CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH HOC THCS
Chuyên đề I. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
1. Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. (lớp 7)
2. Hai cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân.(lớp 7)
3. Sử dụng tính chất trung điểm.(lớp 7)
4. Khoảng cách từ một điểm trên tia phân giác của một góc đến hai cạnh của góc.(lớp 7)
5. Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn
thẳng.(lớp 7)
6. Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau và ngược lại. (lớp 7)
7. Dùng tính chất bắc cầu.
8. Có cùng độ dài hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức.
9. Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau.
10. Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông, đường trung bình trong tam
giác.(lớp 8)
11. Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt.(lớp 8)
12. Sử dụng kiến thức về diện tích.(lớp 8)
13. Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường tròn.(lớp 9)
14. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn.(lớp 9)
15. Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn.(lớp 9)
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A.Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia
CB lấy điểm N sao cho BM= CN.
a) Chứng minh: AM = AN.
b) Kẻ BH
⊥
AM (H
∈
AM), CK
⊥
AN (K
∈


ABM v

ACN cú
AB = AC (GT)
ã
ã
ABM ACN
=
(CM trờn)
BM = CN (GT)


ABM =

ACN (c.g.c)


à
à
M N=




AMN cõn

AM = AN
b) Xột
HBM v KNC cú

Gii:

A
B
C
D

GV: V ỡnh Cng THCS Tõn Vit
2
E
Gi E l giao im ca AC vaứ BD
ECD cú : D
1
= C
1
(do
ã
ã
ACD BCD=
)
Nờn l tam giỏc cõn
Suy ra ED = EC (1)
Do
à
ả
1 1
B D=
( so le trong )
ả
à

Suy ra: MN = NB (2)
Từ (1) và (2) suy ra DM = NB.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có AD là phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vẽ
tia Dx cắt AC ở E sao cho góc CDE bằng góc BAC . Chứng minh rằng DB = DE.
HD
Kẻ DH và DK lần lượt vuông góc với AB và AC.
Vớ dụ 6. Cho
∆
ABC cân, AB = BC, trên AB lấy điểm D, trên AC kéo dài lấy điểm E sao
cho BD = CE, nối A với E cắt BC tại F. Chứng minh rằng DF = FE.
GT Cho
∆
ABC, AB = AC
BD = CE
DE cắt BC tại F
KL DF = FE
Dựng DG // AE, nếu chứng minh được tứ giác DGEC là hình bình hành thì DE và BC
nhất định cắt nhau tại F là trung điểm của DE. Muốn chứng minh cho DGEC là hình
bình hành chỉ cần có DG = CE là đủ. Vì DG //CE mà giả thiết cho DB = CE trước tiên
phải chứng minh
µ
·
B DGB=
. Ta đã biết DGB = ACB, Chứng minh được B = ACB,
nên
µ
·
B DGB=
có thể thành lập được.
Ví dụ 7.

Cho tứ giác ABCD có AD=AB=BC<CD. Hai đường chéo cắt nhau ở O.Gọi M là giao điểm
của 2 đường thẳng AD và BC. Vẽ Hình bình hành AMBK, Đường thẳng KO cắt BC tại N.
Chứng minh
a) O cách đều 3 cạnh của tam giác ABK
b) AM=BN
I. Phân tích tìm cách giải:
Bài toán cho AB = AD = BC thì ta sẽ nghĩ ngay dến việc vận dụng tính chất của tam giác cân.
Và còn nữa đề bài cũng cho AMBK là hình bình hành nên ta cần nhớ lại tính chất của 2 đường
thẳng song song. Sau khi vẽ hình ra giấy nháp rồi kết hợp các kiến thức về tam giác cân và tc
2 đường thẳng song song thì ta sẽ thấy ngay O là giao điểm các đường phân giác trong của
tam giác ABK. Chú ý rằng AM = BK nên để cm BN = AM ta đi chứng minh BN = BK hay
tam giác BNK cân. Khi nào thì tam giác BNK cân?

