PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BT CHƯƠNG I
• Dạng 1: Xác định vận tốc góc trung bình (hoặc góc mà vật quay được); gia tốc
góc trung bình (hoặc độ biến thiên tốc độ góc) trong một khoảng thời gian.
Phương pháp giải
 Học sinh vận dụng các công thức:
ω
=
t∆
∆
ϕ
và
γ
=
t∆
∆
ω
để thực hiện yêu
cầu của đề bài.
 Khi giải các bài toán dạng này cần lưu ý học sinh phân biệt được 2 khái
niệm: góc mà vật quay được với toạ độ góc; nắm được ý nghĩa của vận
tốc góc trung bình, gia tốc góc trung bình.
Ví dụ 1: Tìm vận tốc góc trung bình của trái đất quay xung quanh trục của nó với
chu kì 24 giờ.
Giải
Theo đề ra ta có : ∆t = 24 giờ , ∆ϕ = 2π (rad)
Vận tốc góc trung bình của trái đất quanh trục của nó là:
ω =
t∆
∆
ϕ
=

22
0
sradsrad
tt
−≈
−
=
∆
−
=
∆
∆
π
ωω
ω
Dấu (-) cho biết cánh quạt đang quay chậm lại.
b) Thời gian để cánh quạt dừng lại kể từ khi vận tốc góc có giá trị 320 vòng/phút
được tính:
∆t =
1,5)(
60
2
.
11,0
)3200(
≈
−
−
=
∆

.
2
1
2
.
2
1






−
−
=
−
π
πγ
ωω
π
TB
(vòng)
≈
812(vòng)
• Dạng 2: Dùng các công thức của chuyển động quay đều, quay biến đổi đều để
tìm các đại lượng: toạ độ góc, góc quay, vận tốc góc, thời gian.
Phương pháp giải
 Sử dụng các công thức :
ω

ϕ
-
ϕ
0
) = 2
γ∆ϕ
 Trong quá trình vận dụng các công thức cần lưu ý :
+ Điều kiện áp dụng các công thức trên là : chuyển động quay biến đổi
đều (
γ
= hằng số), hoặc chuyển động quay đều (
γ
= 0).
+ Dấu của
ω
và
γ
được quy ước như sau:
Vật quay theo chiều dương:
ω
> 0
Vật quay theo chiều âm:
ω
< 0
Vật quay nhanh dần:
ωγ
> 0
Vật quay chậm dần:
ωγ
> 0

π
2
7,56

≈
9 vòng
Ví dụ 2: Một cái đĩa bắt đầu quay quanh trục của nó với gia tốc góc không đổi. Sau
5,0s nó quay được 25 rad.
a) Gia tốc góc của đĩa là bao nhiêu?
b) Vận tốc góc trung bình trong thời gian ấy là bao nhiêu?
c) Vận tốc góc tức thời của đĩa tại cuối thời gian t = 0,5s là bao nhiêu?
Giải
a) Gia tốc của đĩa :
γ =
25
25.2.2
2
=
∆
t
ϕ
(rad/s
2
) = 2 (rad/s
2
)
b) Vận tốc góc trung bình
ω
TB
=

(rad/s
2
) = 0,5 (rad/s
2
)
b) Góc mà bánh xe quay được trong 10s:
∆ϕ = ϕ - ϕ
0
= ω
0
t +
2
1
γt
2
∆ϕ = 5.10 +
2
1
.0,5.10
2
= 75 (rad)
c) Số vòng mà bánh xe quay được trong 10s:
≈=
∆
=
ππ
ϕ
2
75
2

