Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
1
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1. 1) Giả sử hàm RRf
2
: cho bởi công thức
( )





=+
+
+
=
0 0
0
,
22
22
22
2


=
1
1
12
1
0
Câu 2. Kí hiệu
1
l =
{ }






<=


=1
,;:
n
nnn
xNnCxxx
;
( )
,,
1
1

n
yy = thuộc
1
l .
Chứng minh rằng
a)
1
d ,
2
d lần lượt là các mêtric trên
1
l ;
b) không gian
( )
11
,dl đầy đủ ; khả li.
c) Không gian
( )
21
,dl không đầy đủ.
Câu 3. Giả sử
[ ]
1,0
C là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên
[ ]
1,0 với chuẩn sup
và A:
[ ]

1,0

fAfA
với mọi XA .
Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
2
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Gọi
1+n
E Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc
n
với hệ số thực. Trong
1+n
E cho các đa thức
( )
xu
k
với
nk
0
được xác định như sau:
0
0
=u ;

K= . Và là một song ánh.
c) Xác định ánh xạ

:
1+n
E
1+n
E bởi điều kiện

( )
[ ]
( ) ( )
xpxpxp += 1 ;
( )
1n
pxE
+
.
Hãy chứng minh

là một ánh xạ tuyến tính . Tìm nhân và ảnh của

. Tìm các đa thức
( )( )
xu
k
; nk ,,2,1,0 K= .
Câu 2. a) Cho G là một nhóm Xyclic. Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic.
b) Gọi
x là phần tử sinh của nhóm Xyclic G. Hãy tìm tất cả các nhóm con của G đẳng

b) Tìm một cơ sở của R
3
mà đối với nó ma trận của
có dạng tam giác . Viết ma trận đó.
c) Giá trị riêng của có thay đổi không khi ta thay đổi cơ sở.
Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
3
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 1
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1. Cho hàm số
( )





=+
+
+
=
0 0
0

n
x
.
Câu 3. Giả sử
( ){ }
niRxxxxR
in
n
,,2,1,:,,,
21
LK == } và
( )
1,0p . Vói mỗi tập
( )
n
xxx ,,
1
K= ;
( )
n
yyy ,,
1
K= ta đặt
( )

=
=
n
i
p

(
]











+
=

=
nn
Axifn
xif
xf
n
1
,
1
1

1,0 0
,
K,2,1=n

f không khả tích Lơ be trên Ă .
Câu 5. Kí hiệu
[ ]
1,0
C là không gian tất cả các hàm liên tục
[ ]
:0,1x Ă với bất kì
yx,
[ ]
1,0
C ta đặt
( )
[ ]
( ) ( )
0,1
,sup
t
dxyxtyt

=. Chứng minh rằng
a) ánh xạ
[ ] [ ]
1,01,0
: CCf cho bởi
()
[ ]
() ()
dssxtxf
t


n
n

=


.
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi:
1
2
n
n
x
n

=

.
c) Tính tổng của chuổi lũy thừa:
2
1
(1)
n
n
nnx


=
+


2
1
,
nn
n
dxyxy

=

=



với
{ }
n
xx = ;
{ }
n
yy = thuộc
2
l
a) Chứng minh rằng p, d là các metric trên
2
l .
b) ánh xạ đồng nhất
d
I :
22
(,)(,)ldlp là ánh xạ liên tục.

()fxC với mọi x E mà 1x . Chứng minh
rằng để f: E F bị chặn, điều kiện cần và đủ là f liên tục.
Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
5
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Giả sử V là không gian véc tơ thực n chiều và VVf
: là ánh xạ tuyến tính.
a) Chứng minh
( ) ( )
nfimf =+ kerdimdim .
b) Giả sử f đơn cấu. Chứng minh f là tự đẳng cấu của V.
c) Giả sử ff =
2
. Chứng minh Vfimf = ker .
d) Giả sử mọi véc tơ khác không của V đều là véc tơ riêng của f . Chứng minh rằng f
được xác định bởi
( )
xxf = ( là số thực cho trước).
Câu 2. Giả sử X là nhóm Xyclic cấp m và Ylà nhóm Xyclic cấp n. Chứng minh rằng:
a) Nhóm con của nhóm X là nhóm Xyclic.
b) X chỉ có một số hữu hạn nhóm con.
c) X

3
n
n
n
x
n

=



. (1)
a) Tìm miền hội tụ của chuỗi (1)
b) Tính tổng của chuổi (1) trong khoảng hội tụ của nó.
Câu 2. Cho hàm số
( )
1
y cos 0
,
x
0 0
x
fxy
x



=



n
xf
n
nếu
nếu
Chứng minh rằng
a)
( )
lim
n
x
fxx

= với
[ ]
1,0x
b)
1
lim
2
n
x
If

= trong đó
n
If là tích phân Lơbe của
n
f trên R,
[ ]


: xác định bởi công thức
()
1
3
n
n
n
x
fx

=
=

, với mọi
{ }
n
xx =

l , Hãy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên

l và tính
f .
Câu 5. Giả sử E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B là hình cầu đơn vị đóng trong E.
Chứng minh rằng với mọi x E, đều tồn tại y B sao cho xy = d(x, B).