Ứng dụng của Giải tích vào các bài toán Đại số
PHẦN I
ỨNG DỤNG CỦA TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Một số mệnh đề:
Ký hiệu K là một đoạn,một khoảng hoặc một nửa khoảng.
1) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c
∈
(a ; b).
2) Nếu f(x) liên tục và đơn điệu trên K thì phương trình f(x) = 0 có không quá một nghiệm trên K.
Tổng quát hơn,
Nếu f(x) liên tục và tăng trên K, g(x) liên tục và giảm (hoặc là hàm hằng) trên K thì phương trình f(x) = g(x) có không
quá một nghiệm trên K.
3) Nếu f(x) liên tục và đơn điệu trên K thì
∀
x, y
∈
K ta có f(x) = f(y)
⇔
x = y.
4) (Định lý Lagrange) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì tồn tại c
∈
(a ; b) sao
cho:
( ) ( )
( )
f b f a
f c
b a
−
′

x x x x
x x x x
+ − = − ⇔ + − = −
+ +
. PT này có dạng f(u) = f(v) với
| 3 1|, | |u x v x= + =
và
2
1
( ) , 0.f t t t
t
= − >
Ta có
/
2
1
( ) 2 0, (0; )f t t t K
t
= + > ∀ ∈ = +∞
nên f(t) tăng trên K. Vì u, v > 0 nên f(u) = f(v) ⇔ u = v ⇔
1
3 1
2
| 3 1| | |
3 1 1
4
x
x x
x x
x x

x x
x x x x
x x x x
+
+ + − + + =
+ + + +
Giải. PT được viết lại :
2 2
2 2
1 1
1 2 2 1
( 1) (2 2 1)
x x x x
x x x x
+ + − + + = −
+ + + +
Trương Văn Đại, THPT Nguyễn Trung Trực, Rạch Giá, Kiên Giang 1
Ứng dụng của Giải tích vào các bài toán Đại số
2 2
2 2
1 1
1 2 2 1
( 1) (2 2 1)
x x x x
x x x x
⇔ + + − = + + −
+ + + +
. PT này có dạng f(u) = f(v) với
1
( )f t t


= −

4) Giải phương trình
3 2 2
5 2 5
x x
x
+
+ + =
.
Giải. PT được viết lại
3 2 2
5 (3 2) 5 2
x x
x x
+
+ + = +
có dạng f(u) = f(v) với
( ) 5
t
f t t= +
.
Ta có
/
( ) 5 ln5 1 0,
t
f t t= + > ∀
nên f(t) tăng trên R. Vì vậy, f(u) = f(v) ⇔
3 2 2 2.u v x x x= ⇔ + = ⇔ =

1
( ) 1 0, (0; )
.ln3
f t t K
t
= − − < ∀ ∈ = +∞
nên f(t) giảm trên K. Vì vậy, f(u) = f(v) ⇔ u =
v ⇔
2 2 2
1 2 1 2 0.x x x x x x+ + = − + ⇔ − =
6)
2 2
2 3 6 11 3 1x x x x x x− + − − + > − − −
Giải. ĐK :
1 3x
≤ ≤
2 2
2 3 1 6 11 3x x x x x x− + + − > − + + −

( ) ( )
2 2
1 2 1 3 2 3x x x x⇔ − + + − > − + + −
Xét hàm số
( )
2
2y f t t t= = + +
trên K = [0 ; +∞). Ta có
( )
( )
2



− ≥

7)
( )
( )
2
2 2 1
5 5 2
x y
y x
x y

− = −


+ + =


Giải. PT (1) :
2 2
x y
x y+ = +
. Ta có hàm số
( )
2
t
f t t= +
tăng trên R nên (1) ⇔ x = y. Thay vào PT (2) ta được PT

+ = − ⇔ + − + + + + − = ⇔

= = −


* x = y = −1 không là nghiệm của hệ.
* x + y = 1 ⇔ y = 1 − x. Xét
( ) (1 ) , 2.
n n
f t t t n= + − ≥
Ta có
/ 1 1
( ) (1 )
n n
f t nt n t
− −
= − −
, f’(t) = 0 ⇔ t = 1/2.
Lập BBT của f(t) ta được
1
1
( )
2
n
f t
−
≥
và đẳng thức xảy ra KVCK t = 1/2. Hệ đã cho có duy nhất cặp nghiệm
1 1
( ; )

2
f f f
π
π π
<
nên PT có ít nhất hai nghiệm phân biệt
[2 ;3 ]x
π π
∈
. Vậy PT đâ cho có đúng hai
nghiệm trên [2π ;3π].
10) Chứng minh rằng hệ sau có đúng hai nghiệm (x ; y) sao cho x>0 ; y>0 :
2
2
2007 (1)
1
2007 (2)
1
x
y
y
e
y
x
e
x