−−
.
b) Sau khi tốc độ của đĩa bằng 0, đĩa sẽ quay nhanh dần đều với gia tốc góc γ =
0,35 rad/s
2
. Thời gian để đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương được tính:
∆t =
35,0
2.5.22
π
γ
ϕ
=
∆
≈
13,4 (s).
Thời điểm để đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương là: t = t
1
+∆t
≈
26,4(s)
Ví dụ 5: Tại thời điểm ban đầu một bánh đà có vận tốc góc 4,7 rad/s, gia tốc góc là -
0,25rad/s
2
và ϕ
0
= 0.
a) Đường mốc sẽ đạt được một góc cực đại ϕ
max
bao nhiêu theo chiều dương và tại

max
:
ϕ = ϕ
max
= ϕ
0
+ ω
0
t
1
+
2
1
γt
1
2

ϕ = 4,7.1,88 +
2
1
(-0,25).1,88
2
= 44,18 (rad)
b) Khi
max
2
1
ϕϕ
=
ta có:

n
2
2
==
ω
,
t
v
a
t
∆
∆
=
 Trong quá trình giải bài tập cần lưu ý:
- Trong chuyển động quay quanh một trục cố định của vật rắn thì các
điểm trên vật rắn:
+ Chuyển động trên các quỹ đạo tròn có tâm là trục quay.
+ Tại mọi thời điểm thì tất cả các điểm tham gia chuyển động quay
trên vật có cùng góc quay, vận tốc góc và gia tốc góc.
- Đối với vật rắn quay đều thì: a
t
= 0 nên a = a
n
Ví dụ 1: Một cánh quạt dài OA = 30cm quay với tốc độ góc không đổi ω = 20 rad/s
quanh trục đi qua O. Xác định tốc độ dài của một điểm M (thuộc OA) ở trên cánh
quạt cách A một khoảng 10 cm?
Giải
Khoảng cách từ M đến trục quay là:
OM = OA - MA = 20 cm = 0,2 m.
Tốc độ dài của M là:

22
2
1
2
2
sm
ar
a
n
n
===
ω
Ví dụ 3: Một bánh xe có bán kính R=10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung
quanh trục của nó với gia tốc bằng 3,14rad/s
2
. Hỏi, sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh?
b) Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên
vành bánh?
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên
vành bánh)?
Giải
a) Vận tốc góc sau giây thứ nhất:
ω = γt = 3,14.1 = 3,14 rad/s
Vận tốc dài của một điểm trên vành bánh xe:
a

α
n
a

tgα =
985,0
314,0
=
n
t
a
a
→ α= 17
0
46
’
 Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tìm vận tốc góc trung bình của:
a) Kim giờ và kim phút đồng hồ.
b) Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất (Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất một
vòng mất 27 ngày đêm).
c) Của một vệ tinh nhân tạo của Trái Đất quay trên quỹ đạo tròn với chu kì bằng 88
phút.
Đáp số: a) 14,5.10
-5
rad/s, 1,74.10
-3
rad/s; b) 2,7.10
-6
rad/s; c) 1,19.10
-3
rad/s.
2. Khi tắt điện thì một cánh quạt điện đang quay với tốc độ góc 20 vòng/phút dừng lại
sau 2 phút. Tính gia tốc góc trung bình.

a) Hỏi sau bao lâu thì đĩa dừng lại?
b) Đĩa quay được một góc bao nhiêu trước khi dừng?
Đáp số: a) t = 30s ; b) 1800rad.
7. Tìm vận tốc dài của chuyển động quay của một điểm trên mặt đất tại Hà Nội. Biết rằng
vĩ độ của Hà Nội là
0
21=
α
Đáp số: v = R. ωcosα = 430m/s
8. Vận tốc của electron trong nguyên tử hyđrô là
scmv /10.8,2
3
=
.Tính vận tốc góc và gia
tốc pháp tuyến của electron nếu quỹ đạo của nó là một vòng tròn bán kính 0,5.1
-8
cm.
Đáp số: ω = 4,4.10
16
rad/s ; a
n
= 9,68.10
4
m/s
2
.
 Bài tập trắc nghiệm khách quan ( phụ lục - chủ đề 1)
2.7.2. Bài tập xác định mô men quán tính của một số vật đồng chất có hình dạng
hình học đặc biệt.
Phương pháp giải

+ Đĩa tròn, hình trụ đặc khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục
của nó: I =
2
1
mR
2
.
+ Thanh dài l, khối lượng m có trục quay trùng với trung trực của thanh:
I =
12
1
ml
2
.
+ Quả cầu đặc có trục quay đi qua tâm: I =
5
2
mR
2
.
Ví dụ 1: Một thanh đồng chất AB dài l = 1m khối lượng m
1
= 3 kg. Gắn vào hai đầu
A và B của thanh hai chất điểm khối lượng m
2
= 3kg và m
3
= 4kg. Tìm momen quán
tính của hệ trong các trường hợp:
a) Trục quay vuông góc với thanh tại trung điểm của AB.

