GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Phơng trình nghiệm nguyên
A. Kiến thức cơ bản:
I. Một số ph ơng pháp th ờng vận dụng khi giải ph ơng trình nghiệm nguyên
1. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình tích:
Các ví dụ:
VD1: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: xy x y =2
Giải:
Viết PT về dạng: (x 1 )(y 1 ) =3
Do x, y

Z nên (x-1), (y-1)

Z và x-1, y-1 là ớc của 3
Do vai trò của x,y nh nhau nên không mất tính tổng quát g/s x

y
1 3 4
1 1 2
1 1
1 1 0
1 3 2
x x
y y
x y
x x
y y
= =

y x
y x y x
y x y x
+ + =
+ =
+ + + =
+ + > + >
Ta có:
2 2 1 2 2 1y x y x+ + > +
nên
5
6
6
2 2 1 23 2 12
6
2 2 1 1 2 1 11 5
6
6
6
x
y
x
y x y
y
y x x x
y
x
y
=




=


Vậy phơng trình có các nghiệm nguyên (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6)
2. Đ a về ph ơng trình tổng:
Các ví dụ:
VD1: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x
2
4xy +5y
2
=169
Giải:
Pt tơng đơng với: (x 2y)
2
+y
2
=169 =13
2
+0
2
=12
2
+5
2
Mà y

Z
+


=




=



=




Từ đó tìm đợc nghiệm nguyên dơng của PT: (26;13), (29;12) , (19;22), (22;5)
VD2: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
1
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9

1 10
1
7
x
y
z
+ =
+

3
) (x
2
+x+1)< 1+x+x
2
+x
3
<(1+x+x
2
+x
3
) +(5x
2
+11x+7)
Do đó x
3
<y
3
<(x+2)
3
suy ra y
3
=(x+1)
3
Từ đó suy ra x(x+1)=0
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là:
0 1
;
1 0
x x

chia
hết cho 2 suy ra y chia hết cho 2 mà y là số nguyên tố nên y=2
Vậy phơng trình có nghiệm: (3;2)
5. Ph ơng pháp chứng minh bằng phản chứng.
b. Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của pt: x
3
+2y
3
=4z
3
(1)
Giải:
Giả sử (x
0
;y
0
;z
0
) là một nghiệm nguyên của phơng trình (1) .
Khi đó x
0
chia hết cho 2 . đặt x
0
=2x
1
. Thay vào (1) ta có y
0
chia hết cho 2, đặt y
0
=2y

Vậy (x
0
;y
0
;z
0
)=(0;0;0)
B. Bài tập áp dụng
Bài1: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình:
a/ 5x-y=13
b/23x+53y=109
c/12x-5y=21
d/12x+17y=41
e/5x+10y=3
g/4x+12y=7
h/ 4x+11y=47
i/12x-7y=45
k/9x+10y=135
Bài2: Giải phơng trình nghiệm nguyên
a/ x
2
+91=y
2
e/ 2
m
-2
n
=1984 k/ x+y=xy
b/x
2

Bài3: Tìm nghiệm nguyên dơng :
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
2
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
a/2
x
+2
y
+2
z
=2336
b/x
2
(x+2y)-y
2
(y+2x)=1991
c/ xy -2x +3y =27
d/3x
2
+10xy+8y
2
=96
e/ 2
n
+12
2
=z
2
-3

+1)
Bài5: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình sau:
a/ 3x
2
+2y
2
+z
2
+4xy+2xz=26-2yz
b/ x
2
+y
3
-3y
2
=65-3y
c/31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)
d/ 55(x
3
y
3
+x
2
+y
2
)=229(xy
3
+1)
e/7(x
2

i/
2 2 2
1 2
1 1 1
1
n
x x x
+ + + =
Bài6: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT:

