Chuyờn O HM V NG DNG

i s v Gii tớch
11

Ch :

O HM CP CAOI-
Lí THUYT:



/
( )
( ) ; .
: ;
Cho hàm số: (1)
Giả sử hàm số có đạo hàm tại mọi Khi đó tơng ứng:
y f x
y f x x a b
f a b R


* T
NG QUT:





( -1) ( 1)
( )
( )
( ) ;
: ;
( )
Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thì tơng ứng:cho ta đạo hàm của
n n
n
n
y f x x c d
f c d R
x f x





THUT TON XC NH O HM CP n CA HM S:

*
Bc 1:

// ///
, , ,
/
Tính y và tiến hành dự đoán đạo hà
m cấp n dựa trên logic.y y

*

B
c 2:
Chứng minh dự đoán bằng
phơng pháp quy nạp toán học.

III-
MT S KT QU V V D CN LU í:

Bi t
p
1:

Chứng minh rằng:





( 1)
1
sin 1
2
sin
2
1 sin ( 1)
2
cos sin (*) Đúng với
Giả sử (*) đúng đến , tức là: sin
Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với , tức là: sin
k
k
k
k
ax a ax a ax n
n k ax a ax k
n k ax a ax k
p
p
p










Ta có: sin cos
k k
k k
ax ax a ax k a ax k ax k
p p p


















Chuyờn O HM V NG DNG

i s v Gii tớch
11

1 1 1
( 1)





Vớ d ỏp dng:

( )
, sin5 .cos2Tính biết
n
y y x x

Gii
: Ta cú:


( )
1
sin5 .cos2 sin7 sin 3
2
1
7 sin 7 3 sin 3
2 2 2

n n n
y x x x x
y x n x n
p p

0
. . . .
n
n
k n k k n n n n n n
n n n n
k
uv C u v u v C u v C u v C u v

















( )
2
(25)
(25) (24) (23)
(25) 2 2 2 2 / 2 //



(25) 2
600 cos 50 sin
uy ra: y x x x x
Vớ d ỏp dng:

2 (2 )
(1 )cos .Cho Tính
n
y x x y

Gii:
Ta có:







(2 ) (2 1) (2 2)
(2 ) 2 1 2 / 2 2 //
2 2
2
2
cos (1 ) cos (1 ) cos (1 )
2 (2 1)
(1 )cos( ) 4 cos (2 1) 2. cos (2 2)
2 2 2






1 2
2 2
(2 ) 2 2
( 1) (4 2 )cos
( 1) (4 2 1 )cos ( 1) 4 sin
( 1) (4 2 1 )cos 4 sin

Vậy:
n
n n
n n
n n x
n n x x nx x
y n n x x nx x







Vớ d ỏp dng:

;
2
1 1 1 1 1
( 1) ;
2 2
2
1 1.3
( 1) ;
2
1 3.5
( 1) ;
2

1 1.3.5.7.9.11.13.15.17
( 1) ;
2
1 17!!
2
Vậy:
y
x
x
y
x








17!! 1.3.5.7.9.11.13.15.17 0 ; ở đây x
xVớ d
ỏp dng:
(10)
sin .sin 2 .sin3 .Cho Tính y x x x y

Gii:
Hớng dẫn: Phân tích thành tổng rồi tìm đạo hàm dần từng bậc.

(10) 8 18 8 10
2 sin 2 2 sin 4 2 .3 sin 6 .
Đáp số: y x x x

Vớ d ỏp dng:














Gii:
Ta cú:








/
/
2 2
( )
1
1 1 .1!
( 1) 1












( 1)
1
1
2
1 .( 1)!
( 1) .
inh:

k
k
k
k
a k
ax b
ax b





a k
ax b ax b
ax b ax b












Chuyờn O HM V NG DNG

i s v Gii tớch

k
k
ax b
k a ax b
a k a k
ax b ax b
a k
ax b











Vớ d ỏp dng:

( )
1
,











Vớ d ỏp dng:

2
5 3
3 2
Cho hàm số:
x
y
x x




A B
A B) (2A B)
x
x x
x x
x x
x x x
x x








2
( )
1 1
5
2 3
5 3 2
1 2
3 2
2 2 7
( 1) !

Lu
ý:
Trong toàn bộ các bài giải trên, chúng t
ôi dành phần chứng minh bằng phơng pháp

quy nạp cho độc giả.

IV
-
M
T S BI TP T LUYN:

2 2
2
sin sin . 4 ) .sin (1 ) 4
2 1 2 1
3
2