ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên khoảng
( )
;a b
và
( )
0
;x a b∈
, đạo hàm của hàm số
tại điểm
0
x
là :
( )
( )
( )
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x
→

• Nếu hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị
( )
C
•
( )
0
'f x
là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
y f x=
tại
( )
( )
0 0 0
,M x y C∈
.

tại thời điểm
0
t
là :
( ) ( )
0 0
'I t Q t=
.
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
3.1. Các quy tắc : Cho
( ) ( )
; ; :u u x v v x C= =
là hằng số .
•
( )
' ' 'u v u v± = ±
•
( ) ( )
. ' '. '. . .u v u v v u C u C u
′
′
= + ⇒ =
•
( )
2 2
'. '. .
, 0
u u v v u C C u
v
v u

− −
′ ′
′
= ⇒ = ∈ ≥¥
•
( )
( )
( )
( )
1
, 0 , 0
2 2
u
x x u u
x u
′
′ ′
= > ⇒ = >
•
( ) ( )
sin cos sin . cosx x u u u
′ ′
′
= ⇒ =
•
( ) ( )
cos sin cos .sinx x u u u
′ ′
′
= − ⇒ = −

( )
y f x=
có đạo hàm tại
0
x
vi phân của hàm số
( )
y f x=
tại điểm
0
x
là :

( ) ( )
0 0
.df x f x x
′
= ∆
.
• Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( )
f x
′
thì tích
( )
.f x x
′

 
• Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động
( )
s f t=
tại thời điểm
0
t
là
( ) ( )
0 0
a t f t
′′
=
.
5.2. Đạo hàm cấp cao :
( )
( )
( )
( ) ( )
1
, , 2
n n
f x f x n n
−
′
 
= ∈ ≥
 
 
¥

• Cách 2 : Áp dụng công thức:
( )
( )
( )
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
.
1.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:
a)
( )
3
2 1f x x x= − +
tại
0
2x =
; b)
( )
2 1

− ≥
=

− <

tại
0
2x =
.
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)
3 2
2 1y x x= − +
; b)
( )
2
3 2y f x x x= = − +
.
1.3. Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra :
a)
( )
2
3 1f x x x= − +
tại
0
3x =
; b)
( )
2

Bài 2. Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên
¡
.
a)
( )
2
khi
khi
4 3
1
1
3 5 1
x x
x
f x
x
x x

− +
 >
=

−

− ≤

; b)
( )
2
3

3 2
3 2 1f x x x x= − + +
; b)
( )
3
f x x=
;
c)
( )
1
1
x
f x
x
−
=
+
; d)
( )
1
sin
f x
x
=
;
Bài 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)
( )
3 2
4f x x x= −

có hệ số góc âm ?
.
1.4. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
= − + −
4 3
1
2 2 5
3
y x x x
; b)
= − −
3 2
( 2)(1 )y x x
.
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
+
=
−
2 1
1 3
x
y
x
; b)
− +
=
−

a b
a c b c
x x
a b
a c b c
ax bx c
a x b x c
a x b x c
+ +
′
 
+ +
=
 ÷
 ÷
+ +
 
+ +
; (
1 1 1
, , , , ,a b c a b c
là hằng số) .
b)
( )
2
1 1
2
1 1
2
1 1

−
2
3
( 1)
( 1)
x
y
x
; c)
=
− +
2 2
1
( 2 5)
y
x x
.
Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
= − +
2
2 5 2y x x
; b)
= − +
2
( 2) 3y x x
; c)
( )
= + −
3

2
(sin cos )y x x= +
; b)
tan coty x x= +
;
c)
= + +
3 5
2 1
tan2 tan 2 tan 2
3 5
y x x x
; d)
( )
2 3
tan sin cos 2y x
 
=
 
.
Ví dụ 8. Cho hàm số :
( )
3 2
1
2 5
3
y f x x x mx= = − + +
. Tìm
m
để :

f x x x m x m= − + − + +
. Tìm
m
để :
a)
( )
0 ,f x x
′
< ∀ ∈¡
; b)
( )
0f x
′
=
có hai nghiệm cùng dấu.
•
Bài 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
5 4 3 2
1 2 3
4 5
2 3 2
y x x x x x= + − − + −
; b)
2 4
1 1
0,5
4 3
y x x x= − + −
;

1
1 1y x
x
 
= + −
 ÷
 
;
d)
2 1
1
x
y
x
−
=
−
; e)
3
2 5
y
x
=
−
; f)
2
1
1
x x
y

−
=
+ +
; k)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
.
Bài 8. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
3 2 2
(2 3 6 1)y x x x= − − +
; b)
2 5
1
( 1)
y
x x
=
− +
c)
2 3 2 2
( 1) ( 1)y x x x x= − + + +

y
x
−
 
=
 ÷
+
 
; k)
( )
5
2
1y x x= + +
.
Bài 9. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
sin
sin
x x
y
x x
= +
; b)
3 3
sin cos
sin cos
x x
y
x x
+

−
=
−
;
g)
1
tan
2
x
y
+
=
; h)
tan 3 cot 3y x x= −
;
i)
2
2
1 tan
1 tan
x
y
x
+
=
−
; k)
2
cot 1y x= +
;

x
 
−
 
=
 
 ÷
+
 
 
 
.

66
Bài 10. a) Cho hàm số
( )
x
x
xf
sin1
cos
+
=
. Tính
( ) ( )






π π
   
− =
 ÷  ÷
   
Bài 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
( ) ( )
4 4 6 6
3 sin cos 2 sin cosy x x x x= + − +
;
b)
( ) ( )
4 2 4 2
cos 2cos 3 sin 2sin 3y x x x x= − + −
;
c)
( ) ( )
8 8 6 6 4
3 sin cos 4 cos 2sin 6siny x x x x x= − + − +
;
d)
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
x x
y
x x x
+ −

g)
sin sin 2 sin3 sin 4
cos cos2 cos3 cos4
x x x x
y
x x x x
+ + +
=
+ + +
; h)
2 2 2 2cos , 0 ;
2
y x x
π
 
 
= + + + ∈
 ÷ ÷
 
 
.
Bài 12. Cho hàm số
xxy sin=
chứng minh :
a)
( ) ( )
2 ' sin 2cos 0xy y x x x y− − + − =
;
b)
'

. Chứng minh :
2
' 2 2 0y y+ + =
.
Bài 15. Giải phương trình
' 0y =
biết :
a)
sin 2 2cosy x x= −
; b)
2
cos siny x x= +
;
c)
3sin 2 4cos 2 10y x x x= + +
; d)
( )
1 sin 2 2cos 2y m x x mx= − + −
.
Bài 16. Cho hàm số
( )
3 2
1
2 1 4
3
y x m x mx= − + + −
. Tìm
m
để :
a)

có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;
c)
' 0y =
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện :
2 2
1 2
3x x+ =
.
Bài 18. Cho hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
. Xác định
m
để hàm số có
' 0,y ≤

x∀ ∈
( )
1 ;+∞
.
Bài 19. Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số:

, có phương trình là :
( ) ( )
0 0 0
' .y f x x x y
= − +
( 1 ) .
• Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị
( ) ( )
:C y f x=
có hệ số góc là
k
thì ta gọi
( )
0 0 0
;M x y
là tiếp điểm
( )
0
'f x k⇒ =
(1)
 Giải phương trình (1) tìm
0
x
suy ra
( )
0 0
y f x=

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng :
( )

y f x=
tại
( )
0 0 0
;M x y
:
( ) ( ) ( )
0 0 0
' . 1y f x x x y= − +

 Vì tiếp tuyến đi qua
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 0 1 0 0
; ' . *A x y y f x x x f x⇒ = − +
 Giải phương trình(*) tìm
0
x
thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .
2.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Cho đường cong
( ) ( )
3 2
: 3C y f x x x= = −
. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
trong các trường hợp
sau :
a) Tại điểm
( )

( )
C
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
( )
: 4 21 0d x y− − =
;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
( )
: 2 2 9 0x y∆ + − =
;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :

2 5 0x y− + =
một góc
0
30
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
( )
3 2
3 9 5y x x x C= + − +
. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
( )
C

( )
C
là đồ thị của hàm số
2
6y x x= −
. Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của
( )
C
cắt
trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm .
2.3. Bài tập áp dụng:

68
Bài 21. Cho hàm số
( )
2
: 2 3C y x x= − +
. Viết phương trình tiếp với
( )
C
:
a) Tại điểm có hoành độ
0
2x =
;
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :
4 9 0x y− − =
;
c) Vuông góc với đường thẳng :
2 4 2011 0x y+ − =

c) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục tung ;
d) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
bết tiếp tuyến song song với đường thẳng
( )
: 4 1 0d x y− + =
;
e) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
( )
: 4 8 0x y∆ + − =
.
Bài 23. Cho hàm số :
( )
3 2
3y x x C= −
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại điểm
( )

,
m
là tham số thực .
Tìm các giá trị của
m
để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ
1x = −
đi qua điểm
( )
1 ;2A
.
(Dự bị A
1
- 2008)
Bài 26. Cho hàm số
( )
3 1
1
1
x
y
x
+
=
+
. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ
thị của hàm số (1) tại điểm
( )
2 ; 5M −
.

1
x
y C
x
−
=
−
. Gọi
( )
1 ; 2I
. Tìm điểm
( )
M C∈
sao cho tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
vuông góc với đường thẳng
IM
.
(Dự bị B
2
- 2003)
Bài 30. (*) Cho hàm số
( )
2
1
=
+

( )
∆
của
( )
C
sao cho
( )
∆
và hai đường
( ) ( )
1 2
: 1 ; : 1d x d y= =
cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
(Dự bị D
2
- 2007)

69
Bài 32. Cho hàm số
( )
1
1
y x C
x
= +
+
. Chứng minh rằng qua điểm
( )
1; 1A −
kẻ được hai tiếp tuyến với

y C
x
+ +
=
+
. Gọi
( )
1 ; 0I −
.Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của
( )
C
đi qua điểm
I
.
(Dự bị B
2
- 2005).
Bài 35. (*) Cho hàm số
( )
4 2
2 1y x x C= − + −
. Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ
được ba tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
.
3. Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân

3.1. Phương pháp :
Dựa theo định nghĩa và công thức sau :

+ ∆ ≈ + ∆
3.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm vi phân của các hàm số sau :
a)
2
3 5
1
x x
y
x
− +
=
−
; b)
( ) ( )
2 3
1 2 3y x x x= + −
.
Ví dụ 2. Tìm vi phân của các hàm số sau :
a)
sin
sin
x x
y
x x
= +
; b)
3 2
1
tan cot 3

2
1x
y
x
+
=
; d)
2
1 cos 2
1 cos 2
x
y
x
+
=
−
 
 ÷
 
;
e)
3
cot (2 )
4
y x
π
= +
; f)
sin(cos ) cos(sin )y x x= +
.

 Đạo hàm cấp 2 :
( ) ( )
f x f x
′
′′ ′
=  
 
 Đạo hàm cấp cao :
( )
( )
( )
( ) ( )
1
, , 2
n n
f x f x n n
−
′
 
= ∈ ≥
 
 
¥
.
• Chú ý :
Để tìm công thức tính đạo hàm cấp
n
của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đoán
công thức tính đạo hàm cấp
n

3
3y x x
. Tìm
′′
y
.
Ví dụ 2. Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
a)
3 2
khi1 0 2y y y x x
′′
+ = = −
;
b)
( )
( )
2 2 2
khi2 1 0 .tanx y x y y y x x
′′
− + + = =
.
Ví dụ 3. Chứng minh bằng quy nạp các công thức sau đúng
*
n∀ ∈¥
:
a)
( )
( )
π
 

=
 ÷
+
 
+
1
1 !
1
n
n
n
n
a n
ax b
ax b
.
Ví dụ 4. Tìm các đạo hàm cấp
n
của các hàm số sau :
a)
4 1
2 1
x
y
x
+
=
−
; b)
2

nạp (nếu cần) .
4.3. Bài tập áp dụng:
Bài 39. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :
a)
.cos3y x x=
tìm
y
′′
; b)
2
sin 2y x=
tìm
y
′′′
;
c)
( )
5
2 1y x= +
tìm
( )
5
y
; d)
2
3 1
2
y
x x
x

cossin
33
−
+
=
;
d)
[ ]
4
2 4 40y xy y
′′′ ′′
+ − =
nếu
( )
2
2
1y x= −
;

71
e)
( )
"1'2
2
yyy −=
nếu
4
3
+
−

Bài 41. Tìm đạo hàm cấp
n
của các hàm số sau :
a)
2 1
2
x
y
x
−
=
+
; b)
2
3
2
y
x x
=
− −
; c)
2
2
2 1
x
y
x x
+
=
− +

.
5. Dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn
5.1. Phương pháp :
Ta có thể sử dụng định nghĩa của đạo hàm :
( )
( ) ( )
0
0
0
0
' lim
x x
f x f
f x
x x
→
−
=
−
để tính các giới hạn có dạng vô định . Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng :
( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f
x x
→
−

+−−
→
x
xx
x
.
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :
a)
→
+ + + −
−
L
2
1
lim
1
n
x
x x x n
x
; b)
2
1
)1(
1
lim
−
−+−
→
x

−






−
→
π
π
.
5.3. Bài tập áp dụng:
Bài 42. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
1
8 3
lim
2 3
x
x
x x
→
+ −
+ −
; b)
3
1
3 2

x
→
− + + − −
−
;
e)
1
1
lim
4
3
1
−
−
→
x
x
x
; f)
0
1 2 1
lim
1 3 1
n
m
x
x
x
→
+ −

x
x x
x x
→
−
; d)
)1tan(
23
lim
1
−
−+
→
x
xx
x
;

72
e)
xx
x
x
sin
cos1
lim
3
0
−
→

x
xx
x
+−+
→
;
i)
→
+ + + + − +
−
2 2 2
2
1
3 2 4 19 3 46
lim
1
x
x x x x
x
.
6. Tính các tổng có chứa tổ hợp
6.1. Phương pháp :
Trong phần đại số tổ hợp khi áp dụng nhị thức Newton để tính các tổng có chứa các công thức tổ hợp đôi
khi ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm các cấp của các vế ta sẽ tính được tổng cần tính .
6.2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tính các tổng sau :
a)
1 2 3 2 1
1
2 5 3 5 5

n
n n n n
S C C C n C= + + + + +
.
6.3. Bài tập áp dụng:
Bài 44. Rút gọn các tổng sau :
a)
1 2 1
1
2 ( 1)
n n
n n n n
S C C n C nC
−
+ + + − += L
;
b)
0 1 2 1
2
2 3 ( 1)
n n
n n n n n
S C C C nC n C
−
+ + + + + +=
;
c)
( )
0 1 2
3

d)
0 1 2 2010
4 2010
3 5 7 4023
n n n
S C C C C= − + − +
.
Bài 46. Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức
( ) ( )
( )
3 3
35, 3
1 2
n n
A C
n
n n
+
= ≥
− −
. Tính tổng :

( )
2 2 2 3 2
2 . 3 . 1 .
n
n
n n n
S C C n C= − + + −L
. (Dự bị B

C
là số tổ hợp chập k của n phần tử ) .


73