ĐỀ TÀI :
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
I- ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là môn khoa học các em học sinh đã được làm quen ngay từ
khi bắt đầu học từ trường tiểu học. Nó là bộ môn khoa học dễ gây hứng thú
cho các em, gây sự tò mò khám phá kiến thức để phát triển trí tuệ của các
em. Song bên cạnh đó cũng còn không ít học sinh học sinh bị ức chế khi học
bộ môn toán, thậm trí gây chán nản trong học tập, sợ hãi khi bước vào học
giờ Toán. Đặc biệt môn hình học các em bắt đầu làm quen từ bậc trung học
cơ sở các em lại càng cảm thấy khó khăn khi phải làm bài tập chứng minh
hình học, không biết bắt đầu bài chứng minh từ đâu, thậm trí gây hoang
mang cho các em. Là giáo viên dạy môn toán đã nhiều năm, đã tiếp xúc với
nhiều thế hệ học trò, qua thực tế giảng dạy, qua chấm bài của học sinh và
trao đổi với đồng nghiệp tôi đã đúc kết ra kinh nghiệm, muốn gây được sự
hứng thú cho học sinh khi học bộ môn Toán nói chung và làm bài tập hình
chứng minh nói riêng. Người giáo viên dạy bộ môn Toán khi truyền thụ
kiến thức cho các em phải để tự các em khám phá kiến thức trên cơ sở được
sự dẫn dắt của giáo viên để các em hiểu ngay được kiến thức cần truyền thụ
tại lớp. Ngoài ra để nhớ kiến thức được lâu biết vận dụng kiến thức đã học
vào giải quyết các bài tập ứng dụng thì người giáo viên phải biết trang bị
cho trò của mình phương pháp học bộ môn Toán như thế nào để kiến thức
Thầy trang bị đến đâu các em chiếm lĩnh đến đó, biết tích luỹ vào kho kiến
thức của mình từ đó khi làm các bài tập biết lấy ra kiến thức cần sử dụng để
giải quyết các yêu cầu của bài toán cho phù hợp và có hiệu quả nhất. Có
như vậy mới gây được sự hứng thú cho các em mỗi khi học môn Toán cũng
như các bộ môn khác, gây cho các em sự phấn khởi khi bước tới trường và
phát triển trí tuệ cho các em. Sau đây tôi trình bày cách dạy cho học sinh
giải quyết các bài tập hình học chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền
1
II- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :

5
4
1
2
H
G
C
D
B
E
F
L
M
3
AC của ABC làm cạnh
dựng các hình vuông
ABCF, ACGH ra phía
ngoài tam giác. Dựng
AD
⊥
BC, kéo dài DA
gặp FH tại M
KL: FM = MH
-Suy xét: Trong bài ra có nhiều góc vuông, các cạnh của hình vuộng lại
bằng nhau. Vì 2 = 3 ( do đều phụ với 1). Những đại lượng bằng nhau đó ta
phải lợi dụng. Nếu dựng FK
⊥
với DM sẽ có
∆
AFK =

BAD
=> FK =AD
Tương tự HL = AD
=> HK = HL
Từ một điểm ở ngoài đoạn thẳng dựng đường
thẳng vuông góc với đường thẳng đó)
Vì 3 góc kề bù nhau có 1 góc bằng 90
0
Vì hai góc nhọn của tam giác vuông
Cùng phụ với góc 1
Cùng bằng 90
0
Hai cạnh của hình vuông
Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
Theo cách chứng minh trên
Cùng bằng AD
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền
3
Ta có FKM = HLM
4 = 3
=>
∆
FMK =
∆
HML
=> FM = MH
Cùng bằng 90
0
Góc đối đỉnh

AC
⊥
BD. Qua E dựng
GE
⊥
CD.
KL AG = GB
4
A
D
C
GB
B
BG
E
F
2
1
3
4
5
 AG = GE
Tương tự GB = GE
AB = GB
- Bắc cầu
Hai cạnh của tam giác chắn 2 góc
bằng nhau.
Theo cách chứng minh trên.
3-Lợi dụng tam giác cân (Để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau)
Ta ghép 2 đoạn thẳng đó vào 2 cạnh của một tam giác và chứng minh cho

Chứng minh Lý do
Nối CD, OE,OB,OC
Ta có : OBD = OCE = 90
0
OAD = OAE = 90
0
Tứ giác ODAB nội tiếp
=> ODB = OAB = OEC
Ta có : OB = OC
=>
∆
OBD =
∆
OCE
=> OD = OE
OA = AE
Cho hai điểm kẻ được một đường thẳng
- Hai góc vuông ( Tính chất tiếp tuyến)
Hai góc vuông
Bài toán quĩ tích
Góc nội tiếp cùng chắn một cung
- Bán kính
- Trường hợp bằng nhau (GCG)
Hai cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng
nhau
Tính chất đường cao của tam giác cân.
4- Lợi dụng Hình bình hành ( để chứng minh hai đoạn thẳng bằng
nhau) ta có thể ghép hai đoạn thẳng đó vào hai cạnh đối diện của hình bình
hành hoặc 2 đoạn tạo nên đường chéo hình bình hành để kết luận chúng
bằng nhau.