II. Lời giải tóm tắt:
Ta có: AO, BO lần lượt là tia phân giác của góc BAK, ABK.
Suy ra: KO la phân giác của AKB. Từ đó suy ra tam giác BNK là tam giác cân.
=> BN = BK = AM (đpcm)
III. Khai thác và mở rộng bài toán:
Ta thấy rất nhiều hình tứ giác có tính chất 3 cạnh liên tiếp bằng nhau cho nên bằng cách đặc
biệt hóa BT cho hình vuông, hình thoi, ta thu được 1 số bài toán tương tự như BT toán này.
Ví dụ 8.
Cho hình vuông ABCD. N là trung điểm BC. VẼ CK vuông góc DN tại K và cắt AB tại H.
Am vuông góc với DN tại M và cắt CD tại Q
Chứng minh
a) Q là trung điểm của DC, H là trung điểm của AB.
b) AK = BC .
GV: Vũ Đình Cương – THCS Tân Việt
4
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH HOC THCS
HD

⇒ MN là đường trung bình của ∆ABC
⇒ MN // BC và MN =
1
2
BC
Chứng minh tương tự:
GV: Vũ Đình Cương – THCS Tân Việt
5
K
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH HOC THCS
⇒ PQ // BC và PQ =
1
2
BC
⇒ MN // PQ và MN = PQ
⇒ MNPQ là hình bình hành (1)
Vì M, Q là trung điểm của AB và IB (gt)
⇒ MQ là đường trung bình của ∆ABI
⇒ MQ // AI ⇒ MQ // AH
mà AH ⊥BC (gt) ⇒ MQ ⊥ BC
Mặt khỏc: MN // BC (c/m trên)
⇒ MQ ⊥ MN (2)
Từ (1), (2) ⇒ MNPQ là hình chữ nhật
⇒ MP và NQ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
GV: Vũ Đình Cương – THCS Tân Việt
6
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH HOC THCS
II. Chứng minh hai góc bằng nhau.
1. Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. (lớp 7)
Ví dụ

M
N
A
B
D
C
P
M
N
I
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH HOC THCS
4. Sử dụng tính chất bắc cầu trong quan hệ bằng nhau.
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của goác A cắt CD ở M. Tia phân giác của
góc C cắt AB ở N. Chứng minh:
a) Góc MAN = góc NCM
b) AMCN là hình bình hành
M
N
B
A
D
C
HD Vì ABCD là hình bình hành (gt)
⇒ AB // CD và
µ
µ
A C=
⇒ AN // CM (1) và
·

Từ (1), (5) ⇒ AMCN là hình bình hành.
5. Hai góc ở vị trí đồng vị, so le trong.Hai góc đối đỉnh.(lớp 7)
6. Sử dụng tính chất hai góc cùng bù, cùng phụ với một góc khác.(lớp 6)
7. Hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng.(lớp 8)
Ví dụ:
Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh :
a) góc HBE = góc HCE.
b) góc HDE = góc HAE
8. Sử dụng tính chất về góc của các tứ giác đặc biệt.(lớp 8)
Ví dụ:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,
CD, DA. Chứng minh rằng góc EHG = góc EFG.
GV: Vũ Đình Cương – THCS Tân Việt
8
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH HOC THCS
F
G
H
E
A
D
C
B
9. Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.(lớp 9)
10. Sử dụng tính chất của góc ở tâm, góc nội tiếp, góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung
cùng chắn một cung trong đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau.(lớp 9)
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho tứ giác ABCD là hình thang cân (AB // CD và AB<CD), gọi O là giao điểm hai
đường chéo, M là giao điểm hai cạnh bên. Chứng minh rằng:
a) góc ACB = góc ADB

