GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Suối Ngô, Ngày 17, 18, 19, 21, 24/09/2013

Chuyên đề 1: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
1/ Cho biểu thức f( x ,y, )
a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai
điều kiện sau đây được thoả mãn:
- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :
f(x,y )
≤
M ( M hằng số) (1)
- Tồn tại x
o
,y
o
sao cho:
f( x
o
,y
o
) = M (2)
b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu min f = m nếu hai
điều kiện sau đây được thoả mãn :
- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :
f(x,y )
≥
m ( m hằng số) (1’)
- Tồn tại x
o
,y

x -2 = 0
⇔
x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN
1/ Tam thức bậc hai:
Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax
2
+ bx + c .
Tìm GTNN của P nếu a
〉
0.
Tìm GTLN của P nếu a
〈
0
Giải : P = ax
2
+ bx +c = a( x
2
+
a
b
x ) + c = a( x +
a
b
2
)
2
+ c -
2

≥
0 , do đó P
≥
k. MinP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2
-Nếu a
〈
0 thì a( x +
a
b
2
)
2

`≤
0 do đó P
`≤
k. MaxP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2
2/ Đa thức bậc cao hơn hai:
Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7)
Giải : A = ( x
2
- 7x)( x
2

2
956
2
xx −−
. =
569
2
2
+−
−
xx
=
4)13(
2
2
+−
−
x
.
Ta thấy (3x – 1)
2

≥
0 nên (3x – 1)
2
+4
≥
4 do đó
2
1

≥
-
2
1
minA = -
2
1

⇔
3x – 1 = 0
⇔
x =
3
1
.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm GTLN của BT :
2
1
A
x 4x 9
=
− +
HD giải:
( )
2
2
1 1 1 1
A . max A= x 2
x 4x 9 5 5

2 x 2x 7
=
+ − + +
b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
12
683
2
2
+−
+−
xx
xx
.
Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
( ) ( )
2 2
2
2 2 1 4 4
2 1
x x x x
x x
− + + − +
− +
= 2 +
2
2
)1(
)2(

y
= (
y
1

-1)
2
+ 2
minA = 2
⇔
y = 1
⇔
x – 1 = 1
⇔
x = 2
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt:
2
2
1
P
1
x
x x
+
=
− +

2, (36/210) Tìm GTNN của bt :
2

2 1
E
2 4 9
x x
x x
+ −
=
+ +
c/ Các phân thức dạng khác:
Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A =
1
43
2
+
−
x
x
Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
3
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
A =
1
144
2
22
+
−−+−
x
xxx

x

≤
4
Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a,
2
A
2
x
x
=
+
b,
( )
2
3
2
B
2
x
x
=
+

3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a,
2
4 4
C
x x

Với x >
0
6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:
( )
2
2 17
2 1
x x
Q
x
+ +
=
+
Với x > 0
7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:
6 34
R
3
x x
x
+ +
=
+
Với x > 0
8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt:
3
2000
S
x
x

2
= 1 (1)
Mà (x – y)
2

≥
0 Hay: x
2
- 2xy + y
2

≥
0 (2)
Cộng (1) với (2) ta có 2(x
2
+ y
2
)
≥
1
⇒
x
2
+ y
2

≥

2
1

1
minA =
2
1
khi và chỉ khi x = y =
2
1
Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới
Đặt x =
2
1
+ a thì y =
2
1
- a . Biểu thị x
2
+ y
2
ta được :
x
2
+ y
2
= (
2
1
+ a)
2
+ (
2

= a 2 1 2 1 1 2011a b b ab a b− + + − + + − − + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 1
= a 1 1 1 1 2011− + − + − − − +b a b b
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
= a 1 1 1 1 2011− + − + − − +b a b
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
1 1 3 1
a 1 2 1 2011
2 4 4
b b b
a
− − −
= − + − + + +
( )
2
2
3 1
1
= a 1 + 2011
2 4
b
b
−
−
 

− + − + + − +
a ab b a b a b b ab b a b
b a b
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
5
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
 Min 2A = 4022 khi
a 1 0
1 0 1
2 0
b a b
a b
− =


− = ⇔ = =


+ − =

=> Min A = 2011
BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P =
2 2
3 3 3a ab b a b+ + − − +
Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT:
2 2 2
4 2 8 6 15 0x y z x y z
+ + − + − + =
Hướng dẫn Ta có:

