Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
LỚP 8
Thời gian: 90 phút
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
.
b) x
4
+ 2012x
2
+ 2011x + 2012.
Bài 2: (2,5 điểm)

Cho biểu thức:
2
2
x 2 1 10 x
A : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
 
−
 

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A =
3
cba
c
bca
b
acb
a
≥
−+
+
−+
+
−+
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E,
F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là
hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC
2
.
1
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
ĐÁP ÁN
Bài 1: (2 điểm)
a) (x + y + z)
3

+ + + +
= 3
( ) ( ) ( )
y z x x y z x y
+ + + +
 
 
= 3
( ) ( ) ( )
x y y z z x+ + +
. (1 điểm)
b)x
4
+ 2012x
2
+ 2011x + 2012 = (x
4
- x) + (2012x
2
+2012x+2012)
= x(x
3
- 1) + 2012 (x
2
+x+1) = x(x -1) (x
2
+x+1) )+ 2012 (x
2
+x+1)
= (x

1
x
2
=

1
x
2
⇒ =
hoặc
1
x
2
−
=
(0,25 điểm)

⇒
A=
3
2
hoặc A=
5
2
(0,75 điểm)
c) A < 0
⇔
x - 2 >0
⇔
x >2 (0,25 điểm)

2
+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (0,25
điểm)
2
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
ĐKXĐ :
7;6;5;4
−≠−≠−≠−≠
xxxx
(0,25
điểm) Phương trình trở thành :
18
1
)7)(6(
1
)6)(5(
1
)5)(4(
1
=
++
+
++
+
++
xxxxxx18
1

4
1
=
+
−
+
xx
(0,25 điểm)
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2; (0,25 điểm)
b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 (0,25 điểm)
Từ đó suy ra a=
2
;
2
;
2
yx
c
zx
b
zy +
=
+
=
+
; (0,25
điểm) Thay vào ta được A=


x
zy

(0,25 điểm)
Từ đó suy ra A
)222(
2
1
++≥
hay A
3≥
(0,25
điểm)
Bài 4: (3,5 điểm)
a)Ta có : BE
⊥
AC (gt); DF
⊥
AC (gt)
⇒
BE // DF (0,25 điểm)
Chứng minh :
( )BEO DFO g c g∆ = ∆ − −
⇒
BE = DF (0,5 điểm)
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)
3
Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân -Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
b) