Trường ĐHSPTN- Khoa Vật lý
Bài tập chuyên đề: Sử dụng phương pháp giản đồ véc tơ
quay giải bài toán dao động điều hòa

Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Quang Linh
Nhóm sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Miền
Nguyễn Thị Tân
Nguyễn Thị Hà My
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2010
Mục lục:
Nội dung Trang
Phấn A: Kiến thức cơ bản. 1
Phần B: Phân loại bài tập. 2
I. Các dạng bài tập cơ bản.
II. Phương pháp giải và một số bài tập minh họa.
Phần C: Bài tập. Bài toán tổng hợp. 13
Phần A: Kiến thức cơ bản:
• Cho một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương 0x có
phương trình: x = A cos(ωt+ ) 
• Có một hệ trục tọa độ như hình vẽ: - Để biểu diễn dao động điều hòa (1.1) người ta dùng một véc tơ
A
ur
có độ dài là
A(biên độ), quay đều quanh điểm O trong mặt phẳng chứa trục 0x với tốc độ
góc là ω.
- Ở thời điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục 0x và
A
ur

Dạng 2: Xác định vị trí tại thời điểm t bất kỳ.
3.
Dạng 3: Xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian ∆t.
4.
Dạng 4: Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ∆t.
5.
Dạng 5: Xác định thời điểm vật qua một vị trí cho trước.
6.
Dạng 6: Xác định số lần vật đi qua một vị trí bất kỳ trong khoảng thời
gian ∆t.
II. Phương pháp giải và một số bài tập minh họa:
1. Dạng 1: Xác định thời gian vật đi từ vị trí x
1
đến vị trí x
2
:
1.1. Phương pháp giải:
Cho phương trình dao động vật có dạng: x = A cos(ωt+) (cm)
Bước 1: Xác định vị trí x
1
trên đường tròn và
chiều chuyển động của vật(v
1
>0, v
1
<0).

Bước 2: Xác định vị trí x
2
trên đường tròn.

Xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = 2,5cm theo
chiều dương.
Giải:
Tại vị trí cân bằng có : x
1
=0 và v
1
>0, ứng với điểm J trên đường tròn.
- Tại vị trí x
2
=2,5 cm ứng với điểm N trên đường tròn.
- Biểu diễn dao động điều hòa trên đường tròn.
+Vật đi từ vị trí x
1
=0 đến vị trí x
2
=2,5 cm tương ứng với
một chuyển động tròn đều đi từ vị trí J → N với
vận tốc góc ω, bán kính A.
+Xác định góc
·
MON
= ; sin=
MN
ON
=
2,5
5
=
1

đh
↔ mg = k.∆l
↔ ∆l =
mg
k
→ω =
k
m
= 20 rad/s
2,5
-5
5
M
φ
O
N
H
2,5
Khi ấn xuống lò xo bị nén 6,5cm → khi đó vật ở li độ : x = l - ∆l = 6,5 - 2,5 = 4cm,
được cung cấp vận tốc v = 60cm/s.
Biên độ của dao động: A =
2 2
( )
v
x
ω
+
= 5cm
Phương trình dao động có dạng: x = Asin (ωt+) cm
Tại thời điểm t = 0 vật ở vị trí thấp nhất:

Ta có :  = t.ω → t =
α
ω
Khoảng thời gian vật bị nén trong một chu kỳ chính là
khoảng thời gian từ lúc vật đi từ li độ x = -2,5cm đến +5cm
theo chiều dương

4
3 3
15
rad
t s
π π
α π
α π
ω
⇒ = + =
⇒ = =
Vậy thời gian lò xo bị nén trong một chu kỳ là :t = π/15(s)
1.3. Bài tập vận dụng :
Bài 3: Cho con lắc lò xo có m = 250g, k = 100N/m. Tại thời điểm ban đầu kéo vật
cho lò xo giãn 7,5cm rồi buông nhẹ cho vật dao động điều hòa. Chọn trục tọa độ
theo chiều dương hướng lên, gốc thời gian là lúc thả vật.
1. Viết phương trình dao động của vật.
2. Tìm thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí buông tay tới vị trí không giãn và
không nén.
3. Tìm khoảng thời gian lò xo bị nén trong một chu kỳ.
Đáp số :1. x = 5sin(20t - π/2) cm.
2. Vị trí lò xo không giãn và không nén(∆l
0


2cm.
Đáp số : 1. ∆t =
8
π
(s).
Vật ở vị trí x = -2
2
tại các thời điểm :
∆t + nT =
8 5
n
π π
+
(s).
2. ∆t = π/20(s).
2. Dạng 2 : Xác định vị trí của vật sau khoảng thời gian ∆t.
2.1. Phương pháp giải:
Bước 1 : Xác định vị trí x
1
của vật tại thời điểm t
1
trên đường tròn và chiều chuyển
động của vật(v>0, v<0).
Bước 2 : Xác định góc quay của vật sau khoảng thời gian ∆t :  = ω.∆t
Bước 3 : Xác định vị trí x
2
của vật tại thời điểm t
2
trên đường tròn.

-8
O
N
P

Giải:
Tại t = 7/12(s) ta có góc
7 7
. 2 .
12 6 6
t
π π
ϕ ω π π
= = = = + Chia làm hai trường hợp :
- Nếu vật đi theo chiều dương :
Góc quay φ =
·
MON
, như hình bên.
Vậy vị trí của vật là: x = -3
3
(cm).
- Nếu vật đi theo chiều âm, ta có  =
·
1
M O∆
, tương tự ta

= n.T + t
0
, suy ra : S= 4n.A+ S
0
Bước 2: Tính S
0
: trường hợp đặc biệt:
- Nếu t
0
= T/4→ S
0
= A.
- Nếu t
0
= T/2→ S
0
= 2A.
- Nếu t
0
= 3T/4→ S
0
= 3A.
Trường hợp khác: trước tiên xét vị trí x
1
tại thời điểm t
1
trên đường tròn và chiều
chuyển động của vật (v>0, v<0). Sau đó xác định góc quay của vật trong khoảng
thời gian t
0

10 5
s
π π π
ω
= =

0
0
8 8 2
2 2
3 3 3
2.4
t
t T T T T t
T
S A S
∆
⇒ = ⇒ ∆ = = + = + ∆
⇒ = +
Tại t = 0:
1
1
10
0
x
v
= −


=

= 5 + 2.10 = 25cm.
→ S = 2.4.10 + 25 = 105cm.
Bài 2: Cho vật dao động điều hòa có phương trình : x = 8cos(3πt – π/2)cm. Tính
quãng đường vật đi được sau 11/18(s) kể từ thời điểm t = 0.
Giải:
Ta có: Tại t = 0: x = 0 và v < 0 → vật chuyển động theo chiều âm.
Tại t =
11
18
(s) :  = ω.t = π +
5
6
π
.
Từ giản đồ véc tơ có:  =
·
MON
, chiều dương
ngược chiều kim đồng hồ, suy ra quãng đường vật đi được:
S = 3A + 4 = 28 (cm)
Vậy quãng đường vật đi được sau 11/18 (s)
kể từ t = 0 là S = 28 (cm).
3.3. Bài tập vận dụng:
8
- 8
M
N
O
-10
10

2
= 0,6s.
Đáp số: a. x = 8cos(
2
5
3
t
π
π
+
)cm.
b. S = 32cm.
4. Dạng 4 : Tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ∆t.
4.1. Phương pháp giải: Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: nếu tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ∆t thì quy về
bài toán tìm quãng đường trong khoảng thời gian đó.
- Trường hợp 2: nếu tìm vận tốc trung bình trên đoạn đường S thì quy về bài toán
tính thời gian chuyển động của vật trên đoạn đường S.
4.2. Bài tập ví dụ:
Bài 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 2,5cos10πt(cm). Vận tốc
trung bình của chuyển động trong 1/8 chu kì kể từ lúc bắt đầu dao động là ?
Giải:
Ta có: t = 0
2,5
0
x cm
v
=

⇒

4.3. Bài tập vận dụng:
- 2,5
2,5
M
N
O
P
Bài 2: Một vật dao động điều hòa theo trục Ox, vận tốc của vật khi qua vị trí cân
bằng là 62,8 cm/s, và gia tốc cực đại của vật là 4m/s
2
, lấy
2
10
π
=
1. Viết phương trình dao động của vật. Gốc tọa độ tại VTCB, gốc thời gian la
lúc vật qua vị trí
5 2x = −
(cm) theo chiều dương
2. Tìm vận tốc trung bình của vật trên đoạn đường từ lúc vật bắt đầu dao động
đến vị trí có li độ
5 2
cm lần thứ 2 theo chiều dương.
Đáp án: 1.
10sin(2 )
4
x t cm
π
π
= −

Bước 3: Nếu tìm thời điểm qua x
1
theo chiều âm ta làm như sau:
Xác định khoảng thời gian vật đi từ vị trí M
0
tới M
1
lần đầu tiên từ công thức:
.
Bước 4: Thời điểm cần tìm là:
(1).
Bài toán thường gặp: Vật đi qua vị trí x = x
1
lần thứ k theo chiều
Trong biểu thức(1) lấy n=k-1.
5.2. Bài tập ví dụ:
Cho một dao động điều hoà có phương trình:
6cos(2 )
3
x t cm
π
π
= +

Xác định thời điểm vật qua vị trí x=-3cm lần thứ 4 theo chiều âm.
Giải:
Dựa vào phương trình dao động ta xác định được vị trí ban đầu của vật là vị trí M
1

trên đường tròn.

= ∆ + = + =
5.3. Bài tập áp dụng:
Một vật dao động điều hòa có phương trình:
10cos(2 )
2
x t cm
π
π
= +
.
Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 5cm lần thứ 2009 và 2010 theo chiều dương.
Đáp số: t
1
=
12055
6
s
; t
2
=
12061
6
s
.
6. Dạng 6: Xác định số lần vật đi qua vị trí cho trước trong khoảng thời gian ∆t.
6.1. Phương pháp giải:
Cho một vật dao động điều hòa theo phương trình:
cos( )x A t
ω ϕ
= +

1
→ M
2
qua
vị trí x
0
n
0
lần(với n
0
= 0,1,2 ).
Suy ra số lần vật đi qua vị trí x
0
trong khoảng thời gian từ t
1
đến t
2
là: N = 2n + n
0
.
6.2. Bài tập ví dụ:
Bài 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình:
3sin(5 )
6
x t cm
π
π
= +
. Trong
một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, số lần chất điểm đi qua vị trí có li độ x = +1cm

từ thời điểm t
1
= 1/5(s) đến
t
2
= 13/15(s).
Giải:
- Tại thời điểm t
1
= 1/5(s) suy ra x
1
= 4cm theo chiều dương.
- Tại thời điểm t
2
= 13/15(s):
M
- 3
3
N
O
1
- A
A
M
1
O
M
2
x
1

3
π
vật chuyển động từ M
1
đến M
2
qua
vị trí
4 2x cm
=
2 lần, suy ra số lần vật đi qua vị trí
4 2x cm
=
từ thời điểm t
1
=
1/5(s) đến t
2
= 13/15(s) là: N = 2.1 + 2 = 4 lần.
6.3. Bài tập áp dụng:
Cho vật dao động điều hòa theo phương trình:
10cos(2 )
2
x t cm
π
π
= +
Xác định số lần vật đi qua vị trí x = 5cm trong khoảng thời gian từ t
1
= 1/2(s) đến

1
= -2cm đến vị trí x
2
=
2cm.
Đáp số: a. L = 40cm
b. x = 2
2
sin ( 10t +
4
π
) cm.
c. t =
8
π
(s).
d. t =
20
s
π
.
Bài 2: Cho con lắc lò xo như hình vẽ:
M = 100g, k = 25(N/m), g = 10(m/s
2
), π
2
= 10.
Kéo vật theo phương thẳng đứng hướng xuống dưới, kéo
khỏi vị trí cân bằng 2cm rồi thả có vận tốc 10π
3

2
ω π
=
(rad/s).
b. x = 4cm hoặc x = - 4cm.
c. x
t
= 0, v = 45(cm/s).
Bài 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = A cos(
3
t
π
ω
+
)cm. Kể từ
thời điểm ban đầu, quãng đường vật đi được trong 1s là 2A và quãng đường vật đi
được trong 2/3s là 9cm.
a. Tìm biên độ và tần số góc của dao động.
b. Tìm li độ của vật khi động năng của nó có giá trị bằng 3 lần thế năng.
c. Tại thời điểm t vật đi qua li độ 3cm theo chiều dương. Tìm li độ và vận tốc
của vật trước đó 4/3s.
Đáp số: a. A = 6cm, ω = π (rad/s).
b. x =
3±
cm.
c. x
t
= 3, v = 11,25(cm/s).
Bài 5: Cho con lắc lò xo treo, lấy g = 10m/s
2

2
4cos(4 )
3
x t cm
π
π
= −
b.
2 1 1 7
12 2 12
n
t t s
π
ω
= ∆ + = + =
c. S = 4A = 16cm.
d. 1 lần.
Bài 6: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kỳ 4s, biên độ dao động là S
0
=
6cm; chọn t = 0 là lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Tính thời gian
ngắn nhất để con lắc đi từ:
a. Từ vị trí cân bằng đến vị trí S = 3cm.
b. Vị trí S = 3cm đến S
0
= 6cm.
Đáp số: a. t
min
= 1/3s
b. t