− + − + − + ≥
Bài 4: CMR: Min A=2 Với A =
2 2
4 5 10 22 28m mp p m p− + + − +
Hướng dẫn Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
A = 4 4 2 1 10 20 27
= 2 2.5 2 25 1 2
= 2 5 1 2 2
m mp p p p m p
m p m p p
m p p
− + + − + + − +
− + − + + − +
− + + − + ≥
Bài 5: CMR: Max B = 4 Với
2 2
B 5 2 4 10 6a b a ab b= − − − + + −
Hướng dẫn Ta có:
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
6
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
2 2 2
B 4 4 6 9 2 4 1 4= − + − − + − − + − +a ab b b b a b
( ) ( )
( )

2 2
B = x 3 3 2029y xy x y+ − − − +
( Gợi ý
( ) ( ) ( )
2 2 2
B = x-y 3 3 2011y x+ − + − +
)
c)
2 2 2
C 4 9 4 12 24 30x y z x y z= + + − + − +
( Gợi ý
( ) ( ) ( )
2 2 2
C = x+2 2 3 3 4 1y z+ + + + +
)
d)
2 2
D= 20x 18 24 4 12 2016y xy x y+ − − − +
( Gợi ý
( ) ( ) ( )
2 2
D= 4x-3y 2 1 3 2 2011x y+ − + − +
)
Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn :
( )
2 2 2 2
a b c d a b c d+ + + = + +
(*)
Ta có :
( )

Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn :
( )
2 2 2 2 2
2a b c d e a b c d e+ + + + = + + +
Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn :
2 2
1a b ab a b+ + = + +
Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn :
2 2
4 4 4 4 4 4 0a b ab a b+ + − + + =
Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn :
2 2 2
4 2 8 6 14x y z x y z+ + = − + −
Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn :
2 2
5 4 10 22 25m p mp m p+ = − + +

Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
7
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị :
1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến
Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)
2
+ ( x – 3)
2

ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)
2
+ (y – 1)

x
+
=
+
(Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi
1
A
nhỏ nhất và
ngược lại)
Ta có :
1
A
=
2 2 4 2 2
4 4 4
( 1) 2 1 2
1
1 1 1
x x x x
x x x
+ + +
= = +
+ + +
.Vậy
1
A
≥
1
min
1

)
≥
( a+ b)
2
Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a
2
+ b
2
) ( c
2
+ d
2
)
≥
(ac + bd)
2

Ví dụ Cho x
2
+ y
2
= 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y
Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )
2

≤
( 2
2
+3
2

2
+ y
2
= 52 ta được 4x
2
+ 9x
2
= 52.4
⇒
x
2
= 16
⇒
x=4 hoặc x= -4
Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y
≥
0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y
≥
0
Vậy Max A = 26
⇔
x =4 , y = 6
3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau
- Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau
- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y
N∈
thoả mãn x + y = 2005
Giải : Ta có 4xy = (x + y)
2

+ =
Tìm GTNN của bt:
A = x y+
Do x > 0, y > 0 nên
1 1
0, 0
yx
> >
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số
1 1
,
x y
ta có:
1 1 1 1 1
.
2 x y x y
 
+ ≥
 ÷
 
Hay
1 1
4
xy
≥
=>
4xy ≥
Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 =>
0, 0x y≥ ≥
. áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
9
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014

2
2
1 3 3
x x 1 x x R
2 4 4
 
+ + = + + ≥ ∀ ∈
 ÷
 

Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số
2 2
x x 1, x x 1− + + +
ta có :
2 2 2 2 4 24
x x 1 x x 1 2 x x 1. x x 1 2 x x 1 2
− + + + + ≥ − + + + = + + ≥
 Max A = 2 khi
4 2
2 2
x x 1 1
x 0
x x 1 x x 1

+ + =


+ + = + + + −
 ÷  ÷
 
 
. Ta đã có
x y
2
y x
+ ≥
(do x, y >
0) nên để
chứng minh
x y z
3
y z x
+ + ≥
ta chỉ cần chứng minh :
y z y
1
z x x
+ − ≥
(1)
(1) ⇔ xy + z
2
– yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
⇔ xy + z
2
– yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm
được giá trị nhỏ nhất của

3
2
9
 
 ÷
 
khi và chỉ khi x = y = z =
1
3
.
VD 5: Tìm GTNN của
xy yz zx
A
z x y
= + +
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy :
xy yz xy yz
2 . 2y
z x z x
+ ≥ =
.
Tương tự :
yz zx zx xy
2z ; 2x
x y y z
+ ≥ + ≥
. Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
min A = 1 với x = y = z =
1

 

⇒ + + ≥ = ⇒ + ≥

 ÷
+
 

+ ≥


Ta có:
2 2 2 2
1 2 1 1 1 5
A 4xy 4xy
x y xy x y 2xy 4xy 4xy
   
= + + = + + + +
 ÷  ÷
+ +
   

=>
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
4 1 5 4 5 11
A 2 4xy. 2 11
x 2xy y 4xy
x y x y x y x y

11
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số
2x 1, x+2 +
Ta có:
( ) ( )
2x 1 x+2
2x 1 x+2
2
+ +
≥ +

Hay :
( ) ( )
3x 3
2x 1 x+2
2
+
≥ +
Dấu “ = ” xảy ra khi
2x 1 x+2 x=1
+ = ⇔
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số
x 3, 4 +
Ta có:
( )
x 3 4
4 3 2 3
2
x x

1 4 9
x + y + z
x y z
 
+ +
 ÷
 
=
4 4 9 9
1+4+9+
y x z y x z
x y y z z x
   
 
+ + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 
   
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương
4
,
y x
x y
ta có :
4 4
2 . 4
y x y x
x y x y
+ ≥ =

1
9
1
1
2
1
y x
x y
y
y x
y x
z y
z y
z x x
y z
x z
x y z
x z
x y z
z
z x
x y z

=


=

=


Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong
đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân
dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó:
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức
đó
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
12
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của
A 3 5 7 3x x= − + −
, ĐKXĐ :
3 5 0
5 7
7 3 0
3 3
x
x
x
− ≥

⇔ ≤ ≤

− ≥

Bình phương hai vế ta có : A
2
= 2 +
( ) ( )
2 3 5 7 3x x− −
Với

2
2 4 0
-x 2 8 0 2 4
1 2
1 2
1 2 0
-x 2 0
x x
x x
x
x
x x
x

+ − ≤

+ + ≥ − ≤ ≤

 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
  
− ≤ ≤
+ − ≤
+ + ≥





Khi đó

2
2
4 1 4 2 2x x x= − − + − + ≥
A =
2

( ) ( )
2
4 1 4 0x x x x⇔ − = + − ⇔ =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số :
1 1y x x= − + +
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số :
2 4y x x= − + −
Bài 3: Tìm GTLN của hàm số :
A 5 23x x= − + −
Bài 4: Tìm GTLN của hàm số :
A 2 3 23 2x x= − + −
Bài 5: Tìm GTLN của hàm số :
A 5 7 17 5x x= − + −
Bài 6: Tìm GTLN của hàm số :
A 3 2 20 3x x= − + −
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
13
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Bài 7:Tìm GTLN của :
A x 1 y 2= − + −
biết x + y = 4
Bài 8 Tìm GTNN của :
2 2

1
2 3
3
6
5x 5 5 30
x
x x
 
+
 ÷
 
≤ = =
Dấu “=” xảy ra khi
x - 9
3
18
3
9
x
x

=

⇔ =


≥

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3
16 16
A = x+x+x+ 4 . . . 4.2 8
x x
x x x≥ = =
Vậy Min A = 8
3
16
2x x
x
⇔ = ⇔ =
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
14
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min
2
A = x y( 4 - x - y )
với
, 0 và x + y 6x y ≥ ≤
Xét
0 4x y≤ + ≤
Ta có :
4
x
+y+ 4 - x - y
x
2 2
A = 4. . .y( 4 - x - y ) 4. 4
2 2 4
x

3
3
2
2 x+y
x+x+2y
3
x.x.2y
3
x y =
2 2 2
 
 
 ÷
 ÷
   
≤ ≤
=32 hay x
2
y
≤
32 (2)
Từ (1) và (2) =>
2
x y( 4 - x - y )
≥
-64 Dấu ‘=’ xảy ra khi
6 4
2 2
x y x
x y y

x x
3 x
2 2
1
3
 
+ + −
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
.
Do đó A ≤ 4 (1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y
≥
6 Tìm GTNN của
12 16
P 5 3x y
x y
= + + +
Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của
3
2000
N
x
x
+
=

