Nói chung,việc tính đạo hàm bằng định nghĩa thường rất phức tạp.Bài này sẽ cung cấp cho chúng ta những
quy tắc tính đạo hàm,nhờ đó việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp sẽ được quy về tính đạo hàm của
những hàm số đơn giản hơn.
Để tiện cho việc diễn đạt,kể từ bài này,ta sẽ sử dụng kí hiệu J để chỉ tập con của R gồm một khoảng hoặc
hợp của nhiều khoảng.
1. Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số
ĐỊNH LÍ 1
Nếu hai hàm số và có đạo hàm trên J thì hàm số và
cũng có đạo hàm trên J,
a) ;
b) .
Ghi chú. Các công thức có thể viết gọn là và
Chứng minh
a) Tại mỗi điểm ,ta có
*
* .
Vậy .
b) Kết luận này được chứng minh tương tự
Nhận xét
Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của nhiều hàm số : Nếu các hàm số có đạo hàm trên J
thì trên J ta có
.
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng .
Giải
Trên khoảng ta có
Vậy
a) Tính nếu .
b) Cho hai hàm số và . Biết rằng hai hàm số này có đạo hàm trên R. Chứng
minh rằng với mọi x thuộc R,ta có .
2. Đạo hàm của tích hai hàm số
Định lí 1 có thể nói gọn là : Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số bằng tổng (hay hiệu) các đạo hàm

a) Chứng minh rằng nếu các hàm số u,v và w có đạo hàm trên J
thì hàm số f xác định bởi (với mọi ) cũng có đạo hàm trên J và

.
b) Áp dụng ,tính đạo hàm của hàm số tại điểm .
3. Đạo hàm của thương hai hàm số
Sử dụng định nghĩa,ta cũng chứng minh được định lí về đạo hàm của thương hai hàm số
ĐỊNH LÍ 3.
Nếu hai hàm cố và có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số
cũng có đạo hàm trên J và
Ghi chú. Công thức trên có thể viết gọn là
Chứng minh hệ quả dưới đây

HỆ QUẢ
a) Trên ta có
b) Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi x thuộc J thì trên J ta có
Ghi chú. Công thức thứ 2 trong hệ quả trên có thể viết gọn là .
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số ,nếu :
a) (a là hằng số)
b) .
Giải
a) Áp dụng định lí thứ 3 (ở đây và ),ta có
.
b) Áp dụng hệ quả của định lí 3 (ở đây ),ta có

Chọn kết quả đúng trong các kết quả cho sau đây
Đạo hàm của hàm số bằng
(A) ;
(B) ;
(C) ;

Có thể xem hàm số này là hàm số hợp của hàm số và hàm số trung gian .
Do đó nếu hàm số có đạo hàm trên J thì ta áp dụng định lí 4 để tính đạo hàm của hàm số hợp
(còn viết là ) như sau :
;

.
Ghi chú . Công thức nêu trong hệ quả q được viết gọn là
Tương tự,ta xét hàm số .
a) Tìm hàm số f sao cho hàm số là hàm số hơp của hàm số f và hàm số trung gian .
b) Chứng minh rằng nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi thì hàm số
cũng có đạo hàm trên J và
HỆ QUẢ 2
Nếu hàm số có đạo hàm trên J và với mọi
thì hàm số có đạo hàm trên J,và
Ghi chú. Công thức nêu trong hệ quả 2 được viết gọn là
Ví dụ 6 .

GHI NHỚ

a) Đạo hàm của một hàm số thường gặp (ở đây )
b) Các quy tắc tính đạo hàm (ở đây (ở đây )
c) Đạo hàm của hàm số hợp (ở đây ):
Các dạng bài liên quan:
Trắc nghiệm đạo hàm, nguyên hàm và tích phân Đạo hàm và ứng dụng
Một số bài tập
Baì 70950
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

< Click để xem đáp án
Baì 68147
Cho hàm số . Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của x không âm là:
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68146
Cho hàm số . , ta có
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68145
Cho hàm số . Chọn mệnh đề đúng:
Chọn một đáp án dưới đây
A. Vì f(0) = 0 nên
B. Vì hàm số f(x) không xác định khi x<0, nên không tồn tại
C. Vì nên
D. Vì
< Click để xem đáp án
Baì 68144
Cho hàm số: . Phương trình đồ thị (C) tại tiếp điểm M có hoành độ bằng 1 là:
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68143
Cho hàm số: .
Chọn mệnh đề đúng:

Vậy .
Do đó, ta có thể phát biểu ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai như sau :
Gia tốc (tức thời) tại thời điểm của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình bằng
đạo hàm cấp hai của hàm số tại thời điểm ,tức là
.
Gia tốc tại thời điểm đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của chuyển động tại thời điểm đó.
Ví dụ 2.
Một chất điểm chuyển động có phương trình .
(Phương trình này gọi là phương trình dao động điều hòa).
Khi đó,vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là
.
Gia tốc tức thời tại thời điểm t là

.
Phương trình chuyển động của một chất điểm là (S tính bằng mét (m),t tính bằng giây
(s) ).Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm .
3. Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của hàm số f còn được kí hiệu lần lượt là và .
Nếu là một hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số kí hiệu f, kí hiệu
là .
Tương tự, đạo hàm cấp n của một hàm số được định nghĩa bằng quy nạp như sau :
Cho hàm số f có đạo hàm cấp (với là .

Nếu là hàm số có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số f và kí hiệu là
.
Nói cách khác .
Đạo hàm cấp n của hàm số còn được kí hiệu là
Ví dụ 3
a) Đối với hàm số ,ta có :
[/ct] với mọi .

C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68148
Vi phân của hàm số: bằng biểu thức nào sau đây?
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68147
Cho hàm số . Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của x không âm là:
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68146
Cho hàm số . , ta có
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
< Click để xem đáp án
Baì 68145
Cho hàm số . Chọn mệnh đề đúng:
Chọn một đáp án dưới đây
A. Vì f(0) = 0 nên
B. Vì hàm số f(x) không xác định khi x<0, nên không tồn tại
C. Vì nên
D. Vì
< Click để xem đáp án
Baì 68144
Cho hàm số: . Phương trình đồ thị (C) tại tiếp điểm M có hoành độ bằng 1 là: