Th viện SKKN của Quang Hiệu
/>Phần I : mở đầu
**********
I - Lý do chọn đề tài:
Toán học là nền tảng của các môn khoa học tự nhiên. Nó chiếm một vai trò quan trọng trong các trờng học và các lĩnh vực khoa học.
Đất nớc ta đã và đang bớc vào kỷ nguyên của khoa học và thông tin đòi hỏi mỗi chúng ta đều phải đầu t suy nghĩ để tìm ra những giải pháp tốt
nhất giúp các tài năng tơng lai của đất nớc mang lại ánh sáng trí tuệ để xây dựng một đất nớc phồn vinh theo kịp tốc độ phát triển nh vũ bảo cuả
thời đại.
Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu rất nhiều thể loại, đa dạng và phong phú. Trong đó Hình học là một bộ phận quan
trọng của toán học.
Hình học là một phân môn tơng đối khó đối với phần lớn học sinh. Thực tế cho thấy: Đứng trớc một bài toán chứng minh các quan hệ hình học,
nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu và giải quyết vấn đề này nh thế nào. Theo nh lời nhiều học sinh: Hình học quả thật là "Xơng".
Trong những năm đầu mới vào nghề, do cha có kinh nghiệm nên tôi chỉ cố gắng dạy đúng, đủ sách giáo khoa mà cha biết thông qua các bài tập
khác. Nhng rồi, phần do sự cố gắng của bản thân, phần do học hỏi các đồng nghiệp nên tôi đã có kinh nghiệm hơn, tôi đã mạnh dạn hệ thống một số cách
chứng minh các quan hệ hình học (Trong từng phần) để giúp học sinh thuận lợi hơn trong việc giải quyết các bài toán chứng minh hình học.
Sau đây tôi sẽ trình bày Một số phơng pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau.
Việc chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau là vô cùng cần thiết. Bởi vì chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau không chỉ đơn thuần là để
2 đoạn thẳng đó bằng nhau mà có đợc 2 đoạn thẳng bằng nhau còn giúp ta suy ra nhiều quan hệ khác. Ví dụ cân, đều, hình thoi, hình
vuông và ngợc lại chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau có quan hệ chặt chẽ với các quan hệ hình học khác. Nghĩa là thông qua
1 bài tập chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau ngời giáo viên có thể giúp học sinh hiểu sau, nhớ lâu, nắm chắc kiến thức đã học. Đó cũng là một
trong những lý do khiến tôi chọn đề tài này.
II - Phạm vi nghiên cứu:
1. Đối tợng: Học sinh đại trà khối 7- 8 - 9.
2. Giới hạn kiến thức: Chơng trình hình học THCS.
3. Tài liệu sử dụng và tham khảo:
1. SGK - SBT, sách ôn tập
2. Hình học cho tuổi trẻ (Tập 1,2, 3,4)
3. Một số vấn đề phát triển hình học các khối
- Toán nâng cao và các chuyên đề hình học các khối.
- Toán bồi dỡng hình học các khối.
4. Tuyển chọn những bài toán hay và khó hình học (Các khối)

- Liên hệ giữa cung và dây cùng:
+ Hai dây trơng 2 cung bằng nhau trong một đờng tròn.
+ Hai tính chất đờng nối tâm của 2 đờng tròn cắt nhau.
9. Dùng tính chất của:
- 2 tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm đến 1 đờng tròn.
- Đờng nối tâm của 2 đờng tròn cắt nhau.
Tuy nhiên việc phân chia rõ ràng bài tập này giải phơng pháp 1, bài toán kia giải bằng phơng pháp 2 là điều nhiều khi không thể giải
quyết đợc. Bởi vì để giải quyết 1 bài tập hình học, học sinh phải vận dụng rất nhiều kiến thức, kết hợp nhiều ph ơng pháp một cách linh hoạt,
sáng tạo.
Cũng có nhiểu bài toán lại có thể giải bằng nhiều cách khác nhau. Nói chung hình học cũng rất đa dạng và phong phú. Ta hãy bắt đầu
bằng những ví dụ đơn giản.
B - Các ví dụ:
1. Bài 1:
Cho góc xoy tìm tia Ox lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB; OC = OD. Gọi I là giao điểm của 2 đoạn
thẳng BC; AD. Chứng minh rằng:
a/ BC = AD
b/ IA = IB; IC = ID.
H ớng dẫn:
Có thể đa việc chứng minh 2 đoạn thẳng
bằng nhau về việc chứng minh 2 bằng nhau không ?
a/ OBC và OAD (chứa cạnh BC và AD)
Có bằng nhau không? Tại sao?
b/ nào chứa cạnh IA? nào chứa cạnh IB ?
2 đó có bằng nhau không? Vì sao?
Giải (Tóm tắt):
a. OBC = OAD (c.g.c) => BC = AD.
b. Từ (gt) => AC = BD.
Từ (a) =>

C =


Cx

I

A y

B
Hãy chứng minh điều đó.
Giải (tóm tắt):
BH là đờng trung trực của
AE => BA = BE (1)
AMB = IMC (c.g.c)
=> AB = IC (2)
Từ (1), (2) => BE = IC.
Vận dụng tính chất đờng trung bình của .
3. Bài 3 :
Cho hình thang ABCD, đờng phân giác của góc D cắt AB tại M
CMR: AM = AD.
H ớng dẫn:
Em có nhận xét gì về ADM? (cân)
Hãy chứng minh điều đó?
Giải (tóm tắt):
D1 = M1 (so le trong)

M

A DC

B
A
D
C
B
F
Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Đoạn thẳng CM và DN cắt nhau ở P.
CMR: AP = AB.
* Tìm tòi cách giải:
- Ngay từ khi vẽ hình ta đã nhận thấy AB và AP không phải là 2 cạnh tơng ứng của 2 bằng nhau nào. Có thể thay đoạn AB bằng
đoạn nào? AD bằng AP khi APD có gì đặc biệt.
* Phân tích bài toán:
- Trong hình vẽ đã có cặp nào bằng nhau? (BCM = CDN c.g.c)
=> C = D => CM DN.
- M là trung điểm của AB (gt) và ta chứng minh đợc CM DN.
Vậy nếu gọi I là trung điểm của CD thì AI có vuông góc với NẫI DUNG không? (có) vì sao? Nh vậy nếu ta chứng minh đợc PK = KD
thì APD cân tại A và AP = AD mà AD = AB => bài toán giải quyết xong.
* Mấu chốt của bài toán là chọn đoạn trung gian (AD) thích hợp và vận dụng linh hoạt các kiến thức trên cơ sở giả thiết của bài toán.
Giải (tóm tắt):
BCM = CDN (c.g.c) =>

giải quyết xong.
Giải (tóm tắt):
Nối BE, gọi I là trung điểm của BE.
=> IN, IM lần lợt là đờng trung bình của BED và BEC
=> IM//AC; IN//AB và IM = IN (= 1/2 BD hoặc CE)
=> IMN cân tại I
=>

IMN =

INM.
Mặt khác

IMN =

AQP và

INM =

APQ (đồng vị).
Nên

AQP =

APQ => APQ cân tại A => AP = AQ (đpcm).
7. Bài 7:
4
=> AP = AB (đpcm)
Cho 2 đờng tròn (O) và (O



BDG =

BAG ( 2 góc nh trên cùng chắn cung BG)


BGD =

BAC ( cùng bù với

BAD)
mà

BAG =

BAC (gt)
=>

BDG =

BGD => BG = BD.
Vậy CBD = EBG (g.c.g) => CD = EG.
Sau khi giải xong ta thấy còn có thể vận dụng cách khác.
* Có thể đa về trờng hợp bằng nhau của 2 vuông bằng nhau kẻ OM EG; O

H OM, kẻ O

N CD; OK O

N OK = 1/2 CD; O

BAG
mà

CAB =

BAG =>

E =

EPB
EGQP là hình thang cân => PQ = EG (2)
Từ (1) và (2) => đpcm.
Cách 3:
Sau khi hạ đờng cao BH CD, BKEG để giải quyết bài toán theo hớng tam giác đồng dạng ta lại nhận thấy có thể xét CD và EG là tổng của
các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một.
Giải:

B tia phân giác

CAG => BH = BK
=> CBH = EBK => CH = EK.
Chứng minh tơng tự ta chứng minh đợc DH = GK.
Suy ra: CD = EG.
L u ý: Còn có thể sử dụng tính song song để chứng minh.
C. Kết quả:
Tôi đã áp dụng phơng pháp hớng dẫn học sinh chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau vừa trình bày ở trên cho học sinh các khối 7,
8, 9 mà mình đã giảng dạy ( với mức độ phù hợp với trình độ học sinh từng khối, lớp). Sau khi áp dụng phơng pháp này, tôi thấy đã đạt đợc các
kết quả sau:
- Khi đứng trớc một bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, học sinh không còn cảm thấy lúng túng, mà đã biết định hớng
một cách cụ thể, rõ ràng các phơng pháp có thể để chứng minh bài toán.

và vận dụng hợp lý trong các dạng bài tập. Nếu làm đợc nh vậy. Hình học không còn là " Xơng"nữa.
Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi đã và đang thực hiện trong quá trình giảng dạy. Do nhiều nguyên nhân bài viết không tránh
khỏi những nhợc điểm. Kính mong các đồng nghiệp góp ý.
6