3
= m
3
R
3
2
= m
3
4
2
l
Momen quán tính của hệ đối với trục quay (O):
I = I
1
+ I
2
+ I
3
=
12
1
m
1
l
2
+ m
2
4
2
l

1
m
1
l
2
Mô men quán tính của m
2
đối với trục quay (A): I
2
= 0
Mô men quán tính của m
3
đối với trục quay (A): I
3
= m
3
R
3
2
= m
3
l
2
Mô men quán tính của hệ đối với trục quay (A):
I = I
1
+ I
2
+ I
3

1
=
12
1
m
1
l
2
+ m
1
(
4
l
)
2
=
48
7
m
1
l
2
Mô men quán tính của m
2
đối với trục quay (O’):
I
2
= m
2
R

m
3
Hình 3
A
B
m
2
m
3
O’
Hình 4
G
Mô men quán tính của m
3
đối với trục quay (O’):
I
3
= m
3
R
3
2
= m
3
16
9
4
3
2
3

+
2
3
16
9
lm
= 2,875 2 kg.m
2
Ví dụ 2: Thanh mảnh có khối lượng M, dài L được gập thành khung hình tam giác
đều ABC. Tính mô men quán tính của khung đối với trục quay đi qua A và vuông
góc với khung.
Giải
Ta thấy:
m
AB
=

m
BC
= m
CA
= m = M/3.
l
AB
=

l
BC
= l
CA

2
Trong đó: I
(G)BC
=
2
12
1
ml
; AG =
2
3l
I
BC
=
2
12
1
ml
+ m.(
2
3l
)
2
=
2
6
5
ml
Suy ra: I = 2.
2

1
= 2 kg vào mép đĩa và vật m
2
= 3 kg vào tâm đĩa. Tìm
momen quán tính của hệ đối với trục quay vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?
Đáp số: a) 2,25 kg.m
2
; b) 6,25 kg.m
2
A
B
C
G
Hình 5
3. Sàn quay là một hình trụ, đặc đồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một
người có khối lượng có khối lượng 50kg đứng trên sàn. Tính mô men quán tính của
người và sàn trong 2 trường hợp:
a) Người đứng ở mép sàn
b) Người đứng ở điểm cách trục quay 1,0m.
Đáp số: a)250kgm
2
; b) 100kgm
2
.
 Bài tập dạng trắc nghiệm khách quan (xem phụ lục - chủ đề 2)
2.7.3. Bài tập áp dụng phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một
trục cố định.
• Dạng 1: Xác định gia tốc góc và các đại lượng động học khi biết các lực (hoặc
mô men lực) tác dụng lên vật, mô men quán tính và ngược lại.
Phương pháp giải

4,0
I
M
4rad/s
2
Tốc độ góc của đĩa sau 5s chuyển động là:
ω = γt = 4.5 = 20 rad/s
Ví dụ 2: Tác dụng một lực tiếp tuyến 0,7 N vào vành ngoài của một bánh xe có
đường kính 60cm. Bánh xe quay từ trạng thái nghỉ và sau 4 giây thì quay được vòng
đầu tiên. Momen quán tính của bánh xe là bao nhiêu?
Giải
Gia tốc góc của bánh xe được tính:
ϕ
-
ϕ
0
=
2
1
γ
t
2

→ γ =
)/(
4
)/(
4.4
2.2
)(2

Ví dụ 3: Một bánh xe chịu tác dụng của một mô men lực M
1
không đổi là 20Nm.
Trong 10 s đầu, tốc độ góc của bánh xe tăng đều từ 0 đến 15 rad/s. Sau đó mô men
lực M
1
ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm dần đều và dừng lại sau 30s. Cho biết mô
men của lực ma sát có giá trị không đổi trong suốt thời gian chuyển động bằng
0,25M
1
.
a) Tính gia tốc góc của bánh xe khi chuyển động nhanh dần đều và khi chậm dần đều.
b) Tính mô men quán tính của bánh xe đối với trục.
Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe:
- Giai đoạn quay nhanh dần đều:
2
1
01
1
/5,1 srad
t
=
∆
−
=
ωω
γ
- Giai đoạn quay chậm dần đều:
2

Mô men quán tính của đĩa là đối với trục quay trùng với trục hình trụ là:
I =
2
1
mR
2
= 1,55.10
-3
(kgm
2
)
Gia tốc góc của đĩa khi tăng tốc:
γ
1
=
== )/(
5
60/2.1500
2
1
srad
t
πω
)/(10
2
srad
π
Gia tốc góc của đĩa khi quay chậm dần:
γ
2

1
→ M
F
= I γ
1
- I γ
2
= I(γ
1
- γ
2
)
M
F
= 1,55.10
-3
(10π+
9
10
π
) (Nm) = 0,054Nm.
• Dạng 2: Xác định gia tốc góc, gia tốc dài trong chuyển động của hệ vật có cả
chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.
Phương pháp giải
Bài tập dạng này thường có tham gia ít nhất 2 vật : một vật chuyển động
quay và một số vật chuyển động tịnh tiến. Khi giải các bài tập loại này ta thực
hiện theo các bước sau:
 Biểu diễn các lực tác dụng lên các vật .
 Viết các phương trình động lực học cho các vật:
+ Đối với vật chuyển động quay: M = I γ


- Các lực tác dụng lên m gồm
11
,TP

Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật m:
mg – T
1
= ma (1)
Áp dụng phương trình động lực học cho vật rắn chuyển
động quay đối với M:
T
2
R = I
γ
=
γ
2
2
1
MR
(2)
Với
R
a
=
γ
, T
1
= T


NMaT 0,68,4.5,2
2
1
2
1
===
Ví dụ 2: Hai vật A và B có cùng khối lượng m = 1kg, được liên kết với nhau bằng
một dây nhẹ, không dãn, vắt qua ròng rọc bán kính R = 10cm và mô men quán tính I
= 0,050kgm
2
(hình vẽ). Biết dây không trượt trên ròng rọc. Lúc đầu, các vật được giữ
đứng yên, sau đó hệ vật được thả ra. Người ta thấy sau 2s, ròng rọc quay quanh trục
của nó được 2 vòng và gia tốc của các vật A, B là không đổi. Cho g = 10m/s
2
. Coi
ma sát ở trục ròng rọc là không đáng kể.
a) Tính gia tốc góc của ròng rọc.
b) Tính gia tốc của hai vật.
c) Tính lực căng của dây ở hai bên ròng rọc.
m
R
Hình 6
T
1
T
2
P
1
m

.
- Đối với ròng rọc: (T
A
– T
B
)R = I γ
→ T
B
= T
A
- I γ /R = 6,03 (N)
d) Hệ số ma sát được tính:
- Đối với vật B: T
B
– F
ms
= ma → F
ms
= T
B
– ma = 5,4 (N)
- Hệ số ma sát trượt giữa vật B và mặt bàn là: µ = F
ms
/mg = 0,55
Ví dụ 3: Cho cơ hệ như hình vẽ. Khối lượng của
các vật và ròng rọc lần lượt là: m
1
= 4kg, m
2
= 1



Các lực tác dụng lên m
2
gồm:
2
P

,
2
T

Các lực tác dụng lên ròng rọc gây ra mô men
đối với trục quay:
/
1
T

,
/
2
T

Áp dụng định luật II Niutơn cho vật m
1
và vật
m
2
ta được:
m

2
, a
1
= a
2
= a = Rγ, I =
2
2
1
mR
(4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có:
m
1
m
2
α
m
Hình 10
m
1
m
2
N

