Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Bài 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy không bằng nhau. CMR: đường
thẳng nối hai đường chéo và 2 cạnh bên thì bằng nhau.

+ AB // CD: ⇒ = =
⇒ = . (1)
+Mặt khác : = = .
⇒ = . (2)
Từ (1)(2) ⇒ =
⇒ DN= NC
⇔ DN = NC
⇒ MA = MB

⇒ đpcm.
M
O
P
D
C
A
B
N
Bài 2: Các đường cao của tam giác nhọn ABC cắt nhau ở O. Trên đoạn OB và OC
lấy B, C sao cho = = 90 . CMR AB = AC .(bài 31)

∆ vuông ABC có: AB = AC.AN
(1)
∆ vuông ACB có: AC = AM.AB

Xét ∆ ANB và ∆ AMC có:
chung

1
2
1
E
C
O
A
K
B
-1-
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
⇒ = ⇒ KO = KA.KE (1)
Mà P k / = KB = KA.KE (2)
Từ (1), (2) ⇒ KO = KB ⇒ KO = KB (đpcm)
Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Từ M trên Ax kẻ tiếp
tuyến thứ 2 MC tới đường tròn, kẻ CH
⊥
AB. CMR: MB chia CH thành 2 phần
bằng nhau.
Ta có : = 90 (góc nt chắn )
⇒ = 90
= + = 90
+ = 90
Mà MC = MA (tính chất tiếp tuyến)
⇒ CMN cân vì C = N(cùng cộng với
C= 90 )
MN = MC ⇒ MN = MA
IC // MN : =
IM //AM : =
⇒ =

O
B
D
A
C
I
-2-
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Bài 6 : Từ 1 điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường
tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng đó qua các
trung điểm của AB và AC. Kể tiếp tuyến MK của đường tròn (O). CMR MK = MA.
Gọi I, H là giao điểm của BC và
đường thẳng đi qua trung điểm của
AB và AC với đường thẳng OA.
+ ∆ vuông OBA có :
OB = OI.OA
= (OH - HA)(OH + HA)
= CH - HA
⇒ HA = CH - OB = CH - R .
+ ∆ vuông AHM có :
MA = HA + MH
= OH - R + MH (1)
+ ∆ vuông OHM có :
OH + HM = OM (2)
Từ (1)(2) ⇒ MA = OM - R (*)
+ ∆ vuông OKM có :
MK = OM - OK = OM - R (**)
Từ (*)(**) ⇒ MA = MK
⇒ MA = MK
⇒ đpcm.

⇒ = 90 - (1)
Ta lại có + = 90
Từ (*) ⇒ + = 90
⇒ = 90 - (2)
Từ (1)(2) ⇒ = .
Xét ∆ CEM và ∆ DFN có :
= = 90
ME = DF
= (cmt)
⇒ ∆ CEM = ∆ DFB (g.c.g) ⇒ CE = DF ⇒ CF = DE (đpcm)

Bài 8: Cho 2 đường tròn (C) và (O’) cắt nhau ở A và B. Qua A kẻ 2 đường thẳng
CD và EF cắt (O) tại C và E, cắt (O’) tại D và F. Biết rằng = . CM CD = EF.

A
B
D
F
C
E
ABDF nội tiếp ⇒ = (cùng nhìn ) ; = = .
= + = + = (góc ngoài tam giác ) = (gt).
Mà = ⇒ = ⇒ ∆ BFD cân tại B ⇒ BF = BD.
Xét ∆ BEF và ∆ BCD có:
= (cùng nhìn )
BF = BD (cmt)
EBF = CBD (vì =+ = + =+ = + = ).
⇒ ∆ BEF = ∆ BCD.
⇒ CD = EF ⇒ đpcm.
Bài 9 : Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau ở C. Vẽ đường tròn

Giả sử (O,R) tiếp xúc với 2 cạnh AB, AC của
∆ABC và trung tuyến CM và BN.
Gọi I là giao của 2 trung tuyến.
Xét 2 tam giác ∆AMI và ∆ANI có:
A = A (t/c giao của 2 tiếp tuyến).
I = I (t/c giao của 2 tiếp tuyến).
cạnh AI chung.
∆ AMI =
∆
ANI (g.c.g)
⇒ AM = AN.
Mà M, N là trung điểm của AB và AC
⇒ AB = AC.
Vậy
∆
ABC cân tại A ⇒ đpcm.

