PHÒNG GD&ĐT-THANH OAI
TRƯỜNG THCS KIM AN

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ BÀI
Câu 1 (6 điểm)

 6x + 4
  1 + 3 3x 3
3x


 . 
−
−
3
x
Cho P = 
  1 + 3x
3

3
x
+
2
3
x

) nó cắt AB tại P và AC tại Q. Qua P và Q vẽ hai tiếp
2
AH
tuyến với đường tròn ( I;
), chúng cắt BC lần lượt tại E và F.
2

Vẽ đường tròn ( I;

Chứng minh rằng:
a, PE// QF.
b, AB . AP = AQ . AC
c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm. Tính EF.
d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900.
Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại x, y là số nguyên thỏa mãn biểu thức:
2012x2015 + 2013y2018 = 2015.
---------------- Hết -------------Người ra đề: Nguyễn Thị Thu Hường
Người kiểm tra đề: Hà Thị Thủy


ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN 9
Năm học: 2015 – 2016
Nội dung

Câu
1
 6x + 4
−


 6x + 4
  1 + 3x 3
3x




−
−
3
x
P= 
.
3


 3x − 8 3x + 2 3x + 4   1 + 3x

 1 + 3x 1 − 3x + 3x

6 x + 4 − 3x 3 x − 2
− 3 x 
P=
. 
1 + 3x
3 x − 2 3x + 2 3 x + 4 


(

)

)

3x + 3x -

3x )

3x + 2 3x + 4
. (3x - 2 3x + 1)
3x − 2 3x + 2 3x + 4
2
1
3x − 1
2
. ( 3x - 1) =
3x − 2
3x − 2

)(

)

(

)

)

0,5đ

3x − 2 + 2 3x − 2 + 1
Ta có
3x − 2
1
P = ( 3x - 2) + 2 +
3x − 2
1
P = 3x +
3x − 2
3 x ∈ n 2 (n ∈ Z )
Để P có giá trị nguyên thì 
(2)
 3 x − 2 ∈ U (1)
 x = 3(TM )
 3x − 2 = 1
 3x = 3
⇔
⇔
Từ (2) có 
 x = 1 (loai )
 3 x − 2 = −1
 3 x = 1
3


(

)

Vậy với x = 3 thì P có giá trị nguyên.

 x − 1 = 0
⇔ 
⇔ x=1 (thỏa mãn)
 x + 3 − 2 = 0

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0.5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ


b,

7
b, Cho 00 < α < 900 và sin α + cos α = .
5

Vì sin α + cos α =

Tính tan α .

7


5

3
3


sin α = 5
 tan α = 4
⇔
⇔ 
⇔ 
sin α = 4
 tan α = 4


3
5
3
4
3
Vậy tan α = nếu cos α = và sin α =
4
5
5
4
3
4
Hoặc tan α = nếu cos α = và sin α =
5

5
x
5 − 5x + 5x
+ =
+
Và A =
.
1− x x 1− x
x
x
5(1 − x) 5 x
x
5(1 − x )
A=
+
+
=
+
+5
1− x
x
x 1− x
x
x
5(1 − x )
x 5(1 − x)
+
≥2
.
=2 5

5(1 − x)
1 − x =
x

Kết luận: giá trị nhỏ nhất của A là (5 + 2 5 ) khi x =

0,25đ

5− 5
4

0,5đ

Vẽ hình đúng được 0,25điểm
A
Q
P

I I K

B
a, Chứng minh được:
E
H
F
+) P, I, Q thẳng hàng
+) PE, QF cùng vuông góc với PQ.
b, +) APHQ là hình chữ nhật
+) góc BAH bằng góc C
+) góc APQ bằng góc BAH

(1 điểm) +) Nếu y là số chẵn thì 2013.y2018 là số chẵn, vì y2018 là số chẵn.
Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) là số chẵn
mà 2015 Là số lẻ (vô lí).
+) Nếu y là số lẻ thì y1009 là số lẻ.
Do đó chọn y1009 = (2n+1) (n ∈ Z )
Thì 2013. y2018 = 2013 . (2n+1)2 = 2013. (4n2 + 4n + 1)
= 4 . 2013 (n2 +n) +2013
Nên 2012.x2015 + 2013. y2018 chia cho 4 dư 1
Còn số 2015 chia cho 4 dư 3. (vô lí)
Vậy không có số nguyên x, y nào mà
2012x2015 2013.y2018 = 2015

C
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,25d
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,25đ

0,25đ
0,5đ