+ +
=
−
Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của
2 3
B x y=
2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến
sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho.
VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của
9 2
B
2
x
x x
= +
−
Ta có :
9 2 9 2
B 1 1 2 . 7
2 2
x x x x
x x x x
− −
= + + ≥ + =
− −
 Min B= 7
⇔
9 2 1
2 2
x x

Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức:
2
x 3 4
A =
x
x− +
(Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)
Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức:
1 3
A =
x+1 2
x
+
( với x > -1 )
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức:
2
B =
x-1 2
x
+
( với x > 1 )
Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức:
5
C =
2x-1 3
x
+
( với x >
1
2

2
. 2.
4 2
x y z x
x
y z
+
= =
+

2
y
x z+
+
4
x z+
≥
2
2
. 2.
4 2
y x z y
y
x z
+
= =
+

2
z

x y z x y z
x y z
y z z x y x
 
+ +
+ + + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
=>
2 2 2
P 1
2 2
x y z x y z x y z
x y z
y z z x y x
+ + + +
= + + ≥ + + − ≥ =
+ + +
Vậy Min P = 1
⇔
2
2
2
4
2
4 3
4
x y z
y z

ta vẫn khử
được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra
đồng thời. Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất.
Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô
17
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn
a b
1
x y
+ =
(a và b là hằng số
dương).
Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) =
( )
a b ay bx
x y a b
x y x y
 
+ + = + + +
 ÷
 
.
Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương :
ay bx ay bx
2 . 2 ab
x y x y
+ ≥ =
.
Do đó

>


Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
( )
2
2
a b a b
A (x y).1 (x y) x. y. a b
x y x y
 
 
= + = + + ≥ + = +
 ÷
 ÷
 
 
.
Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A.
VD3 Tìm GTNN của
2 2 2
x y z
A
x y y z z x
= + +
+ + +
biết x, y, z > 0 ,
xy yz zx 1+ + =
.
Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4:

⇔ = = =
.
VẬN DỤNG BDT
A B A+B+ ≥
ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
Bài 1: Tìm GTNN của hàm số :
2 2
2 1 2 1y x x x x= + + + − +
Cách 1:
2 2
2 1 2 1 1 1y x x x x x x= + + + − + = + + −
Nếu: x < -1 thì
1 1 1 1 2 2y x x x x x= + + − = − − − + = − >
Nếu:
-1 x 1≤ ≤
thì
1 1 1 1 2y x x x x= + + − = + − + =
Nếu: x > 1 thì
1 1 1 1 2 2y x x x x x= + + − = + + − = >
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi
-1 x 1≤ ≤
Cách 2 : áp dụng BĐT
a b a b+ ≥ +
( Dấu “=” sảy ra khi a.b
0
≥
)
Ta có :
1 1 1 1 2y x x x x= + + − ≥ + + − =
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi


⇔
 
=
+ =




Cách 2: Ta có : A =
1
.2 .
2
x xy
. Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi cho
2 số 2x, xy ta có:
( )
2
2
2
2
2 2
2 . 2 .
2 2 4.2
x xy
x xy x xy
x xy x xy x y
+
+ +
 

2 2
4 20 25 8 16y x x x x
= + + + − +
b,
2 2
25 20 4 25 30 9y x x x x
= − + + − +
Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của
A x 2 x 1 x 2 x 1= − − + + −
Suối Ngô, Ngày 25,26,28/09/2012-01,02/10/2012
CHUYÊN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BẤT DẲNG THỨC
Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác.
CMR: ab + bc + ca
≤
a
2
+b
2
+c
2
< 2.(ab + bc + ca).
Giải:
Ta có:
a
2
+b
2
+c
2
- ab + bc + ca

+b
2
+c
2
< a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca).
Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR:
xyzyzzxz ≤−+− ).().(
(1).
Giải:
Đặt:



+=
+=
nzy
mzx
(m,n,z > 0).
Khi đó (1) trở thành:
)).(( nzmzznzm ++≤+
( )
zn
z
m
nm +






20
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9 Năm Học: 2013- 2014
Giải:
Từ giả thiết
.0,
01
0
>⇒



>=+
>
yx
yx
xy
Ta có:
).1(4
1
4
1
.21 ≥⇒≥⇒≥+=
xy
xyxyyx
Lại có:
( )
( )
2
2
2

2
- 9ac.
Giải:
Ta có:x + y + z = 3. (a + b + c)
2
- 9.(ab + bc + ca) = 3.(a
2
+ b
2
+c
2
- ab - bc - ca) =
=
[ ]
.0)()()(.
2
3
222
>−+−+− accbba
(Do a
≠
b
≠
c
≠
a).
Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương.
Bài 5: Nếu