1
2
2
1
I
N
M
A
B
C
Bài 12: Cho
∆
ABC, đường trung tuyến AM. Qua F nằm giữ B và M, vẽ đường

⊥
với đường thẳng thứ nhất cắt cả 2 cạnh kia của hình
vuông. CMR các đoạn của các đường thẳng đó, giới hạn bởi các giao điểm với các
cạnh của hình vuông bằng nhau.

Gọi : đường thẳng thứ 1 là d
d ∩ AB ≡ M ; d ∩ DC ≡ N.
đường thẳng thứ 2 là d.
d ∩ AD ≡ P ; d ∩BC ≡ Q.
Từ M kẻ MM’ ⊥ DC
Từ P kẻ PP’ ⊥ BC
Xét ∆ MNM’ và ∆ PQP’ có:
MM’ = PP’ = a.
= (góc có cạnh tương ứng vuông
góc MN ⊥ PQ(gt):
NM’⊥ QP’)
d
1
d
2
Q
B
A
D
C
M
M'
P
P'
⇒

M
C
B
A
C'
B'
Từ (1)(2)(3) ⇒ AB’ =AC’ ⇒ AB’ = AC’.
Bài 15 :
-6-
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
G
T
∆
ABC
Q là giao của phân giác góc B
và phân giác góc C.
a // BC.
a
∩
AC
≡
M
a
∩
AB
≡
N
Q
∈
a

BC
A
C
E
B
H
K
M
D
N
KL BC = HM +DN
Cm:
- Kẻ đường cao AP.
- Xét
∆
HMC và
∆
CPA ta có:
+ = 90
+ = 90
HC = AC (gt) (2)
Từ (1)(2) ⇒
∆
HMC =
∆
CPA (cạnh huyền góc nhọn)
⇒ MH = CP (*)
Tương tự ta có
∆
APB =

ABQ và
∆
BDF có : D
A
B
C
Q
E
F
K
AB = DB (gt)
AQ = BF = BC
= (cmt)
Vậy
∆
ABQ =
∆
BDF (c.g.c) ⇒ DF = BQ hay DF = 2BP (đpcm)
Bài 33 : Cho 1 tứ giác nội tiếp 1 đường tròn có hai đường chéo vuông góc. CMR
đường thẳng vuông góc với một cạnh và đi qua giao điểm của hai đường chéo thì
đi qua trung điểm cạnh đối diện.
+ = 90
+ = 90
⇒ = (1)
 ABCD nội tiếp : =
Từ (1)(2) suy ra : =
= (đđ)

⇒ =2 =2 mà = 2 (gt)
Mặt khác :
= (đđ) ⇒ =
⇒
∆
HDC cân tại D.
⇒ HD = DC (1)
3
2
2
1
1
1
1
1
A
B
C
E
H
D
F
Trong
∆
vuông AHC có : = 90 - .
Vì AH ⊥ AC ⇒ = 90 - mà = .
⇒ = ⇒
∆
AHD cân ở D ⇒ AD = HD (2)
Từ (1)(2) ⇒ HD = DC = AD (đpcm)

L
K
H
F
G
E
D
A
B
C
P
Ta có : HK // CE , HK = CE; KL // BG, KL = BG.
Mà CE = GB ⇒ HK = KL , HK ⊥ KL.
Vậy
∆
HKL vuông cân.
b. Giả sử P là đỉnh thứ 4 của hình vuông có 3 đỉnh là H, K, L.
HKLP là hình vuông ⇒ HD = HK = KL ; HP // KL. (1)
Mà KL//BG, KL = BG. (2)
Từ (1)(2) ⇒ HP // BG ; HP = BG.
Mà HE = HB (gt)
⇒ AP là đường trung bình của
∆
EBG ⇒ PE = PG.
Vậy P là trung điểm của EG.
-9-
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Bài 25 : Cho
∆
ABC, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho

= = 90 .
Xét
∆
vuông PHI và
∆
vuông QKI có:
IP = IQ (gt)
= (đđ)
⇒
∆
PHI =
∆
QKI (cạnh huyền - góc nhọn)

K
Q'
P'
H
N
M
I
A
B
C
P
Q
⇒ PH = QK.
Ta có : = (so le trong)
= (đồng vị)
= (

D’F’
⊥
AC. CMR : AC = EE’, AB = FF’.
-10-
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Bài 28 : Trên các cạnh của tam giác bất lỳ ABC và ở miền ngoài của tam giác vẽ
các tam giác đều ABC; ABC và ABC. CMR:
a. AA= BB = CC .
b. Các đường cao AA,BB, CC đồng quy tại O.
c.
∆
ABC là tam giác có 3 góc nhọn thì O nằm trong ta giác mà :
OA= OB + OC.
a. Thực hiện phép quay tâm A và B với góc quay 60
ta có :
Q : C → B
C → B
Q : CC → BB
⇒ CC = BB (1)
(CC , BB) = 60
Q : A → C
A → C
Q: AA → CC
⇒ AA = CC (2)
Từ (1)(2) ⇒ AA= BB = CC ⇒đpcm.

