A
M
B
C
K
I
O
H
M
E
N
B
C
A
L
D
I
P
H
 Q
F

Trường THCS Nhơn Phúc CHUYÊN ĐỀ TOÁN NÂNG CAO GV:Nguyễn Hồng Ân
Chuyên đề :
TOÁN CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM THUỘC MỘT ĐƯỜNG
TRÒN
I-MỤC TIÊU:
HS:Nắm vững các phương pháp chứng minh nhiều điểm thuộc một đường tròn.
HS:Có kỹ năng vận dụng các phương pháp vào bài tập môït cách linh hoạt
HS:Rèn luyện kỷ năng vẽ thêm đường phụ ,chọn phương án giải quyết phù hợp với
đề bài ,rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo.

kính MC => M,I,K,C cùng thuộc một đường tròn .
c) Từ câu a) => MIH = MAH (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung HM)
Từ câu b) => MIK+ MCK = 180
0
(Tính chất của tứ giác …).
Ta lại có MAH = MCK (cùng bù BAM)
=> MIH + MIK = 180
0
.Vậy H,I,K thẳng hàng .
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC, các đường cao AM,BN ,CP cắt nhau tại
H .
Gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm của BC,AC,AB .Gọi
(Q) là
1
x
D
A
B
 O
y
C
E
D
C
A
B
E
F
O

điểm của HB,HC tức là K,L cũng thuộc đường tròn (Q)
c) Ta có IMD = 90
0
= > M thuộc đường tròn đường kính ID tức là đường tròn
(Q). Tương tự N,P cũng thuộc đường tròn (Q).
Ví dụ 3:
Cho đường tròn tâm (O) và đường thẳng xy ở ngoài đường tròn đó .Từ O vẽ OA
vuông góc với xy ; Từ A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại B và C cắt xy
tại D và E .Chứng minh AD = AE .
HD:
Chúng minh :OAD = OBD = 1v
=> B,D thuộc đương tròn đường kính OD hay tứ giác OBAD
nội tiếp một đường tròn đường kính OD
Chứng minh:OCE =1v;OAE =1v
=> OCE + OAE =1v+1v= 2v
=> OCEA nội tiếp
Chứng minh OBD = OCE (g-c-g) => OD =OE
=> DA = AE
Ví dụ 4:Cho đường tròn tâm O AB là đường kính ta kẽ hai đường
thẳng cắt tiếp tuyến của đường tròn tại B ở E và F và cắt
đường tròn tại C và D .c/m tứ giác ECDF nội tiếp .
HD: Chúng minh CEF = CDA = > CEF + CDF = 2v
=> CEFD nội tiếp một đường tròn
Ví dụ5:
Trên đường tròn (O;R) đường kính AB , lấy hai điểm M,E theo thứ tự
A,M,E,B (hai điểm M,E khác hai điểm A,B).AM cắt BE tại C ;AE cắt BM
tại D.
a) Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và
ABCD
⊥

H.Dẫn:
Câu a:Chứng minh tứ giác MCED nôi tiếp
Cm:CMD + CED = 1v+1v = 2v
Chứng minh:CD
AB
⊥
(Tính chất các đường cao trong tam giác)
Câu b: Chứng minh hai tam giác BEA và BHC đồng dạng
=> BE.BC = BH.BA
Câu c: Chứng minh IM là tiếp tuến của (O)
Ta chúng minh:IMD =MAB => MI là tiếp tuyến của (O)
Tương tự chúng minh trên ta cũng C/m được IE là tiếp tuyến của (O)
Câu d:Tính diện tích tam giác ABC theo R
Tính CH =
31
3
+
R
Từ đó
31
3
31
3
.2
2
1
.
2
1
2

OAC cân tại O có OD
⊥
AC ,
⇒
MOD=DOA
DAMhayADDM
∆=⇒
cân
tại D
2)Dễ thấy
⇒∆=∆
)..( cgcCOEAOE
EAO=ECO =90
0
hay
EA
⊥
AB nói cách khác EA là tiếp tuyến chung của (O) và
(O’)
3
Trường THCS Nhơn Phúc CHUYÊN ĐỀ TOÁN NÂNG CAO GV:Nguyễn Hồng Ân
3)Giả sử AM cắt (O) tại N’ ,AOC=2AN’C
⇒
COH=CN’H Dẫn đến tứ giác
CHON’ nội tiếp trong một đường tròn ,từ đó ta có
NMANN ,,
'
⇒≡
Thẳng hàng .
4)Vẽ MK

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn tâm O .Trên cạnh
AB lấ điểm E và trên cạnh AC kéo dài về phía C lấy F sao cho BE = CF .Vẽ đường
kính AA’ của (O).
Chứng minh tam giác A’EF cân và tứ giác AEA’F nôi tiếp
Gọi I là giao điểm của EF và BC .Chúng minh IE =IF
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) H là trực tâm BD và CE là hai
đường cao
a) Chứng minh tứ giác ADEH nội tiếp
b) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua BC .Chứng minh rằng tứ giác
ABH’Cnội tiếp (O)
c) Chúng minh rằng :OA vuông góc DE
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A lấy D trên AB . vẽ đường tròn dường
kính BD cắt BC tại E và CD cắt đường tròn tại F AE cắt (O) Tại G
a) Chứng minh tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp
b) Chúng minh :FG//AC
c) Chúng minh 3 đường ED,CA,BF đồng quy tại một điểm.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A .Vẽ (O) tiếp xúc AB tại B và tiếp xúc AC
tại C.Trên cung nhỏ BC ở bên trong tam giác ABC lấy M vẽ MD,ME và MF lần
lượt vuông góc với BC ,ABvàAC.
a) Chứng minh rằng :Các tứ giác :MDBE và MDCF nội tiếp
b) Chứng minh rằng :MD
2
= ME.MF
c) Chứng minh rằng :M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
d) Gọi P và Q lầ lượt là giao điểm của BM với DE và MC với DF.Chứng
minh rằng :Tứ giác MPDQ nội tiếp
Bài 5: Cho (O;R),đường kính AB .Kẽ tiếp tuyến Bx . Mlà một điểm di động
trên Bx (M khác B).AM cắt (O) tạiN.Gọi I là trung điểm của AN.
a) C/m: Tứ giác BOIM nội tiếp
b) C/m:Tam giác IBN đồng dạng với tam giác OMB