- DG = DB
Mà CE = DB
DG = CE
Vì DG //CE
=>Tứ giác DGEC là hình bình
hành.
 Vậy DF = FE
Kẻ 1 đường thẳng qua một điểm song
song vớiđường thẳng đã cho.
( 2 góc đồng vị)
-Tính chất tam giác cân.
-Tính chất bắc cầu.
-2 cạnh đối diện của 2 góc bằng nhau
trong tam giác.
-Theo giả thiết.
Theo cách dựng
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và
bằng nhau.
Tính chất đường chéo hình bình hành.
5- Lợi dụng đường thẳng đi qua điểm giữa của 1 cạnh của tam giác và
song song với cạnh thứ hai thi đi qua điểm giữa cạnh thứ ba.( Định lí
đường trung bình của tam giác )
VD: Cho tam giác ABC có AB = AC , trên AB lấy D trên AC lấy E sao cho
BD = CE. Nối AE cắt BC tại F. Chứng minh DF = FE.
GT
∆
ABC , AB = AC
D
∈
AB, E

bằng nhau của một tam giác.
- Giả thiết
- Hiện hai cặp đoạn thẳng bằng nhau
- Giả thiết
- Tính chất bắc cầu
- Tính chất trong tam giác đường thẳng đi qua
điểm giữa một cạnh song song với cạnh thứ
hai thì đi qua điểm giữa cạnh thứ ba
6) Lợi dụng đoạn thẳng bằng nhau cho trước rồi biến đổi :
Ta dựa vào tính chất 1(gấp hai đoạn thẳng bằng nhau lên cùng một số lần,
hoặc cùng chia hai đoạn thẳng bằng nhau ra cùng một số lần thì được các
đoạn thẳng mới bằng nhau.( hoặc tổng hay hiệu hai cặp đoạn thẳng bằng
nhau tương đối một bằng nhau) từng đôi một thì bằng nhau.
Biến đổi các đoạn thẳng bằng nhau cho trước ta sẽ chứng minh được định lí.
7) Lợi dụng đại lượng bằng nhau trong đường tròn.
- Từ định lí “ Khoảng cách từ tâm đến hai dây cung bằng nhau thì bằng
nhau” “ Hai dây cung bằng nhau, tạo góc ở tâm bằng nhau, hay hai góc nội
tiếp bằng nhau thì hai dây cung tương ứng bằng nhau vv ”
Cuối cùng xin đưa ra một số bài tập quan trọng để các em học sinh vận
dụng các phương pháp chứng minh trên vào giải quyết bài tập.
Bài 1:

Cho hình bình hành ABCD, E và F là trung điểm của BC và AD.
Chứng minh rằng AF và DE chia AC thành ba phần bằng nhau.
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền
8
Bài 2:

Đường kính AB của một đường tròn tâm O và dây cung AC hợp
thành một góc 30

FG
⊥
DE. Chứng minh DG = GE.
Bài 7:

Cho
∆
ABC, đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Đường kính của
đường tròn ngoại tiếp là AF. Chứng minh rằng nếu HF cắt BC tại G thì HG
= GF.
II- KẾT LUẬN
Trên đây là một số phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng
nhau. Là người giáo viên đã dạy toán nhiều năm và qua sự trao đổi với đồng
nghiệp để các em học sinh say mê với môn học Toán và có hiệu quả cao thì
người giáo viên dạy học lĩnh hội kiến thức trên cơ sở học sinh khám phá xây
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền
9
dựng đồng thời phải làm cho học sinh hiểu biết, vận dụng thành thạo. Có
như vậy kiến thức của thầy truyền thụ mới đọng lại trong học sinh nếu
không “ Chữ thầy lại trả thầy” có như vậy thì chất lượng giờ dạy toán mới
cao và mới phát triển trí tuệ cho các em, giúp cho các em niềm đam mê khi
học toán.
Trên đây là một phần nhỏ kinh nghiệm dạy Toán nói chung và dạy bài
toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau nói riêng của bản thân đã qua
thực tiễn nhiều năm và đã đạt hiệu quả cao. Rất mong được sự tham gia góp
ý của đồng nghiệp để sáng kiến có chất lượng, hiệu quả cao./.
Cộng Hiền, ngày 2 tháng 1 năm 2009
Người viết
Ngô Công Văn
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền

lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT về tính trung thực của bản Cam kết này.
Cộng Hiền, ngày 08 tháng 2 năm 2009
Người cam kết
(Ký, ghi rõ họ tên)

Ngô Công Văn
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền
14
Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền
15