α
1
P

2

ms
Hình 9
γ =
)/(
)11.24.2.(1,0
)15,0.4(10.2
)22(
)sin(2
2
21
21
srad
mmmR
mmg
++
−
=
++
−
α
=
)/(
11
200
2
srad
a
1
= a
2

đổi. Để làm bài tập loại này ta cũng làm giống như dạng 1 đó là:
 Xác định mô men lực tác dụng lên vật
 Áp dụng phương trình động lực học vật rắn chuyển động quay
 Dùng toán học tìm kết quả.
Ví dụ 1: Thanh đồng chất OA khối lượng m và chiều dài l
có thể quay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng với trục
quay (O) nằm ngang. Ban đầu thanh được giữ nằm ngang
rồi thả cho rơi. Tính gia tốc góc của thanh, gia tốc dài của đầu thanh tại thời điểm
bắt đầu thả.
Giải
Tại thời điểm thả để thanh chuyển động (thanh đang nằm
ngang), mô men lực làm thanh quay là:
2 2
l mgl
M P= =
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động
quay ta có :
M = Iγ →
M
I
γ
=
với
2
2
1 / 2 3
.
3 /3 2
mgl g
I ml

Hình 14
AO
Hình 12
•
A
O
P

Hình 13
•
Thanh được giữ ở vị trí nằm ngang, như trên hình vẽ 12, sau đó được buông ra. Tính
gia tốc của hai vật nặng và lực căng của dây treo khi các vật bắt đầu chuyển động.
Lấy g = 10m/s
2
.
Giải
Các lực tác dụng lên m
1
và m
2
như hình vẽ 13.
Áp dụng định luật II Niu tơn cho m
1
và m
2
ta được:
m
2
g - T
2

a
a
=
(4)
Từ (1),(2),(3),(4) với lưu ý m
1
=m
2
= m =100g ta có:
a
1
=
=
+
−
g
ll
lll
2
2
2
1
2
121
2
/
17
30
sm
a

T
2
= m
2
(g-a
2
) =
N
17
5
 Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Một bánh xe bán kính 0,20m được lắp vào một trục nằm ngang không ma sát. Một sợi
dây không khối lượng quấn quanh bánh xe và buộc
vào một vật, khối lượng 2,0kg. Vật này trượt
không ma sát trên mặt phẳng nghiêng 20
0
so với mặt
phẳng ngang với gia tốc 2,0m/s
2
. Lấy g = 10m/s
2
. Hãy
tính:
a) Lực căng của dây.
b) Mô men quán tính của bánh xe .
c) Tốc độ góc của bánh xe sau khi quay từ nghỉ được 2,0s.
Đáp số: a) 2,7N; b) 0,054kgm
2
; c) 10rad/s
2

một chiếc bàn. Vật 1,5 kg ở trên bàn (hình 15). Ròng rọc có
mô men quán tính 0,125kg.m
2
và bán kính 15cm. Giả sử
rằng dây không trượt trên ròng rọc, ma sát ở mặt bàn và ở
trục ròng rọc là không đáng kể. Hãy tính:
a) Gia tốc của 2 vật.
b)Lực căng ở hai nhánh dây.
Đáp số: a) a
1
= a
2
= 3,24m/s
2
; b)T
1
=13,1N; T
2
=4,86N
5. Thanh mảnh có chiều dài l, khối lượng m có trục quay nằm ngang cách một đầu của
thanh đoạn l/4. Ban đầu thanh được giữ nằm ngang, sau đó buông cho thanh chuyển
động. Tính gia tốc của thanh trong 2 trường hợp:
a) Ngay sau khi buông tay (thanh nằm ngang).
b) Thanh làm với phương đứng góc 30
0
.
Đáp số: a)
l
g
7

n
ω
n
. Do đó bài toán đi tìm mô men động lượng
trở thành bài toán xác định mô men quán tính và tốc độ góc của các vật.
 Nếu biết mô men lực và thời gian tác dụng của mô men lực thì:: M =
t
L
∆
∆
m
2
m
1
Hình 17
Ví dụ 1: Một đĩa tròn bán kính R = 20cm , khối lượng m
1
= 4kg quay quanh trục
thẳng đứng đi qua tâm với tốc độ góc
ω
= 2rad/s. Trên đĩa có
một thanh mảnh gắn chặt với nó, có khối lượng m
2
= 0,5kg,
dài 2R nằm trùng với đường kính của đĩa. Tính mô men động
lượng của hệ.
Giải
Mô men quán tính của hệ đối với trục quay thẳng đứng đi qua
tâm:
I =

ω
= (
2
1
m
1
R
2
+
3
1
m
2
R
2
)
ω

→
L = (
2
1
.4+
3
1
.0,5 ). 0,2
2
.2
≈
0,17kgm

lượng của chất điểm đối với trục quay được viết theo công thức: L = mv.r
= mr
2
ω
.
 Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng: L
hệ
= hằng số
 Từ phương trình định luật bảo toàn , ta dùng toán học để tìm kết quả.
Ví dụ 1: Một sàn quay có dạng một đĩa tròn đồng chất khối lượng M = 25 kg, bán
kính R = 2m. Một người khối lượng m =50 kg đứng tại mép sàn. Sàn và người quay
đều với tốc độ 0,2 vòng/s. Khi người đó đi tới điểm cách trục quay 1m thì tốc độ góc
của người và sàn bằng bao nhiêu?
Giải
Hình 18
Mô men quán tính ban đầu của hệ :
)(250250225
2
1
2
1
22222
1
kgmmRMRI
=⋅+⋅⋅=+=
.
Mô men quán tính của hệ khi người cách trục quay 1m:

).(100
4

1
= L
2
hay I
1
ω
1
=

I
2
ω
2
vßng/s5,0
100
2,0.250
2
11
2
===⇒
I
I
ω
ω
Ví dụ 2: Một người ngồi trên một chiếc ghế đang quay, hai tay cầm hai quả tạ, mỗi
quả 3,0kg. Khi người ấy dang tay theo phương ngang, các quả tạ cách trục quay
1,0m và người quay với tốc độ góc 0,75rad/s. Giả thiết mô men quán tính của hệ
“người + ghế” là không đổi và bằng 3,0kg.m
2
. Sau đó kéo quả tạ theo phương ngang

Do đó:
)/(9,1
54,3
75,0.9
2
11
2
srad
I
I
===
ω
ω
Ví dụ 3: Một đứa trẻ, khối lượng M đứng ở mép một sàn quay có bán kính và mô
men quán tính I. Sàn đứng yên. Bỏ qua ma sát ở trục quay. Đứa trẻ ném một hòn đá
khối lượng m theo phương ngang, tiếp tuyến với mép của sàn.Tốc độ của hòn đá so
với mặt đất là v. Hỏi :
a) Tốc độ góc của sàn quay.
b) Tốc độ dài của đứa trẻ.
Giải
Coi sàn, đứa trẻ và hòn đá là một hệ. Thời gian ném đá là rất nhỏ ta có thể bỏ qua
xung của mô men lực tác dụng vào hệ và coi mô men động lượng của hệ là bảo toàn
trong thời gian tương tác.
Mô men động lượng của hệ ngay trước khi ném đá là L
0
= 0 ( sàn, đứa trẻ, đá đứng
yên)
Mô men động lượng của hệ ngay sau khi ném đá là: L
hệ
= L

mvR
v R
I MR
ω
−
= =
+

Ví dụ 4: Một thanh mảnh, đồng tính, dài 0,5m, khối lượng 0,4kg. Thanh có thể quay
trên một mặt phẳng nằm ngang, quanh một trục thẳng đứng đi qua khối tâm của nó.
Thanh đang đứng yên, thì một viên đạn khối lượng 3,0g bay trên mặt phẳng ngang
của thanh và cắm vào một đầu thanh. Phương của vận
tốc của viên đạn làm với thanh một góc 60
0
. Vận tốc
góc của thanh ngay sau va chạm là 10rad/s. Hỏi tốc độ
của viên đạn ngay trước va chạm là bao nhiêu?
Giải
Mô men động lượng của đạn ngay trước va chạm:
L
1
= mv.
2
l
Sin60
0
= 3.10
-3
.
v



+
−
ω
l
mMl
Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng:
L
h
= L
1
→ v =
28,1
650,0
835,0
=
(m/s)
Ví dụ 5: Hai quả cầu, mỗi quả khối lượng M = 2,0kg được gắn ở hai đầu thanh
mảnh khối lượng không đáng kể dài 50,0cm. Thanh có thể quay không ma sát trong
mặt phẳng thẳng đứng quanh một trục nằm ngang đi
qua tâm của nó. Khi thanh đang nằm ngang thì có một
cục matít có khối lượng m= 50,0g rơi vào một quả cầu
vào một quả cầu và dính vào đó. Tính tốc độ góc của hệ
ngay sau khi cục matít rơi vào?
Giải
Coi thanh với hai quả cầu và cục matít là một hệ. Vì thời gian va chạm là rất ngắn
và khối lượng của cục matít rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua xung của mô men lực tác dụng
vào hệ và coi mô men động lượng của hệ là bảo toàn trong thời gian va chạm.
60





=














+==
2Ö
2
l
M I víi

Theo định luật bảo toàn mô men động lượng :

( )
24
2

2
.
2. Một xi lanh đặc, đồng chất, khối lượng 10kg, bán kính 1m quay với vận tốc góc 7rad/s
quanh trục của nó. Một cục ma tít, khối lượng 0,25kg, rơi thẳng đứng vào xi lanh tại
một điểm cách trục 0,9m và dính vào đó. Hãy xác định vận tốc của hệ khi cục ma tít
dính vào.
Đáp số: 6,73rad/s.
3. Hai đĩa có ổ trục được lắp vào cùng một cái trục. Đĩa thứ nhất có mô men quán tính
3,3kgm
2
,

được làm quay với tốc độ 450vòng/phút. Đĩa thứ hai

có mô men quán tính
6,6kgm
2
,

được làm quay với tốc độ 900vòng/phút. Sau đó cho chúng ghép sát nhau để
chúng quay như một đĩa. Hỏi vận tốc góc sau khi ghép bằng bao nhiêu?
Đáp số: 750 vòng/phút.
4. Một sàn quay hình trụ khối lượng 180 kg và bán kính 1,2m đang đứng yên. Một đứa
trẻ , khối lượng 40kg, chạy trên mặt đất với tốc độ 3m/s theo đường tiếp tuyến với mép
sàn và nhảy lên sàn. Bỏ qua ma sát với trục quay. Tính:
a) Mô men quán tính của sàn.
b) Mô men động lượng của đứa trẻ.
c) vận tốc góc của sàn và đứa trẻ sau khi nó nhảy lên sàn.
Đáp số: a. 1300kg.m
2

2
.
 Nếu đề bài cho mô men quán tính và tốc độ góc thì ta áp dụng công
thức.
 Nếu đề bài chưa cho I và
ω
thì ta tìm mô men quán tính và tốc độ góc
theo các đại lượng động học, động lực học hoặc áp dụng các định luật
bảo toàn.
Ví dụ 1: Một sàn quay hình trụ có khối lượng 80kg và có bán kính 1,5m. Sàn bắt
đầu quay nhờ một lực không đổi nằm ngang, có độ lớn 500N tác dụng vào sàn theo
phương tiếp tuyến với mép sàn. Tìm động năng của sàn sau 3,0s.
Giải
Mô men quán tính của sàn đối với trục quay của nó:

( )
2
2 2
1 1
80 1,50 90
2 2
I mR kgm= = × × =
Mô men quay của lực tác dụng vào sàn:

500 1,50 750 .M F R N m= × = × =
Gia tốc góc của sàn sau 3s :
2
750 25
8,333 /
90 3

+
2
1
I
ω
2

và xác định các đại lượng trong
công thức để tìm động năng.
Ví dụ: Một cái đĩa hình trụ đặc khối lượng M= 1,4kg và bán kính R = 8,5cm lăn trên
một mặt bàn nằm ngang với tốc độ 15cm/s.
a) Vận tốc tức thời của đỉnh đĩa đang lăn là bao nhiêu?
b) Tốc độ góc của đĩa đang quay là bao nhiêu?
c) Động năng của đĩa là bao nhiêu?
Giải
a) Tốc độ của một vật đăng lăn là tốc độ khối tâm của nó. Tốc độ của đỉnh đĩa gấp
đôi tốc độ ấy nên:
v
đỉnh
= 2v
kt
= 2.15 (cm/s) = 30 (cm/s)
b) Tốc độ góc của đĩa đang quay là:
)/(
5,8
15
srad
R
v
kt

1
)
2
1
.(
2
1
ktkt
kt
MvMv
R
v
MR =+






→ W =
J024,0)15,0.(4,1.
4
3
2
=
• Dạng 3: Bài tập áp dụng định lí động năng trong chuyển động quay.
Phương pháp giải
Áp dụng công thức: A =
∆
W

2
→ I
1
ω
1
= I
2
ω
2

→ ω
2
=
)/(12,52.
)1540(
40
2
4
2
2
1
2
1
2
11
srad
mR
mR
I
I

-
2
1
2
1
2
1
ω
mR

Thay số: A = 0,06 (J)
Ví dụ 2: Công cần thiết để tăng tốc đều một bánh xe từ nghỉ đến tốc độ góc 200rad/s
là 3000J trong 10s. Tìm momen lực tác dụng vào bánh xe?
Giải
Theo định lý biến thiên động năng: A = ∆W
đ
= W
đ
-

W
đ0

→ A =
2
1
Iω
2

→ I =

= mgh
G
+
2
2
1
ω
I
= hằng số
Trong đó: h
G
= l(1-cos
α
) độ cao khối tâm của vật rắn so với mốc ta
chọn thế năng bằng 0, l là khoảng cách từ khối tâm đến trục quay,
α
là
góc giữa đường thẳng nối khối tâm và trục quay so với phương thẳng
đứng.
Ví dụ 1 : Một cái cột dài 2,5m đứng cân bằng trên mặt đất nằm ngang. Do bị đụng
nhẹ cột rơi xuống trong mặt phẳng thẳng đứng. Gia sử đầu dưới của cột không bị
trượt. Tính tốc độ của đầu trên của cột ngay trước khi nó chạm đất. Lấy g = 9,8m/s
2
.
Giải
Chọn gốc thế năng ở mặt đất. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho cột ở vị trí
thẳng đứng và ngay trước khi chạm đất ta có:
∆W
đ
= - ∆W

5,2.8,9.33 =gl
(m/s)
≈
8,6 (m/s)
Ví dụ 2: Một vật nhỏ khối lượng m trượt không ma sát trên một mặt cong. Vật va
chạm vào đầu một thanh đồng chất khối lượng M, dài l và dính
vào đó. Thanh có trục quay tại O nên đã quay đi một góc θ
trước khi tạm dừng lại (hình 20). Hãy tính θ theo các tham số
trên hình vẽ.
Giải
Mô men động lượng của vật ngay trước khi va chạm đối với trục
quay (o):
L
1
= mvl= ml
gh2
(1)
Mô men động lượng của hệ ngay sau va chạm:
L
h
=
ω






+
22



+ mlMl
=
mM
ghm
3
3
2
+
(4)
Khi vị trí thanh đạt góc θ (vận tốc góc bằng 0) thì áp dụng định luật bảo toàn cơ
năng:
=−






+ )cos1(
2
θ
gl
M
m
mM
ghm
3
3