1
2
3
1 1
1
1 1
2
1 1
3
1
1
1
n
x
x
x
n
x
=
+ +

Bài8: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
a/
3
xy xz yz
z y x
+ + =
b/ y
3
-x
3
=3x
c/x
4
+x
2
+1=y
2
d/ (x+2)
2
-x
4
=y
3
e/x
3
-y
3
-2y
2
-3y-1=0

2
-y
2
+y+10
l/x
6
-x
2
+6=y
3
y
m/19x
2
+5y
2
+1995z=9
505
+3
n/x
2
+y
2
+z
2
=1980
o/
4 4 4
1 2 14
1999x x x+ + + =
Bài9: Chứng minh rằng các phơng trình sau không có nghiệm nguyên

3
=7
c/4xy-y=9x
2
-4x+2
d/
1980x y+ =
với x<y
e/xy
2
+2xy-243y+x=0
Bài11: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
a/ 19x
2
+28y
2
=729
b/x
2
+4y
2
=196
c/
13 7 2000x y =
d/
11
2 1 3 4 1 2
5
x
x y y + = +

4
+4y
4
+2z
4
=u
4
d/x
2
+y
2
+z
2
=x
2
y
2
e/ 1!+2!++x!=y
2
Ngày soạn :18/10/2008
Buổi 6 : Phơng trình vô tỉ

Phơng trình vô tỉ là phơng trình có chứa ẩn trong dấu căn
Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ
I. Ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:
Dạng1:
( ) ( )f x g x=

( ) ( ) 0
( ) ( )



+

+ = +

= +
= +


Để phơng trình có nghiệm thì 1
1 2 0 1m m
+

Dạng2:
2
( ) & ( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x conghia g x
f x g x
f x g x


=

=

Chú ý: Không cần đặt điều kiện
( ) 0f x

( ) & ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) & ( ) 0
( ( ) ( )) ( )
f x conghia f x
f x g x h x g x conghia g x
f x g x h x



+ =


+ =

Chú ý: Không cần đặt điều kiện
( ) 0h x
VD: Giải phơng trình:
4 1 1 2
1
1 0
1
1 1 2 4 1 2 0
2
1 1 2 2 (1 )(1 2 ) 4
(1 )(1 2 ) 2 1
x x x
x
x
x x x x x
x x x x x

2
x
x
x
x x
x
x x
x x x
x











+ =
=




+ =
= +



/ 4 1 1 2
/ 3 4 2 1 3
/( 3) 10 12
a x x x
b x x x
c x x x x
+ =
+ + = +
+ =

/ 2 1 1 1
/ 2 1 2 1 2
/ 6 9 6 9 6
d x x x
e x x x x
g x x x x
=
+ + =
+ + =

Bài3: Cho phơng trình:
2
1x x m =
a/ Giải phơng trình với m=1
b/ Giải và biện luận phơng trình

II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1:
VD1: Giải phơng trình:

2 2

-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
5
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
VD2: Giải phơng trình :
( ) ( )
2 2
2
4
4 4
2 1 3 1 1 0x x x+ + + =
Giải:
Vì x=1 không là nghiệm của phơng trình nên chia 2 vế của phơng trình cho
( )
2
4
1 0x
, ta đ-
ợc:
4 4
1 1
2 4 0
1 1
x x
x x
+
+ + =
+
Đặt t=
4 4

Vậy phơng trình vô nghiệm.
II. Phơng pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2:
VD: Giải PT:
3
2 1 1x x =
Giải:
Điều kiện : x-1

0
1x

Đặt
3
3 2
2
1
1, 0
u x
u v
v x v

=

+ =

=


. Khi đó ta có hệ:
3 2

=

=


Từ đó tìm đợc x=1; x=-2
Bài tập đề nghị:
Bài1: Giải các phơng trình sau:
2 2
2 2
2 2
2
/ 3 3 3 6 3
/ 2 5 2 2 2 5 6 1
/ 3 2 2 2 6 2 2
/( 5)(2 ) 3 3
a x x x x
b x x x x
c x x x x
d x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + + =
+ = +

( )
( )
( ) ( )
2
4 4 4


+ + + =

+
+ + =

Bài6: Giải các phơng trình sau:

( )
2 2
2 2
/ 1 2 2
/ 4 2 2 4
a x x x x
b x x x x x
= +
+ = + +

( )
2 2
3 3
/ 1 2 2
/ 4 1 1 2 2 1
c x x x x
d x x x x
=
+ = + +
Bài 7: Giải các phơng trình sau:
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50

3 3 3 3
3 3 3 3
/ 1 7 2 / 25 3 4
/1 16 3 / 4 6 1
a x x b x x
c x x d x x
+ + = + + =
+ = + + =

3 3
3 3
/ 2 1 1 / 24 12 6
/ 2 1 1 / 2 1 3
e x x g x x
h x x i x x
+ = + + =
+ = + + =
Bài11: Giải các phơng trình sau:
( ) ( )
2 2
3
2
3 3 3
3 3
3 3
3 3 3
3 3
/ 1 1 5 / 1 1 1 1
7 5
/ 1 2 3 0 6

/ 1 4 5
/ 3 1 4 13 5
/ 2 3 3 2
a x x x
b x x x
c x x
+ = + +
+ = +
+ =

(
)
2
3
3
3 33 3
4 9
/ 7 7 , 0
28
/ 1 2 2 1
/ 35 35 30
x
d x x x
e x x
g x x x x
+
= + >
+ =
+ =
III. Ph ơng pháp đánh giá:

Bài1: Giải các phơng trình sau:
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
7
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9

3 2 2
2
2
3 2 2
3 3
2 2 3 3 4 44 4
/ 2 7 11 25 12 6 1
1 1
/ 2 2 4
/ 1 2 2 1 2 2 1
3
/ 2 1 2 1
2
/ 2 5 3 3 2 6 1
/ 1 1 1 1 1 1 6
a x x x x x
b x x
x x
c x x x x
y
d y y y y
e x x x x x
f x x x x x x
+ = +

+
= +
+ + + =
Bài2: Giải các phơng trình sau:

2 2
/ 4 4 6 9 1
/ 4 4 9 6 1
/ 6 4 2 11 6 2 1
a x x x x
b x x x x
c x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + + + + =

2 2
2
/ 2 4 2 7 6 2 1
/ 6 2 1
/ 7 9 16 66
d x x x x
e x x x
g x x x x
+ + + =
+ =
+ = +
Bài3: Giải các phơng trình sau:

( )

n
> b
n
a > b <=> a
n
> b
n
với n lẻ .
h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 =>
3, Một số đẳng thức thông dụng :
a, Bất đẳng thức Côsi :
Với 2 số dơng a , b ta có :
ab
ba

+
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi : a = b
b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )
2


(a
2
+ b
2
)(x
2

2
+ z
2
+3

2(x + y + z)
Giải :
Ta xét hiệu : H = x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2( x + y + z)
= x
2
+ y
2
+ z
2
+3 - 2x - 2y - 2z
= (x
2
- 2x + 1) + (y
2
- 2y + 1) + (z
2
- 2z + 1)
= (x - 1)
2

Bài 2 :
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
9
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Cho a, b, c, d, e là các số thực :
Chứng minh rằng : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2


a(b + c + d + e)
Giải :
Xét hiệu : H = a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

b
a

2
)
2


0 với mọi a, b
Do(
c
a

2
)
2


0 với mọi a, c
Do (
d
a

2
)
2


0 với mọi a, d
Do (

2
22
22






+

+ baba
=
4
)2()(2
2222
bababa +++
=
0)(
4
1
)222(
4
1
22222
=+ baabbaba
. Với mọi a, b .
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng .
- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng

4ab
Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
10
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Bài 2: Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4
Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a)

a
3
b
3
c
3

Giải:
Từ : (a + b)
2


4ab , (a + b + c)
2
=
[ ]
cbacba )(4)(
2
+++
=> 16








+

+ baba
; trong đó a > 0 ; b > 0
Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0