VI. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
1. Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC.
2. Chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt.
3. Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau.
4. Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song
với một đường thẳng thứ 3. (Tiên đề Ơclit)
5. Dùng tính chất đường trung trực: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai đầu đoạn thẳng.
6. Dùng tính chất tia phân giác: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai cạnh của một góc.
7. Sử dụng tính chất đồng qui của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam
giác.
8. Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt.
9. Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn.
10. Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau.
VII. Chứng minh Oz là tia phân giác của góc xÔy.
1. C/minh tia Oz nằm giữa tia Ox, Oy và xÔz = yÔz hay xÔz = xÔy.
2. Chứng minh trên tia Oz có một điểm cách đều hai tia Ox và Oy.
3. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy của cân.
4. Sử dụng tính chất đồng qui của ba đường phân giác.
5. Sử dụng tính chất đường chéo của hình thoi, hình vuông.
6. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn.
7. Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
VIII. Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
1. Chứng minh M nằm giữa A, B và MA = MB hay MA = AB.
2. Sử dạng tính chất trọng tâm trong tam giác.
3. Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, hình thang.
4. Sử dụng tính chất đối xứng trục và đối xứng tâm.
5. Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt.
6. Sử dụng tính chất đường kính vuông góc với dây cung trong đường tròn.
7. Sử dụng tính chất đường kính đi qua điểm chính giữa cung trong đường tròn.
IX. Chứng minh hai đường thẳng song.

¨ Hai tam giác vuông:
1. Trường hợp: c – g – c.
2. Trường hợp: g – c – g.
3. Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vuông.
4. Trường hợp: cạnh huyền – góc nhọn.
XIII. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
¨ Hai tam giác bất kỳ:
1. Dùng định lý 1 đường thẳng song song với 1 cạnh và cắt 2 cạnh còn lại của tam giác.
2. Trường hợp: c – c – c.
3. Trường hợp: c – g – c.
4. Trường hợp: g – g.
¨ Hai tam giác vuông:
1. Trường hợp: g – g.
2. Trường hợp: c – g – c.
3. Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vuông.
XIV. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
1. Chứng minh G là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.
2. Chứng minh G thuộc trung tuyến và chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1.
XV. Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
GV: Vũ Đình Cương – THCS Tân Việt
11
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH HOC THCS
Chứng minh H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác.
XVI. Ch. minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp trong .
1. Chứng minh O là giao điểm của hai đường trung trực trong tam giác.
2. Chứng minh O cách đều ba đỉnh của tam giác.
XVII. Chứng minh O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
1. Chứng minh O là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác.
2. Chứng minh O cách đều ba cạnh của tam giác.
XVIII. Chứng minh O là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC.

XX. Chứng minh các tứ giác đặc biệt.
¨ ¨ Hình thang:
Tứ giác có hai cạnh song song.
¨ Hình thang cân:
1. Hình hang có hai đường chéo bằng nhau.
2. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
GV: Vũ Đình Cương – THCS Tân Việt
12
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH HÌNH HOC THCS
3. Hình thang nội tiếp trong đường tròn.
¨ Hình thang vuông:
Hình thang có một góc vuông.
¨ Hình bình hành:
1. Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song.
2. Tứ giác có 2 cặp cạnh đối bằng nhau.
3. Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
4. Tứ giác có 2 cặp góc đối bằng nhau.
5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
¨ Hình chữ nhật:
1. Tứ giác có 3 góc vuông.
2. Hình bình hành có một góc vuông.
3. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
4. Hình thang cân có một góc vuông.
¨ Hình thoi:
1. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
3. H. bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.
4. Hình bình hành có một đường chéo là tia phân giác của một góc.
¨ Hình vuông:
1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

5. Sử dụng định lý: Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và góc xen giữa
không bằng nhau thì tam giác nào có góc lớn hơn thì cạnh đối diện lớn hơn và ngược lại.
6. Sử dụng quan hệ giữa đường kính và dây cung (cạnh).
7. Sử dụng quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (cạnh).
8. Sử dụng quan hệ giữa cung và số đo (độ) của cung trong đường tròn hay hai đường tròn
bằng nhau (cung)
9. Sử dụng quan hệ giữa dây và cung bị chắn (cung và cạnh).
10. Sử dụng quan hệ giữa số đo (độ) của cung và số đo của góc nội tiếp, góc ở tâm, …
GV: Vũ Đình Cương – THCS Tân Việt
14