiếptuyến
,AQ BQ tớiđườngtròn
( )
1
O ,thìchúngtacó
.

Q
P
T
B
C
Nênbốnđiểm , , ,P Q R S cùngnằmtrênmộtđườngtrònvàgọinólàđườngtròn
( )
3
O .
Chúýrằng PQ làtrụcđẳngphươngcủa
( )
1
O và
( )
3
,O RS làtrụcđẳngphươngcủa
( )
2
O và
( )
3
,O còn MN làtrụcđẳngphươngcủa
( )
1
O và
( )
2
.O Vìvậybađườngthẳng , ,PQ RS MN sẽđồng
quytạitâmđẳngphươngcủabađườngtrònnày.
Vậytasuyrađược MN sẽđiqua .T

w

nên MT là đường phân giác
ngoài của góc .BTC Ð Vì vậy,
bàitoánsẽđượcchứngminhnếu
ta có
.
BP TB
CQ TC
=
Nhưng điều
này đúng theo bổ đề, nên ta có điều phải
chứngminh.
Bàitoán6. Cho
( ) ( )
1 2
,O O làhaiđường
tròntiếpxúctrongvớiđườngtròn
( )
O tại
, .M N Tiếp tuyến chung trong của hai
đườngtrònnàycắt
( )
O ởbốnđiểm.Gọi B
và C làhaitrongbốnđiểmtrênsaocho B
và C nằmcùngphíavới
1 2
.O O Chứngminh
rằng BC song song với một tiếp tuyến
chungngoàicủahaiđườngtròn

làtiếptuyếnchungngoàicủa
( ) ( )
1 2
,O O saocho ,E B nằmcùngphíasovới
1 2
.O O ,P Q làgiaođiểm
của EF với
( )
.O Giờđâytachỉcầnchứngminh BC songsongvới .PQ Gọi Alàtrungđiểmcung
PQ khôngchứa , .M N Vẽhaitiếptuyến ,AX AY đếnđườngtròn
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
, , .O O X O Y O Î Î
Trongbàitoán4tađãchứngminhđượcrằng , ,A E M thẳnghàng; , ,A F N thằnghàng,và MEFN là
tứgiácnộitiếp.Vìvậy,
2 2
. .AX AE AM AF AN AY = = = hay .AX AY =
Theobổđềtacó, .
MA MB MC
AX BG CL
= = MặtkháctheođịnhlýPtolemy,tađược
. . . ,MA BC MB AC MC AB = +
Suyra . . . .AX BC BG AC CL AB = +
Tươngtựtacũngcó . . . .AY BC BH AC CK AB = +
Nên
( ) ( )
. . ,AC BH BG AB CL CK - = - hay . . ,AC GH AB KL = suyra .AC AB = Điềunàycó
nghĩalà Alàtrungđiểmcung BC củađườngtròn
( )

z XY Û =
4. Cho W, X, Y, Z nằm trên (O,r). Đối cực p của WZP XY = Ç là đường thẳng qua điểm
WXQ ZY = Ç và ZR X YW = Ç .
· Chứngminh:lấyS,Tlầnlượt làcựccủas=XY,t=WZ, P s t = Ç .Sửdụngtínhchất(3.),
, wS x y T z = Ç = Ç và p ST = . Với lục giác WXXZYY, ta có:
WX , X ,Q ZY S X YY R XZ YW = Ç = Ç = Ç
XXlàtiếptuyếntạiX.tacóS,Q,Rcùngthuộcmộtđườngthẳng.Tươngtựđốivớilụcgiác
XWWYZZ,tathấyQ,T,Rcùngthuộcmộtđườngthẳng.Từđótasuyrađượcp=ST=QR.
Mộtsốvídụứngdụngcáctínhchấtcựcđốicực:
1.3.1 ChonửađườngtròntâmOđườngkínhUV.P,Qlàhaiđiểmthuộcnửađườngtròn đósaocho
UP<UQ.RlàgiaođiểmcủahaitiếptuyếncủanửađườngtròntạiP,QvàSlàgiaođiểmcủaUPvàVQ.
Chứngminhrằng SR UV ^ .
Hướnggiải
Lấy K PQ UV = Ç .Theotínhchất(4.)tacóđườngđốicựccủaKđíquađiểmS.Haitiếptuyến
củanửađườngtròntạiPvàQcắtnhautạiRnênđốicựccủaRlàPQ.TừđiểmKtrênPQ,ápdụngđịnh
2.39cmO
2 .39cm
2.39c
U V
S
R
P
Q
O
R
lýLaHire,tacóRnằmtrênđườngđốicựccủaK,dođóđốicựccủaKlàđườngRSvàKthuộcđường
thẳngchứađườngkínhUVnêntacó SR UV ^ .
1.3.2 ChotứgiácABCDvàđườngtròn(O,r)nộitiếptứgiác.GọiG,H,K,Llầnlượtlàtiếpđiểm
củaAB,BC,CD,DAvới(O).KéodàiAB,CDcắtnhautạiE,ADvàBCcắtnhautạiF,GKvàHLcắt
nhautạiP.Chứngminhrằng EFOP ^ .

F
KéodàiAEcắtBDtạiP,theotínhchất4tacóđốicựccủaPvớiđườngtròntâmOlàđườngthẳng
quaCvàHvớiHlàgiaođiểmcủaADvàEB.TacóOP CH ^ .LấyQlàgiaođiểmcủaOPvàCH.
Lại có
· ·
·
0
90PQH PDH PE H = = = , nên P, E, Q, H, D cùng thuộc một đường tròn, mà
·
·
·
PQD PED DBO = = ,nênQ,D,P,Ocùngnằmtrênmộtđườngtròn.TừđótasuyraQtrùngG,và
đâylàgiaođiểmcủađườngtrònngoạitiếptamgiácOBDvàđườngtròn đườngkínhOC.
Vì D . D. .P B OG PE PA P PB PG PO = Ç Þ = = nênO,A,E,Gcùngthuộcmộtđườngtròn.
1.3.4 ChotứgiáclồiABCDnộitiếpđườngtròntâmO,ElàgiaođiểmcủaACvàBD.Chọnmột
điểmPthuộc(O)saocho
·
·
·
·
D B C 90
o
PA PC PB PDC + = + =
.ChứngminhrằngO,P,Ethẳnghàng.
Hướnggiải.
Gọi
( ) ( ) ( )
1 2
, ,O O O lầnlượtlàcácđườngtrònngoạitiếpABCD, , DPAC PB D D .
Ta có đốicực của

·
180 2 D
o
A C = -
·
180
o
AOC = -
Nên
·
·
1 180
o
AOC AO C + =
.
Tươngtự,đốicựccủa
2
O với(O)làBD.Theotínhchất3tacó:ElàgiaođiểmcủaACvàDB,nên
đốicựccủaEđốivới(O)là
1 2
O O .Vìthế
1 2
.OE OO ^
1.3.5 ChoIlàtâm đườngtrònnộitiếptamgiácABC.AB,AC,BCtiếpxúc(I)lầnlượttạiM,L,K.
ĐườngthẳngquaBsongsongvớiMKcắtLM,LKlầnlượttạiRvàS.ChứngminhtamgiácRISlàtam
giácnhọn.
Hướnggiải.
O1
O2
E