3
33
22






+

+ baba






2
- ab + b
2



2
2






+ ba
4a
2
- 4ab + 4b
2


a
2
+ 2ab + b
2

3a
2
- 6ab + 3b
2

2
1
Giải :
Ta có : a
3
+ b
3
+ ab


2
1
<=> a
3
+ b
3
+ ab -
2
1


0
<=> (a + b)(a
2
- ab + b
2
) + ab -
2
1


<=> ( 2a - 1 )
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a
3
+ b
3
+ ab


2
1
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =
2
1
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
11
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức :
3
33
22










+






+
+






+ baba
baba
ba
<=>
2
22
2





3
33
22






+

+ baba
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b .
Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :

a
b
a




a
b
b
Giải :
Dùng phép biến đổi tơng đơng :

a
b


a
b
b
3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,
Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x
2
+ y
2


2xy
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
12
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Với a, b > 0 ,
2+
a
b
b
a
Các ví dụ :
Bài 1 : Giả sử a, b, c là các số dơng , chứng minh rằng:

2>
+
+

+
2
,
cba
c
ba
c
++

+
2
Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :
a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số dơng ).
Từ đó suy ra :
2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bài 2:
Cho x , y là 2 số thực thoả mãn :

x
2

+ y
2
)(1 - y
2
+ 1 - x
2
)
=> x
2
+ y
2


1
Ta lại có : (3x + 4y)
2


(3
2
+ 4
2
)(x
2
+ y
2
)

25
=> 3x + 4y

5
3
y
x
Điều kiện :
2
5
2
3
x
Bài 3: Cho a, b, c

0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
a,
6+++++ accbba
b,
5,3111 <+++++ cba
Giải
a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
( )
( )
( ) ( ) ( )






++++++++++++
222

b
b
;
1
2
1 ++
c
c
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

5,33
2
111 =+
++
+++++
cba
cba
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1
Vậy :
5,3111 <+++++ cba
Bài 4 : Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng :
9
111
++
cba
Giải :
Ta có :
0>+
a

c
a
b
a
=
++++++ )()()(3
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
9
111
++
cba
Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
Bài 5
a, Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng :
yxyx +

xy
2
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
14
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
=> (x + y)(
yx
11
+
)

4
=>
yx
11
+



yx +
4
b, Ta có : p - a =
0
2
>
+ acb
Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ;
áp dụng kết quả câu a , ta đợc ;
cbpapbpap

++

+

+

=> đIều phải chứng minh .
Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c .
Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :
- Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bài tập .
Các ví dụ :
Bài 1 : Cho 2 số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = 2 .
Chứng minh rằng : x
4
+ y
4


2
Giải
Theo tính chất bắc cầu ta có : (x
2
- y
2
)

0 x
4
+ y

2xy
2(x
2
+ y
2
)

(x +y)
2
2(x
2
+ y
2
)

4 Vì : x + y = 2
x
2
+ y
2


2 (2)
Từ (1) và (2) ta có : x
4
+ y
4


2

2
a
Giải :
Do a, b < 1 => a
3
< a
2
< a < 1 ; b
3
< b
2
< b < 1 ; ta có :
(1 - a
2
)(1 - b) > 0 => 1 + a
2
b > a
2
+ b
=> 1 + a
2
b > a
3
+ b
3
hay a
3
+ b
3
< 1 + a

thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý .
Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau , từ đó suy ra
đẳng thức cần chứng minh là đúng .
Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
+ Dùng mệnh đề đảo
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng .
+ Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngợc nhau .
+ Phủ định rồi suy ra kết luận .
Các ví dụ :
Bài 1 : Cho 0 < a,b,c,d <1 . Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức sau là sai : 2a(1
- b) > 1
3b(1 - c) > 2
8c(1 - d) > 1
32d(1 - a) > 3
Giải:
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
16
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Giả sử ngợc lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng về ;
ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3
=>
[ ][ ][ ][ ]
256
1
)1()1()1()1( > ddccbbaa
(1)
Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :



[ ][ ][ ][ ]
256
1
)1()1()1()1( > ddccbbaa
(2)
Từ (1) và (2) suy ra vô lý .
Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai .
Bài 2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau )
Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau :
2
1
<+
b
a
;
2
1
<+
c
b
;
2
1
<+
a
c
Giải
Giả sử tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức :


1
()
1
()
1
( <+++++
c
c
b
b
a
a
(1)
Vì a, b, c > 0 nên ta có :
2)
1
( +
a
a
;
2)
1
( +
b
b
;
2)
1
( +
c


2 .
Giải :
Giả sử : a + b > 2 => (a + b )
3
> 8
=> a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b) > 8
=> 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a
3
+ b
3
= 2 )
=> ab(a + b) > 2
=> ab(a + b) > a
3
+ b
3
( Vì : a
3
+ b
3
= 2 )
Chia cả hai vế cho số dơng a, b ta đợc :
ab > a
2
- ab + b

zyx ++
=> a =
2
xzy +
, b =
2
yxz +
, c =
2
zyx +
Khi đó :
VT =
ab
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
=
z
zyx
y
yxz
x
xzy

x
z
y
x
x
y
Bài 2 : Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức :
-
4
1
)1()1(
)1)((
4
1
2222
2222

++


yx
yxyx
Giải:
Đặt : a =
)1)(1(
22
22
yx
yx
++

1
baabba +
Mà : (a - b)
2
=
2
2
1
2
1






+

x
(a + b)
2
=
2
2
1
2
1




+
+
+
+
+ abccabbca
Giải :
Đặt : a
2
+ 2bc = x ; b
2
+ 2ca = y ; c
2
+ 2ab = z
Khi đó : x + y + z = a
2
+ 2bc + b
2
+ 2ca + c
2
+ 2ab
= (a + b + c)
2


1
Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z

1 .
Cứng minh rằng :


ơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức
Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chú ý :
BABA ++

Xảy ra dấu '' = '' khi AB

0
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
19
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9

0A
Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0
Ví dụ :
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = a
3
+ b
3
+ ab ; Cho biết a và b thoả mãn : a + b =
1 .
Giải
B = (a + b)(a
2
- ab + b
2
) + ab = a
2

Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x
2
+ x)(x
2
+ x - 4)
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
B = - x
2
- y
2
+ xy + 2x +2y
Giải
a, A = (x
2
+ x)(x
2
+ x - 4) . Đặt : t = x
2
+ x - 2
=> A = (t - 2)(t + 2) = t
2
- 4

- 4
Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 x
2
+ x - 2 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0 x = -2 ; x = 1 .
=> min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;

2
3
2
1
x
b, Tơng tự : minD = 9 khi : -3

x

2
c, minE = 4 khi : 2

x

3
Bài 4 : Cho a < b < c < d , tìm :
Minf(x) =
ax
+
bx
+
cx
+
dx
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
20
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Hớng dẫn : tơng tự : minf(x) = d + c - b - a khi b


y
+1
+
z
z
+1


2
)1)(1( zy
yz
++
Tơng tự :
y+1
1


2
)1)(1( zx
zx
++

z+1
1


2
)1)(1( yx
xy
++

+ b
2
+ c
2
) + (
222
111
cba
++
) + 6
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có :
(a.1 + b.1 + c.2)
2


3(a
2
+ b
2
+ c
2
)
=> a
2
+ b
2
+ c
2



++
)(a + b + c)
= 3 + (
a
b
b
a
+
) + (
b
c
c
b
+
) + (
c
a
a
c
+
)

3 + 2 + 2 + 2 = 9
=>
cba
111
++


9

Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
21
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9
Vy MinF = 33
3
1
khi : a = b = c =
3
1
.
Bi 7 : Cho G =
xyz
zxyyzxxyz 321 ++
Tỡm giỏ tr ln nht ca G :
Gii : Tp xỏc nh : x

