www.VNMATH.com
Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
− Phương trình n ẩn x
1
, x
2
, , x
n
gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x
i
bởi x
j
; x
j
bởi x
i
thì phương trình
không thay đổi.
− Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x
1
+ x
2
+ + x
n
x
1
x

* Nếu đa thức F(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n
−
1
+ a
n
, a
0
≠ 0, a
i
∈ P có nhgiệm trên P là c
1
, , c
n
thì:
1
1 2
0
2
1 2 1 3 1 2 1 2 3 -1
0
1 1
0




(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A. LÝ THUUYẾT
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2
1 2

.
b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −




= =

=


=

, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=


=

3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4S P≥
.
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P, x

2
4S P≥
. Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35
S
ì
ï
ï
=
ï
ì
=
ï
ï
ï ï
Û
í í
æ ö
ï ï
- =
÷
ç

x y
− = −


− =

.
GIẢI
Đặt
, , t y S x t P xt= − = + =
, điều kiện
2
4S P≥
Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
ì ì
+ = =ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = - =
ï ï
î î
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
ì ì ì
= = =

GIẢI
Điều kiện
0, 0x y≠ ≠
.
Hệ phương trình tương đương với:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
ï
+ + + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
ç ç÷ ÷
ï
è ø è ø
ï
í
ï
æ ö æ ö
ï

1 1
x y 4
S 4 S 4
x y
P 4 1 1
S 2P 8
x y 4
x y
ì
æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
ï
+ + + =
÷ ÷
ç ç
ï
ì
ì
÷ ÷
=ï =
ï
ç ç
÷ ÷
ï
è ø è ø
ï ï ï
Û Û
í í í

ï
ì
=
ï
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
=
ï ï
î
+ =
ï
ï
ï
î
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy
x y

+ + =


+ =


Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4S P≥
(*).
Thái Thanh Tùng – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
2
www.VNMATH.com
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
1
1 3
x y
x x y y m
+ =


+ = −

.
GIẢI
Điều kiện
, 0x y ≥
ta có:
3 3
x y 1 x y 1

ï ï
=
- = -
ï ï
îî
.
Từ điều kiện
2
S 0,P 0,S 4P³ ³ ³
ta có
1
0 m
4
£ £
.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
3 9
x y xy m
x y xy m
+ + =


+ = −

có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
x y xy m (x y) xy m
xy(x y) 3m 9

Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0- + - =
S 3 S m 3
P m 3 P 3
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3)
21
m m 3 2 3
(m 3) 12
4
é
³ -
ê
Û Û £ Ú ³ +
ê
- ³

ï
ï
Û
í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không âm.

/
3m 13
0
0
13

ï
î
.
Thái Thanh Tùng – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
3
www.VNMATH.com
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
4 4 10
( 4)( 4)
x y x y
xy x y m
+ + + =


+ + =

có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
2 2
2 2
(x 4x) (y 4y) 10
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
ì
ì
ïï + + + =
+ + + =
ï

P 0
ì
ï
³
ï
ï
ï
³ Û - £ £
í
ï
ï
³
ï
ï
î
.
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình:
3 3
3
1
2
x x+ − =
.
GIẢI
Đặt:
3
3
x u
1 x v


 
+ + − =
 

⇔
3
u+v =
2
19
u.v =
36







u, v là hai nghiệm của phương trình:
2
3 19
X - X + = 0
2 36
⇒
9+ 5
u =
12
9 - 5
u =

 

Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =
3 3
9 5 9 5
;
12 12
 
   
+ −
 
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
 
   
 
.
B. BÀI TẬP
I. Giải các hệ phương trình sau:
1)
4 4
6 6
1
1
x y
x y

+ =


4)
2 2
4
2 8 2
x y
x y xy

+ =


+ + =


5)
2 2
18
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y

+ + + =


+ + =


6)
( )
( )
2 2

4
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =


8)
7
1
78
y
x
y x
x y
x xy y xy

+ = +




+ =

=


II. Gi h phng trỡnh cú tham s:
1. . Tỡm giỏ tr ca m:
a)
( )
5 4 4
1
x y xy
x y xy m

+ =


+ =


cú nghim.
b)
2 2
2
1
x y xy m
x y xy m
+ + = +



+ = +


(1II)
a. Gii h phng trỡnh khi m = 5.
b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim.
3.
2 2
3 8
x xy y m
x y xy m
+ + =



+ =


(7I)
a Gii h phng trỡnh khi m = 7/2.
b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim.
4.
2 2
1x xy y m
x y xy m
+ + = +



+ =



- X
2
+ X - = 0. (*)
Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0
[ X
2
- (x + y)X + xy ](X - z) = 0
X
3
- X
2
z - X
2
(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
X
3
- X
2
+ X - = 0.
(*) có nghiệm là x, y, z phơng trình X
3
- X
2
+ X - = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.
c.Cách giải:
+ Do các phơng trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết đợc dới dạng , ,
Khi đó ta đặt
x + y + z =
xy + yz + zx =
xyz =

Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
= (x + y + z)
2
- 2(xy + yz + zx).
x
3
+ y
3
+ z
3
= (x + y + z)
3
- 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.
Vậy 6 = 2
2
- 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = -1.
8 = 2
3
- 3.2.(-1) + 3xyz xyz = -2.
x, y, z là nghiệm của phơng trình:t
3
- 2t
2
- t + 2 = 0

x + y + z = 9
xy + yz + zx = 27
xyz = 27





Do đó (x; y; z) là nghiệm của phơng trình: X
3
- 9X
2
+ 27X - 27 = 0
(X - 3)
3
= 0
X = 3.
Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3).
VD3: Giải hệ
2 2 2 2
3 3 3 3
x + y + z = a
x + y + z = a
x + y + z = a





Giải: x

(x; y; z) là nghiệm của phơng trình: X
3
- aX
2
= 0
X = 0
X = a



Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}
e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lu ý khi giải hệ loại này
+ Với cách giải theo định lý Vi-et từ hệ ta phải đa ra đợc x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là
hệ quả của hệ nên khi tìm đợc nghiệm nên thử lại.
+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc
cùng z nên có thể giải hệ theo phơng trình cộng, thế.
VD:
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
1 1 1
+ + = 1 (3)
x y z









( )
( , ) 0 1
( , ) 0 2
f x y
f y x
=


=

Cỏch gii: Ly (1) (2) hoc (2) (1) ta c: (xy)g(x,y)=0. Khi ú xy=0 hoc g(x,y)=0.
+ Trng hp 1: xy=0 kt hp vi phng trỡnh (1) hoc (2) suy ra c nghim.
+ Trng hp 2: g(x,y)=0 kt hp vi phng trỡnh (1) + (2) suy ra nghim (trong trng hp ny h
phng trỡnh mi tr v h i xng loi 1) v thụng thng vụ nghim.
B. Cỏc vớ d:
Vớ d 1: Gii h phng trỡnh
( )
( )
3
3
3 8 1
3 8 2
x x y
y y x

= +


= +



.
Trng hp 2: (I)
( )
2 2
3 3
x +xy+y +5=0
x +y =11 x+y






(h ny vụ nghim)
Vy h phng trỡnh ó cho cú tp nghim:
{ }
{ }
(x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)
Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s
7
www.VNMATH.com
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
4
4
1 1
1 1
x y
y x


x = 1
y = 1

⇒


.
Vậy hệ có nghiệm (1,1)
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình
2
2
x y y m
y x x m

= − +


= − +


(I)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải (I)
2 2
2
2
2 2
2 2
x = ± y

'
x
'
y
Δ 0
1 - m 0 m 1
m 0
- m 0 m 0
Δ 0

≥
≥ ≤
 
⇔ ⇔ ⇔ ≤

 
≥ ≤
≥

 

b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔
'
x
'
y
'
x
'
y











⇔ m = 1.
Vậy m = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3
3
1 2 2 1x x+ = −
.
GIẢI
Đặt
3
2x - 1 = t
⇒ 2x - 1 = t
3
.
Ta có hệ
3
3
x + 1 = 2t
t + 1 = 2x


- 1 ± 5
x =
2





Vậy phương trình có 3 nghiệm: 1;
- 1 ± 5
2
.
C. Bài tập:
1.Giải các hệ phương trình sau:
Thái Thanh Tùng – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
8
www.VNMATH.com
a.
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y

+ =



x y
y x

+ =


+ =


d.
9 9
9 9
x y
y x

+ + =


+ + =


e.
2 2
2 2
x y
y x

+ =



a. Gii h vi m = 0.
b. Tỡm m h cú nghim duy nht.
3. Tỡm m h:
3 2 2
3 2 2
7
7
x y x mx
y x y my

= +


= +


cú nghim duy nht.
4. Gii cỏc phng trỡnh: a.
2
5 5x x+ + =
.
b.
3
3
3 3 2 2x x + =
.
2. Hệ ph ơng trình đối xứng loại 2, 3 ẩn: (Đọc thêm)
A. Dùng chủ yếu là phơng pháp biến đổi tơng đơng bằng phép cộng và thế. Ngoài ra sử dụng sự
đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải.
B. Ví dụ:

2 2
x + 2yz = x x + 2yz = x
x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV)
x =y x + y - 2z - 1 = 0 Giải (I):
(I)
2
x + 2yz = x
2y + z = 0
x = y