5
4
3
2

OA = OC = OC + CC = OC + OB ⇒ đpcm.
Bài 32: Cho 2 đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A, B. Qua A vẽ 2 cát tuyến CAD
và AEF (c và E
∈
(O)); D và F
∈
(O) góc = ). CMR CD = EF.

-11-
⇒ =
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Từ B kẻ BH ⊥ EF;
BK⊥ CD.
= (gt)
+ = + .
⇒ =
K
H
B
A
C
E
F
D+
∆
vuông AHB và
∆

Bài 34
GT

ABCD ngoại tiếp (O)
J, K, H, I lần lượt là tiếp
điểm của cạnh AB, BC,
CD, DA với (O).
JH = KI

j
O
A
B
D
C
J
I
K
H
KL =
+ = + (chắn hai cung bằng nhau).
Mà = (cùng chắn )
⇒ =
Xét
∆
IJH và
∆
IJK có : JI chung
IJH = JIK (cmt)
JH = JK

AND và
∆
DCK có = = 90
= (so le trong)
⇒
∆
AND ∽
∆
DCK
⇒ = (1)
Tương tự
∆
DMN ∽
∆
DKC (vì = = 90 ) (vì D = D )
⇒ = (2) mà = (3)
Từ (1)(2)(3) ⇒ DM = CK hay DE = AE + CK ⇒ đpcm
Bài 37 : Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm C và qua điểm đó kẻ đường thẳng CD
tạovới AB một góc tùy ý. Trên các đường phân giác của góc và lấy các điểm M
và N. CMR MN//AB thì CD chia đoạn MN thành hai phần bằng nhau.

4
3
2
1
1
1
C
O
N

Mà = ⇒ = (2 góc ở vị trí so le)
⇒ MO // AB (3)
Xét
∆
NOC có NO = CO ⇒
∆
NOC cân tại O
= = ( , ở vị trí so le trong ).
⇒ ON // AB (4)
Từ (3)(4) ⇒ MN // AB (**)
Từ (*)(**) ⇒ MN//AB thì MO = ON (đpcm)
Bài 43: Vẽ ra ngoài tam giác ABC (góc , < 90 O ) các tam giác vuông cân
ADB, ACE ( góc = = 90 ). Gọi I và K là chân các đường vuông góc kẻ từ D và
E đến BC. CMR : BI = CK.
2
2
1
1
1
A
B
C
D
E
I
K
H
Từ A kẻ AH ⊥ BC.
Ta có + = 90 ; + = 90
⇒ =

∆
ABC từ trung điểm D của BC kẻ 1 đường vuồn góc với phần giác
góc , đường phân giác đó cắt cạnh AM tại M và cạnh AC tại N. CMR BM =CN
-14-
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

M
N
H
I
D
A
C
B
Xét
∆
AHN có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác.
⇒
∆
AMN cân.
Từ B kẻ BI//MN ⇒ BM = IN (1)
+) Xét
∆
BCI có DN //BI ; BD = DC.
⇒ DN là đường trung bình.
⇒ IN = NC (2)
Từ (1)(2) ⇒ BM = NC ⇒ đpcm.
Bài 45: Cho
∆
ABC đều và một điểm D trên đoạn BC. đường thẳng đi qua D và

D
C
A
B
M'
M
K
N
KL CD = 2 AB
Từ B kẻ BM //AD.
⇒ P = P (1)
-15-
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Ta CM M là điểm duy nhất trên CD tm (1).
Thật vậy, Lấy N bất kì khác M không làm mất tình tổng quát .
Giả sử N nằm giữa M và C . Ta sẽ CM: P ≠ P .
Từ N kẻ NK // AB (k
∈
AB) rõ ràng B nằm giữa A, K vì M nằm giữa D, N.
P = P > P .
⇒ M là điểm duy nhất thỏa mãn (1).
Tương tự từ A kẻ AM’ // BC , cũng chứng minh M’ là điểm duy nhất thỏa mãn.
P = P .
⇒ Để thỏa mãn giả thiết để chu vi 3
∆
bằng nhau thì M ≡ M’ hay đó là điểm E.
⇒ AB = DE = EC = . ⇒ đpcm
-16-