Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
đề tài :
các phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
I- Đặt vấn đề
Toán học là môn khoa học các em học sinh đã đợc làm quen ngay từ
khi bắt đầu học từ trờng tiểu học. Nó là bộ môn khoa học dễ gây hứng thú
cho các em, gây sự tò mò khám phá kiến thức để phát triển trí tuệ của các
em. Song bên cạnh đó cũng còn không ít học sinh học sinh bị ức chế khi học
bộ môn toán, thậm trí gây chán nản trong học tập, sợ hãi khi bớc vào học giờ
Toán. Đặc biệt môn hình học các em bắt đầu làm quen từ bậc trung học cơ
sở các em lại càng cảm thấy khó khăn khi phải làm bài tập chứng minh hình
học, không biết bắt đầu bài chứng minh từ đâu, thậm trí gây hoang mang
cho các em. Là giáo viên dạy môn toán đã nhiều năm, đã tiếp xúc với nhiều
thế hệ học trò, qua thực tế giảng dạy, qua chấm bài của học sinh và trao đổi
với đồng nghiệp tôi đã đúc kết ra kinh nghiệm, muốn gây đợc sự hứng thú
cho học sinh khi học bộ môn Toán nói chung và làm bài tập hình chứng
minh nói riêng. Ngời giáo viên dạy bộ môn Toán khi truyền thụ kiến thức
cho các em phải để tự các em khám phá kiến thức trên cơ sở đợc sự dẫn dắt
của giáo viên để các em hiểu ngay đợc kiến thức cần truyền thụ tại lớp.
Ngoài ra để nhớ kiến thức đợc lâu biết vận dụng kiến thức đã học vào giải
quyết các bài tập ứng dụng thì ngời giáo viên phải biết trang bị cho trò của
mình phơng pháp học bộ môn Toán nh thế nào để kiến thức Thầy trang bị
đến đâu các em chiếm lĩnh đến đó, biết tích luỹ vào kho kiến thức của mình
từ đó khi làm các bài tập biết lấy ra kiến thức cần sử dụng để giải quyết các
yêu cầu của bài toán cho phù hợp và có hiệu quả nhất. Có nh vậy mới gây đ-
ợc sự hứng thú cho các em mỗi khi học môn Toán cũng nh các bộ môn khác,
gây cho các em sự phấn khởi khi bớc tới trờng và phát triển trí tuệ cho các
em. Sau đây tôi trình bày cách dạy cho học sinh giải quyết các bài tập hình
học chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
II- Giải quyết vấn đề :
Khi học hình học nếu chúng ta chỉ học thuộc lòng các tiên đề, các

của ABC làm cạnh
dựng các hình vuông
ABCF, ACGH ra phía
ngoài tam giác. Dựng
AD

BC, kéo dài DA
gặp FH tại M
KL: FM = MH
-Suy xét: Trong bài ra có nhiều góc vuông, các cạnh của hình vuộng lại bằng
nhau. Vì 2 = 3 ( do đều phụ với 1). Những đại lợng bằng nhau đó ta phải lợi
dụng. Nếu dựng FK

với DM sẽ có

AFK =

BAD, FK = AD. Tơng tự
dựng HL

DM đợc HL = AD, cuối cùng chỉ cần chứng minh

FMK =

HML là đợc.
Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền
2
5
4
1


AFK =

BAD
=> FK =AD
Tơng tự HL = AD
=> HK = HL
Ta có FKM = HLM
4 = 3
=>

FMK =

HML
=> FM = MH
Từ một điểm ở ngoài đoạn thng dựng đờng
thẳng vuông góc với đờng thẳng đó)
Vì 3 góc kề bù nhau có 1 góc bằng 90
0
Vì hai góc nhọn của tam giác vuông
Cùng phụ với góc 1
Cùng bằng 90
0
Hai cạnh của hình vuông
Trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông
Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
Theo cách chứng minh trên
Cùng bằng AD
Cùng bằng 90
0

C
GB
B
BG
E
F
2
1
3
4
5
Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
1 + 3 = 90
0
2+ 3 = 90
0
Nên 1 = 2
Nhng 1 = 4, 2 = 3
4= 5
AG = GE
Tơng tự GB = GE
AB = GB
Hai góc nhọn tam giác vuông
Cùng phụ với 3
2 góc đối đỉnh, nội tiếp cùng chắn
một cung.
- Bắc cầu
Hai cạnh của tam giác chắn 2 góc
bằng nhau.
Theo cách chứng minh trên.