2
x + 2yz = x
z = - 2x
x = y



3 3 3
)
Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s
9
www.VNMATH.com
Làm tơng tự (II) có nghiệm (
2 -1 -1
; ;
3 3 3
);(
-1 2 -1
; ;
3 3 3
)
Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); (
1 1 1
; ;
3 3 3
)
Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0).
Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên.
VD2: Giải hệ phơng trình:
2 2
2 2
2 2
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1





1 = 0 (IV)
x + z - 1 = 0





Giải các hệ bằng phơng pháp thế đợc 5 nghiệm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1);
1 1 1
; ;
2 2 2

ữ

.
VD4: Giải hệ:
2
2
2
1
1
1
x y
y z
z x

= +



+ + +
ữ ữ
ữ ữ

Tơng tự y=z, z=x ta cũng đợc nghiệm nh trên.
TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau .
Giả sử x>y>z ,xét hàm số f(t) = t
2
trên D =
[
)
1; +
a) z
0

, x>y>z
0

f(x)>f(y)>f(z)y+1>z+1>x+1y>x>z(vô lý).
b) z<y<x
0

f(x)<f(y)<f(z)y+1<z+1<x+1y<z<x(vô lý).
c) x>0>z>-1 f(-1)>f(z) 1>x+1x<0 (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai.
TH2 vô nghiệm.
Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s
10
www.VNMATH.com

z x z x

+ =

+ =


+ =

Từ (1) x = 0, x = -1.
x = 0. Thay vào (2), (3) z=0.
x = -1. Thay vào (2), (3) vô lý
Vậy hệ có nghiệm (0,0,0)
Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0).
TH2: 3 số đôi 1 khác nhau.
Từ 2x + x
2
y = y thấy nếu x
2
= 1
2 = 0 (vô lý)
Vậy x
2
1 2x + x
2
y = y
2
2
1
x





=



Giả sử x > y > z (*). Xét hàm số:
f(t) =
2
2
1
t
t
xác định trên D = R\ {1}
f

(t) =
2
2 2
2( 1)
0
(1 )
t
t
+
>

với mọi tD

=

Thỏi Thanh Tựng Chuyờn : H phng trỡnh i s
11
www.VNMATH.com
Híng dÉn: §Æt
2
2
2
3 4
3 4
3 4
y x
x z
z y

= −

⇒ = −

= −


.
§a vÒ gi¶i hÖ
2
2
2
3 4
3 4

3 2
3 2
9 27 27 0
9 27 27 0
9 27 27 0
y x x
z y y
x z z

− + − =


− + − =


− + − =


5.
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2

( )
,
,
F x y A
G x y B

=


=


, trong đó
( ) ( ) ( ) ( )
, , ; , ,
n m
F kx ky k F x y G kx ky k G x y= =
.
2. Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) hoặc x = ty (y ≠ 0).
3. Ví dụ:
Giả hệ phương trình:
( )
2 2
2 2
2 3 9 *
4 5 5
x xy y
x xy y

− + =

3
t =
;
1
5
t =
.
• Với
2
3
t =
: ta có
3
2
y x=
, thay vào (*) ta được nghiệm (3;2), (−3;2).
• Với
1
5
t =
: ta có
1
5
y x=
, thay vào (*) ta được nghiệm
5 2 2 5 2 2
; , ;
2 2 2 2
   
−


− − =


3)
3 2
3 2
2 3 5
6 7
x x y
y xy

+ =


+ =



IV. Một số hệ phương trình khác:
Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải.
1.
2 2
2
( , )
2 1 2 2

+ + = −

∈

¡
x x y x y x
x y
x xy x
.
HD: Biến đổi hệ phương trình thành:
2 2
2
( ) 2 9
6 6
2
x xy x
x x
xy

+ = +


+ −
=


. ĐS: x = −4; y =
17
4
.
3.
( )
2 3 2
4 2


+ + + + =



−

+ + =


. Đặt:
2
u x y
v xy

= +

=

.
ĐS:
3
3
5
1
4
3
25
2





= +

.
HD: (1) ⇒
( )
1
1 0x y
xy
 
− + =
 ÷
 
. ĐS:
( )
1 5 1 5 1 5 1 5
1;1 , ; , ;
2 2 2 2
   
− + − + − − − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
5.
( )
1 4
4
2 2


+ = + +


.
HD:
( )
3 3 6
1 0y x y x y x y x− = − ⇒ − − − =
. ĐS:
( )
3 1
1;1 , ;
2 2
 
 ÷
 
7.
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x



.
HD: Tìm cách khử logarit để được:
x y=
. ĐS:
( ) ( )
1;1 , 2;2
.
Thái Thanh Tùng – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
13
www.VNMATH.com
9.
3
1 1 4
x y xy
x y

+ − =


+ + + =


HD: Đặt
t xy=
, bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm được t=3. ĐS:
( )
3;3
.

2, 22
4
m m≤ ≤ ≥
.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Thái Thanh Tùng – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
14