= −

−

Xét hàm số
2
( )
1
t
t
g t e
t
= −
−
ta có
2 3
1
( ) 0, 1.
( 1)
t
g t e t
t
′
= + > ∀ >
−
Do đó g(t) đồng biến trên (1 ; +∞).
Vì vậy trên
(1; ), (3) x y+∞ ⇔ =
. Thay vào (1) ta được :
2
2007 0.
1
x
x

( )f x
đồng biến
trên (1; +∞). Do
/
( )f x
tăng trên (1 ; +∞),
1
lim ( )
x
f x
+
→
′
= −∞
và
/
(2) 0f >
nên
/
( )f x
có duy nhất 1 nghiệm
0
(1; )x ∈ +∞
. Suy ra,
( )
/
0
( ) 0f x f x< =
khi
0

= +


= +

.
Ta cần chứng minh rằng với mọi a > 0 PT g(x) = f(x+a) − f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
Ta có
( ) ( 1) 0, 1, 0
(1 )(1 )
x a
a
g x e e x a
x x a
′
= − + > ∀ > − >
+ + +
nên g(x) là hàm số tăng trên
( 1; )− +∞
.
Mặt khác,
1
lim ( )
x
g x
→−
= −∞
và
1
lim ( )


− + =


− + =


Giải. Dễ thấy x = 0 hoặc y = 0 hoặc z = 0 đều không thỏa hệ. Vì vậy ta phải có x, y , z đều dương.
Hệ được viết lại
2
5 ( )
2
5 ( )
2
5 ( )
x f y
y
y f z
z
z f x
x

= − =



= − =




3 3 3
1 3 2 2 4 5x x x− + + + + =
2)
2
4 1 4 1 1x x− + − =
3)
4 2.9 2.16
x x x
+ =
4)
( )
( )
2
lg 6 lg 2 4x x x x− − + = + +
5)
( )
6
log
2 6
log 3 log
x
x x+ =
6)
( ) ( )
2 3
log 2 1 log 4 2 2
x x
+ + + ≤
7)
2

2 5 0
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

10)
( )
6 4
sin
sin
10 1 3 2
5
;
4
x y
x
e
y
x y
x y
π
π
−

=



= −


= −

14)
3 2
3 2
3 2
2,
2,
2.
y x x x
x z z z
z y y y

= + + −

= + + −


= + + −

15)
3 2
3 2
3 2
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)

.
Tổng quát hơn, m
0
=
inf ( ) sup ( )
x D
x D
f x m f x
∈
∈
≤ ≤
= M
0
nếu a, b có thể là ∞.
MĐ2: Nếu hàm số f(x) liên lục trên ĐOẠN D = [a,b] thì:
1) Bất phương trình f(x)
≥
m có nghiệm trên D khi và chỉ khi:
max ( )
x D
m f x
∈
≤
(m
≤
sup ( )
x D
f x
∈
nếu a, b có thể là

∈
≤
nếu a, b có thể là ∞)
2 ) Bất phương trình f(x) ≤ m đúng với ∀ x ∈ D khi và chỉ khi:
max ( )
x D
m f x
∈
≥
(
sup ( )
x D
m f x
∈
≥
nếu a, b có
thể là ∞)
Việc tìm inf f(x); sup f(x) có thể dùng khảo sát hàm số, BĐT hoặc phương pháp miền giá trị...
Có nhiều bài toán về xác định tham số để PT
−
BPT có nghiệm thỏa mãn yêu cầu nào đó mà ta có thể “cô lập”
được tham số (đưa về dạng m = f(x), m ≥ f(x) hoặc m ≤ f(x)). Khi đó, bằng cách lập BBT của f(x) rồi dùng các
mệnh đề trên hoặc đọc BBT ta có được kết quả. Sau đây là một số ví dụ như vậy.
VÍ DỤ 1. Tìm m để HS sau tăng trên D = [2;+∞):
3 2
1
( 1) 3( 2)
3
y x m x m x= − − + −
.

< m < 0 thì y' ≥ 0 với mọi x ∈ [x
1
,x
2
] mà D ⊄ [x
1
,x
2
] nên thỏa yêu cầu của đề.
+ Tr hợp: 0< m <
2 6
2
+
thì y' ≥ 0 với mọi x ∈ ( –∞;x
1
]∪[x
2
;+∞) nên y' ≥ 0 với mọi x∈D KVCK x
1
< x
2
≤ 2. ĐK:
2 6
0
2
'(2) 0
m
y

+

+
Trương Văn Đại, THPT Nguyễn Trung Trực, Rạch Giá, Kiên Giang 5