D
x y
C
Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
Nối CD, OE,OB,OC
Ta có : OBD = OCE = 90
0
OAD = OAE = 90
0
Tứ giác ODAB nội tiếp
=> ODB = OAB = OEC
Ta có : OB = OC
=>

OBD =

OCE
=> OD = OE
OA = AE
Cho hai điểm kẻ đợc một đờng thẳng
- Hai góc vuông ( Tính chất tiếp tuyến)
Hai góc vuông
Bài toán quĩ tích
Góc nội tiếp cùng chắn một cung
- Bán kính
- Trờng hợp bằng nhau (GCG)
Hai cạnh tơng ứng của 2 tam giác bằng
nhau
Tính chất đờng cao của tam giác cân.
4- Lợi dụng Hình bình hành ( để chứng minh hai đoạn thẳng bằng

Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền
5
C
A
B
D
F
E
Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
- DG = DB
Mà CE = DB
DG = CE
Vì DG //CE
=>Tứ giác DGEC là hình bình
hành.
Vậy DF = FE
-2 cạnh đối diện của 2 góc bằng nhau
trong tam giác.
-Theo giả thiết.
Theo cách dựng
Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và
bằng nhau.
Tính chất đờng chéo hình bình hành.
5- Lợi dụng đờng thẳng đi qua điểm giữa của 1 cạnh của tam giác và
song song với cạnh thứ hai thi đi qua điểm giữa cạnh thứ ba.( Định lí đ-
ờng trung bình của tam giác )
VD: Cho tam giác ABC có AB = AC , trên AB lấy D trên AC lấy E sao cho
BD = CE. Nối AE cắt BC tại F. Chứng minh DF = FE.
GT


Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền
6
C
A
B
F
E
G
D
1
2
3
4
Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
Ta dựa vào tính chất 1(gấp hai đoạn thẳng bằng nhau lên cùng một số lần,
hoặc cùng chia hai đoạn thẳng bằng nhau ra cùng một số lần thì đợc các
đoạn thẳng mới bằng nhau.( hoặc tổng hay hiệu hai cặp đoạn thẳng bằng
nhau tơng đối một bằng nhau) từng đôi một thì bằng nhau.
Biến đổi các đoạn thẳng bằng nhau cho trớc ta sẽ chứng minh đợc định lí.
7) Lợi dụng đại lợng bằng nhau trong đờng tròn.
- Từ định lí Khoảng cách từ tâm đến hai dây cung bằng nhau thì bằng
nhau Hai dây cung bằng nhau, tạo góc ở tâm bằng nhau, hay hai góc nội
tiếp bằng nhau thì hai dây cung tơng ứng bằng nhau vv
Cuối cùng xin đa ra một số bài tập quan trọng để các em học sinh vận dụng
các phơng pháp chứng minh trên vào giải quyết bài tập.
Bài 1:

Cho hình bình hành ABCD, E và F là trung điểm của BC và AD.
Chứng minh rằng AF và DE chia AC thành ba phần bằng nhau.
Bài 2:

ABC đờng cao BD và CE, gọi F là trung điểm BC, từ F dựng
FG

DE. Chứng minh DG = GE.
Bài 7:

Cho

ABC, đờng cao AD và BE cắt nhau tại H. Đờng kính của đờng
tròn ngoại tiếp là AF. Chứng minh rằng nếu HF cắt BC tại G thì HG = GF.
II- Kết luận
Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền
7
Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2008 - 2009
Trên đây là một số phơng pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Là ngời giáo viên đã dạy toán nhiều năm và qua sự trao đổi với đồng nghiệp
để các em học sinh say mê với môn học Toán và có hiệu quả cao thì ngời
giáo viên dạy học lĩnh hội kiến thức trên cơ sở học sinh khám phá xây dựng
đồng thời phải làm cho học sinh hiểu biết, vận dụng thành thạo. Có nh vậy
kiến thức của thầy truyền thụ mới đọng lại trong học sinh nếu không Chữ
thầy lại trả thầy có nh vậy thì chất lợng giờ dạy toán mới cao và mới phát
triển trí tuệ cho các em, giúp cho các em niềm đam mê khi học toán.
Trên đây là một phần nhỏ kinh nghiệm dạy Toán nói chung và dạy bài
toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau nói riêng của bản thân đã qua
thực tiễn nhiều năm và đã đạt hiệu quả cao. Rất mong đợc sự tham gia góp ý
của đồng nghiệp để sáng kiến có chất lợng, hiệu quả cao./.
Cộng Hiền, ngày 2 tháng 1 năm 2009
Ngời viết
Ngô Công Văn
Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền

quyn s hu i vi mt phn hay ton b sn phm sỏng kin kinh nghim, tụi hon ton chu trỏch nhim trc
lónh o n v, lónh o S GD&T v tớnh trung thc ca bn Cam kt ny.
Cộng Hiền, ngy 08 thỏng 2 nm 2009
Ngi cam kt
(Ký, ghi rừ h tờn)

Ngô Công Văn
Ngời viết: Ngô Công Văn- Hiệu trởng trờng THCS Cộng Hiền
11