Chuyên đề I: Đạo hàm
A- Tóm tắt lý thuyết
I) Hàm số liên tục
+ Cho hàm số
)(xfy
=
xác định trên khoảng
( )
ba;
. Hàm số
)(xfy
=
đợc
gọi là liên tục tại
( )
bax
o
;




o
xx

lim
f(x) =
)(
o
xf
+ Chú ý : Hàm số

o
xx
lim
f(x) =
+

o
xx
lim
f(x) =
)(
o
xf
II
) Đạo hàm
1) Định nghĩa
+ Cho hàm số
)(xfy
=
xác định trên tập xác định của nó và

o
x
TXĐ
đạo hàm của hàm số
)(xfy
=
tại
o
x

=
o
xx

lim
x
xfxxf
oo

+
)()(

)()(
oo
xfxfyyy
==
gọi là số gia tơng ứng của h/s tại
o
x

o
xxx
=
gọi là số gia của đối số tại
o
x
+ Hàm số
)(xfy
=
xác định trên tập xác định của nó và

o
xf
'
=
)(
'
o
xf
Với
( )

o
xf
'
=


o
xx
lim
x
y


và
( )
+
o
xf
'

Phơng trình tiếp tuyến tại M là:
( )
ooo
xxxfyy
=
)(
'
3) Các quy tắc tính đạo hàm

'''
)( vuvu
=

''
.)( ukku
=
với k là hằng số

2
''
'
v
uvvu
v
u

=








y = f(u) và u = g(x) thì
'''
.
xux
uyy
=
4) Bảng đạo hàm
1
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm số hợp
1'
.)(

=


xx
'1'
..)( uuu

=


2
'
11
x

u
u
2
)(
'
'
=
CosxSinx
=
'
)(
( )
SinxCosx
=
'
( )
xtg
xCos
Tgx
2
2
'
1
1
+==
( )
( )
xCotg
xSin
Cotgx

2
'
'
uCotgu
uSin
u
Cotgu
+==
( )
xx
ee
=
'
( )
aaa
xx
ln.
'
=

( )
x
x
1
ln
'
=
( )
ax
x

u
a
ln.
log
'
'
=
5) Vi phân
Cho H/s : y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại x

(a;b)
Khi đó
dxydy .
'
=
B- Bài tập trắc nghiệm
1) Đạo hàm của hàm số
123
24
=
xxy
tại
1
0
=
x
bằng
A 8 B 6 C 3 D 0
2) Cho hàm số


A -1 B 0 C 2 D 1
4) Tính
)(
'
oy
của hàm số







=
=
0
1
00
khix
x
Cosx
khix
y

A
2
1
B
4
1

6) Đạo hàm của hàm số
73
24
+=
xxy
tại x = -1 là
A
5
1
B
5
1
C
5
D 5
7) §¹o hµm cña hµm sè
1
1
2
2
++
+−
=
xx
xx
y
lµ
A
( )
2

1
22
++
+
=
xx
x
y
D
( )
2
2
2
'
1
22
++
−
=
xx
x
y
8) Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng cong
3
xy
=
t¹i M(1;1) lµ
A y = 3x- 2 B y = -3x+2 C y = 3x+2 D y = -3x- 2
9) Cho H/s


−−∆+−
→∆
)1()1(
lim
0
lµ
A -1 B 0 C 1 D 2
11) X¸c ®Þnh
a
vµ b ®Ó hµm sè
( )





≥++
<+
=
−
01
0
)(
2
khixbxax
khixeax
xf
bx
cã ®¹o hµm t¹i x=0
A


=
−=
2
1
1
b
a
D





−=
−=
2
1
1
b
a
12) Cho H/s



<+
≥−
=
1;
1;

−=
−=
1
1
b
a
D



=
=
0
1
b
a
13) §¹o hµm cña hµm sè y = Sinx(1 + Cosx) lµ
A
'
y
= - Cosx-
xCos2
2
1
B
'
y
= - Cosx- Cos2x
C
'

−−
15) §¹o hµm cña H/s
CosxSinx
xCosxSin
y
.
22
−
=
t¹i ®iÓm
6
π
=
o
x
lµ
A
3
8
B
3
16
C
3
8
−
D
3
16
−

4
'
1
=
17) Cho H/s
x
exxy )(
2
−=
T×m x ®Ó
0
'
=
y
A 1 B 0;1 C
2
53
±
D
2
51
±−
18) §¹o hµm cña H/s
)
1
ln(
Cosx
tgxy
+=
lµ

'
1
−=
19) Cho H/s
x
y
5
3
+=
víi x
0
≠
khi ®ã
?.
'
=+
yyx
A 5 B 4 C 3 D -3
20) Cho H/s
Sinxxy .
=
ta cã
?.)(2.
'''
=+−−
yxSinxyyx
A 0 B 1 C 2 D 3
21) Cho H/s
Sinx
ey