( )
0.
62268822
≥−−+⇔ yxyxyxyx
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 6 6 2 2 2 2 4 2 2 4
. . 0 . . 0x y x y x y x y x y x x y y⇔ − − ≥ ⇔ − + + ≥
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm.
Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì :
P = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc < 0.
Giải:
Có:P = a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = (a + b + c).(a
2
+ b
2
+ c
2

++
+
+
<
+
)22).(12(
1
)12.(2
1
.
2
1
)12(
1
2
nnnn
n
Áp dụng ta có:
.
4
1
22
1
2
1
.
2
1
22
1




+
−=






+
−
+
++−+−=
=






++
++++<
nnn
nn
A
Ta có đpcm.
Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì:
pq

1
11
2
−
−
<
với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra:
n
n
1
2
1

3
1
2
1
1
222
−<++++
với n >1.
Giải:
Ta có:
kkkk
k
1
1
1
).1(
11

1
222
nnn
n
−=






−
−
++−+−+<++++
Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR:
.022
22
≥−
−
+
yx
yx
Giải:
Ta có:
.022
2
).(.2
2
22
≥=

22
bccbbccb
cbcbcbcabb
≤+⇒≤+⇒
≤−−⇒>−⇒>+≥
Mà: (a + b + c)
2

≤
(2b + c)
2
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
(a + b + c)
2

≤
(2b + c)
2

≤
9bc.
Ta có đpcm.
Bài 13:
Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn hơn 1.
Giải:
Ta có:
.1
2
2

≤
≤−−−=−−−
ccbbaa
ccbbaaaccbba
Tích của ba số nhỏ hơn hoặc bằng 1 vì vậy chúng không thể đồng thời lớn hơn 1.
Ta có đpcm.
Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR:
caca
c
baba
b
−−+
<
−−+
.
Giải:
Ta có:
caca
c
baba
b
−−+
<
−−+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2. 2 2.
a b a b a c a c
a b a b a c a c
a a b a a c a b a c b c

(1).
Tương tự:
2
3
2yyz
z
y
≥+
(2) và
2
3
2zxz
x
z
≥+
(3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có:
).(2
222
333
zyxzx
x
z
yz
z
y
xy
y
x
++≥+++++

= ≥ >
d.
2
( 0)A B A B B= ≥
e.
2
( 0; 0)A B A B A B
= ≥ ≥2
( 0; 0)A B A B A B
= − < ≥
f.
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
= ≥ ≠
i.
( 0)
A A B
B
B
B
= >
k.
2
2

 
+ −
 
− + +
 ÷
 ÷
 ÷
− +
 
 
với x>0 ,x
≠
1
a)Rút gọn A
b)Tính A với a =
(
)
( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15
+ − −
HD: a) A= 4a b) Xong
Bài 2: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +

Theo bÊt ®¼ng thøc cauchy ta cã: x min 2 x 1.Khi ®ã Amax =
3
x x
x
x
Bài 3:
Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
với x > 0 , x
≠
4.
a)Rút gọn A. b)So sánh A với
1
A

Gv:Lê Mỹ Hạnh Trường THCS Suối Ngô

x
x x x x
   
− − − −
− + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − − +
   

a)Tìm x để biểu thức A xác định. b)Rút gọn A.
c)với giá trị nào của x thì A < 1. d)Tìm
x Z∈
để
A Z∈
HD a) x
≥
0 , x
≠
9, x
≠
4 b)A=
3
2x −
c)Xong
d)Xong
Bài 5: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3

= = = − + ⇔ >
 ÷  ÷
+ + + + + +
   
⇔ + ⇔
17 5 3
2 5 17 17 17 17
) 5 . max max. V× 0 nªn max
3 3 3 3 3 3
3 min x=0
x
x
b A A
x x x x x x
x
d)Xét hiệu A – 2/3 rồi chứng minh hiệu đó không dương.
Các bài tập luyện:
Bài 6: Cho A =
( )
2
:
− +
 
−
−
+
 ÷
 ÷
−
− +

− +
 ÷
 ÷
 
xy xy
b A
x xy y
y
y
x
Bài 7: Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
Với x > 0 , x
≠
1.