1 ; y

2 ; z

3
Ta có : G =
x
x 1
+
y
y 2
+
z
z 3

=> G


32
1
22
1
2
1
++
Vậy MaxG =
32
1
22
1
2
1
++
đạt đợc khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6
Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H =
1x
x
với x > 1 .
b. Tìm giá trị lớn nhất của K =
2
1. xx

HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 :
II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình .
- Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất

+x
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
22
GIO N CHI TIT BI DNG HC SINH GII MễN TON LP 9


13( x - 1 +
4
1
) + 3(x + 1 +
4
9
) = 16x
Dấu '' = '' xảy ra






=+
=
2
3
1
2
1
1
x

2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4

32 x
+
x25


2
=> MaxL = 2 khi x = 2 .
b. TXĐ :
2
5
2
3
x

(*)
32 x
+
x25
= x
2
- 4x + 6
VP = (x - 2)
2
+ 2

2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
=> với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
=> phơng trình (*) có nghiệm x = 2 .


4 , dấu '' = '' xảy ra khi
x6
=
2+x
x = 2 .
=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm
Bài 4 : Giải phơng trình :

16123
2
+ xx
+
134
2
+ yy
= 5
HD :
16123
2
+ xx

2 ;
134
2
+ yy

3 => VT

5 .

Vớ d 1: Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
33)(/
2
++=
xxxfa
)5()(/ = xxxgb
Gii
4
3
2
3
4
3
4
9
2
3
233)(/
2
22
+






+=+++=++=
xxxxxxfa
Ta cú

3
khi
2
3
0
4
3
2
==






+ xx
Cỏch gii chung ca bi toỏn trờn l:
Ta bin i a thc ó cho v dng:
( )
[ ]
axh +
2
trong ỏ a l mt hng s. Vỡ
( )
[ ]
0
2
xh
nờn
( )

2
++ x
Vy: f(x) t GTLN bng 15 khi
( )
101
2
==+ xx
Cỏch gii chung ca bi toỏn trờn l:
Ta bin i a thc ó cho v dng:
( )
[ ]
axh +
2
trong ỏ a l mt hng s. Vỡ
( )
[ ]
0
2
xh
nờn
( )
[ ]
aaxh +
2
. Do ú GTLN ca biu thc ó cho bng a khi h(x) =0.
2/ Bi tp t gii:
Bi tp 1: Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau:
132)(
2
++= xxxf

55
1
2,1

= xkhi
b/ Gii phng trỡnh trờn khi f(x)=3
ỏp s: Phng trỡnh cú nghim
2
135
2,1

=x
Bi 4: Cho phng trỡnh
( ) ( )
01381
222
=++++ xmmxmm
Gi
21
, xx
l hai nghim ca phng trỡnh trờn. Tỡm GTLN v GTNN ca biu tng S=
21
xx +
ỏp s: S t GTLN bng
1323
3413
3
132



1
== yxkhi
Dng II: Cỏc bi toỏn m biu thc l phõn thc
ng li chung gii dng toỏn ny: Cho biu thc
)(
)(
xG
xF
A =
. Biu thc A t GTLN khi
F(x) t GTLN v G(x) t GTNN; biu thc A t GTNN khi F(x) t GTNN v G(x) t
GTLN.
1/ Vớ d:
Vớ d 1: Tỡm GTLN ca biu thc:
106
35183
2
2
+
+
=
xx
xx
A
Gii
( )
13
5
3
106

5
3 =+=A
khi
( )
303
2
== xx
Cỏch gii chung ca bi toỏn trờn l:
Ta thy bc ca t thc bng bc ca mu thc, ta thc hin phộp chia a biu
thc v dng A = M +
)(xf
N
(M, N l hng s). Do ú biu thc A t GTLN khi biu thc f(x)
t GTNN.
-
Sinh viên: Đoàn Thị ánh Nguyệt- Lớp Đại học liên thông toán Lý - K50
25