−−
=
−
B
n
n
n
x
n
y
!)1(
1
)(
−
−
=

C
n
n
n
x
n
y
)!1()1(
)(
−−
=
D
n

exny ..
)(
=
25) §¹o hµm cÊp n cña H/s
xSiny 5
2
=
lµ
A






−
+=
−
2
)1(
10.10.5
1)(
π
n
xSiny
nn
B




nn
D






+
+=
−
2
)1(
10.10.5
1)(
π
n
xSiny
nn

26) Cho H/s
1
23
−
−
=
x
x
y
(C) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C)



=
x
x
y
(C) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = 4x + 10
A
)17(
4
1
=
xy
B
)9(
4
1
=
xy
C cả Avà B D
)17(
4
1
+=
xy

29) Đạo hàm của H/s
x
xy

xy
=
là
A






+=
Sinx
x
Cosxxy
Sinx
1
'
B






=
Sinx
x
xCosxxy
Sinx
1

2
+=
là
A
( ) ( )






+
+++=
1
2
1ln1
2
2
22'
x
x
xxy
x
B
( ) ( )






x
xxy
x
D
( ) ( )






+
++=
1
2
1ln1
2
22'
x
x
xxy
x

32) Cho H/s
1
)(
+
==
x
x

xxy
tìm x để
3
'
<
y
A
( )
21;21
+
x
B
21
<
x
C
21
+>
x
D
[ ]
21;21
+
x
36) Đạo hàm của H/s
1
2
2
+
+

=
2
2
b
a
B



=
=
2
2
b
a
C



=
=
2
2
b
a
D



=

x
.
=

A
( )
dxTgxxTgedy
x
1
2
++=
B
dx
xCos
xTgedy
x






=
2
2
1

C
( )
dxxTgedy

và một điểm M
( )
oo
yx ;
thì PT là

0)()(
=+
oo
yybxxa
b) phơng trình tham số :



+=
+=
tuyy
tuxx
o
o
2
1

);(
21
uuu
gọi là véc tơ chỉ phơng và M
( )
oo
yx ;


1
=+
b
y
a
x
+ phơng trình đi qua M
( )
oo
yx ;
và có hệ số góc k là :
)(
oo
xxkyy
=
+ phơng trình đi qua 2 điểm A
( )
11
; yx
và B
( )
22
; yx
có dạng là

21
1
21
1

=++
cybxa
với
0
22
+
nm
d) chú ý : Nếu
);( ban
là Vtpt thì Vtcp là
);( abu

hay
);( abu

2-vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng
Cho 2 đờng thẳng :
1


0
111
=++
cybxa

2


0
222


cắt
2

+ Nếu (I) vô số nghiệm thì
1

trùng
2

+ Nếu (I) vô nghiệm thì
1

song song
2

3- Góc giữa hai đ ờng thẳng
Cho 2 đờng thẳng :
1


0
111
=++
cybxa
có Vtpt
);(
11
ban


1
2121
21
21
2
1
.
;
baba
bbaa
nn
nn
nnCos
++
+
==
Chú ý :
1



2




0
2121
=+
bbaa

)2;1(

n
làm véc tơ pháp tuyến có
Phơng trình tổng quát là
A x+2y+1=0 B x-2y+1=0 C x-2y+1=0 D -x+2y+1=0
2) Đờng thẳng đi qua A(2;3) và nhận
)3;1(

u
làm véc tơ chỉ phơng có
Phơng trình tổng quát là
A 3x+y+9=0 B -x+3y-9=0 C 3x+y-9=0 D x-3y-9=0
3) Đờng thẳng đi qua N(2;-1) và nhận
)6;7(

u
làm véc tơ chỉ phơng có
Phơng trình tham số là
A



+=
=
ty
tx
71
62
B

)2;3(n
làm véc tơ pháp tuyến có
Phơng trình tham số là
A



+=
=
ty
tx
35
24
B



+=
=
ty
tx
31
2
C



=
+=
ty


yx
B
1
96
=

+
yx
C
1
69
=+

yx
D
1
69
=+

yx
7) Phơng trình đi qua 2 điểm M(3;1) và N(2;-2) là
A 3x-y- 8=0 B 3x-y+8=0 C x-3y- 8=0 D 3x+y- 8=0
8) Góc giữa 2 đờng thẳng
1
d
: x+2y+4=0 và
2
d
: x-3y+6=0 là


: 4x-10y+1=0 và
2

: x+y+2=0
A cắt nhau B trùng nhau C song song D vuông góc
11) Phơng trình đờng thẳng qua I(-1;-3) và vuông góc với
đờng thẳng x-2y+1=0 là
A 2x+y+5=0 B -2x+y+5=0 C 2x-y+5=0 D 2x+y-5=0
12) Cho 2 đờng thẳng
1
d
: 2x+ y+ 4 m = 0

2
d
: (m + 3)x+ y - 2m 1= 0

1
d
song song
2
d
khi
A m = 1 B m = -1 C m = 2 D m =3
13) Đờng thẳng nào không cắt đờng thẳng 2x + 3y -1 = 0
A 2x+3y+ 1 = 0 B x 2y + 5 = 0 C 2x- 3y + 3 = 0 D 4x-6y-2 = 0
14) Đờng thẳngnào song song với đờng thẳng x-3y + 4 = 0
A




=
=
ty
tx
2
31

15) Đờng thẳngnào song song với đờng thẳng



+=
=
ty
tx
21
3
A



=
+=
ty
tx
2
5
B



=
=
ty
tx
33
4
B



+=
=
ty
tx
33
4
C



=
=
ty
tx
33
4
D


1

: mx + y +3 = 0 và
2

: x y + m = 0
A m =1 B m =-1 C m =2 D m = 0
19) Xét vị trí tơng đối của cặp đờng thẳng sau
d :



+=
=
ty
tx
42
51
và
:
'
d




=
+=
ty
tx

d
và
2
d
A 5x-7y + 2 = 0 B 5x-7y-3 = 0 C 5x-7y + 3 = 0 D 5x-7y + 5 = 0
22) Phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng

1
d
: x y 2 = 0 ;
2
d
: 3x y 5 = 0 và vuông góc với đờng
thẳng
: x 4y 1 = 0 là
A 4x + y 11 = 0 B 4x + y 5,5 = 0
C 4x + y + 5,5 = 0 D 4x +y + 11 = 0
23) Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng
x+2y -3 = 0 ; 4x y + 1 = 0 và đi qua điểm A (2;0)
A 13x + 17y- 26 = 0 B 13x + y +26 = 0
C 13x -17y-26 = 0 D -13x +17y +26 = 0
24) Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng
3x -5y + 2 = 0 và 5x -2y + 4 = 0 đồng thời song song với đờng
thẳng 2x y + 4 = 0
A 5x + y -14 = 0 B 4x -3y -13 = 0
C 38x -19y +30 = 0 D 2x-3y -28 = 0
25) Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng
2x + y 3 = 0 và x -2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đờng thẳng
: y 1 = 0 một góc là
o

C



+=
+=
ty
tx
2
74
D



=
+=
ty
tx
2
74
29) Trong mặt phẳng oxy cho A(1;4) và B(3;-2) ; đờng thẳng



+=
+=
ty
tx
2
21



21
; xx
(a;b) ;
)()(
2121
xfxfxx <<
+ f(x) nghịch biến trên (a;b)



21
; xx
(a;b) ;
)()(
2121
xfxfxx ><
2- Định lý lagrăng
Nếu H/s f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì
Tồn tại một điểm c

(a;b) sao cho
)(
)()(
'
cf
ab
afbf
=

0)(
'

xf
)
Và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì
Hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó
4- Điểm tới hạn
Cho H/s y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và

o
x
(a;b) Điểm
o
x
gọi là
một điểm tới hạn của hàm số nếu tại điểm đó
)(
'
o
xf
không xác định
hoặc bằng 0
B Bài tập trắc nghiệm
1) Cho H/s y =
xx 2
2

Tìm mệnh đề đúng
A H/s luôn đồng biến

3 xxy
=
là
A (1;3) B
( ) ( )
+
;31;
C (0;3) D
( ) ( )
+
;30;

3) Khoảng nghịch biến của hàm số
42
2 xxy
=
là
A
( ) ( )
+
;10;1
B
( ) ( )
1;01;

C (-1;1) D (0;1)
4) Khoảng nghịch biến của hàm số
x
x
y

3

x
C H/s đồng biến trên khoảng
( ) ( )
+
;33;
D H/s nghịch biến trên khoảng
( ) ( )
+
;33;
6) Tìm m để H/s
2)512()12(3
23
++++=
xmxmxy
luôn đồng biến ?
A







6
6
;
6
6

2
+

=
xx
mxx
y
luôn luôn nghịch biến ?
A
( ) ( )
+
;31;m
B
31

m
C
m

D
(
] [
)
+
;31;m
8) Cho H/s
cxbxaxxfy 632)(
23
++==
liên tục [0;1] và có đạo hàm (0;1)

2
1
B 1 C
2
3
D 2
10) Hàm số
xaaxx
a
y )23(
3
1
23
++

=
luôn luôn đồng biến khi
A
2

a
B
21
<
a
C
2

a
hay

27
1
)21(2
44
=+
xx
3) Cho 0 < x < y < 1 Chứng minh rằng:
)(4
1
ln
1
ln xy
x
x
y
y
>



4) Chứng minh rằng :
0
>
x
ta đều có
a)
2
1
2
x

cbxaxx
6) CMR nếu x + y = 1 thì
8
1
44
+
yx
dấu bằng xảy ra khi nào ?
7) Lập bảng biến thiên của các hàm số sau
a)
xxy
++=
223
b)
xxy
=
312
c)
)13(
2
+=

xxey
x
d)
x
x
y
ln
=

Cho Pt đờng tròn:

02),(
22
=++=
cbyaxyxyxF
(C) với
0
22
>+
cba
Và một điểm M
( )
oo
yx ;

Phơng tích của M đối với đờng tròn là
P M/(C) =
cbyaxyxyxF
oooooo
++=
2),(
22

+ Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài đờng tròn (C)
+ Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong đờng tròn (C)
+ Nếu P M/(C) = 0 thì M

(C)