Vấn đề 2. CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:
1. Chứng minh các đường thẳng là những đường đặc biệt của tam giác:
Ví dụ 1. Vẽ ra phía ngoài ∆ABC các hình vuông ABDE và ACFK. Chứng minh
rằng:
a) EK vuông góc với trung tuyến AM của ∆ABC và EK = 2AM.
b) Nếu I là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAKI thì I thuộc đường cao AH của
∆ABC.
c) CD = BI và CD ⊥ BI; BF = CI và BF ⊥ CI.
d) CD, BF, AH đồng quy.
2. Sử dụng tứ giác nội tiếp:
Ví dụ 2. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) và có H là trực tâm. Gọi A', B', C' là
điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB. Qua H, vẽ đường thẳng d bất kì. Chứng minh
rằng: Các đường thẳng đối xứng của d qua các cạnh của ∆ABC đồng quy tại một
điểm trên (O).
3. Chứng minh các đường thẳng chia một đoạn (trong hoặc ngoài) theo các tỉ số
bằng nhau:
Chú ý: Các khái niệm đường thẳng chia trong (ngoài) một đoạn thẳng.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng: Trong một tứ giác bất kì, các đoạn thẳng nối đỉnh tứ giác
với trọng tâm tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại đồng quy.
3. Sử dụng phép đối xứng:
Ví dụ 4. Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB tại các điểm A
1
và A
2
, B
1
và B
2
,
C

II. BÀI TẬP:
Bài 1. Cho ∆ABC. Vẽ ra phía ngoài ba tam giác đều ABC', BCA', CAB'.
a) Chứng minh rằng: AA', BB', CC' bằng nhau.
b) Chứng minh rằng: AA', BB', CC' đồng quy.
Vấn đề 2. CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY1
Thầy giáo : Nguyễn Ngọc Sơn CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10 - MÔN TOÁN
Bài 2. Cho ba đường tròn (O
1
), (O
2
) và (O
3
) có bán kính bằng nhau và bằng R, cùng
cắt nhau tại điểm O. Gọi giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn trên là A, B, C.
Chứng minh rằng:
a) Đường tròn qua A, B, C có bán kính R.
b) Ba đường thẳng xác định bởi tâm đường tròn này và giao điểm (khác O) của
hai đường tròn kia đồng quy.
Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB > CD). Gọi E là giao điểm hai cạnh bên AD và
BC; F là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng: AC, BD, CF đồng quy.
b) Biết diện tích hình thang bằng 1. Đường chéo hình thang có thể lấy giá trị
nhỏ nhất là bao nhiêu ?
c) Cho hình thang ngoại tiếp một đường tròn (O). Đáy AB, CD tiếp xúc (O) tại
M, N. Trên AB lấy điểm M' sao cho AM' = MB. Chứng minh rằng: AD, BC,
NM đồng quy.
Vấn đề 2. CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY2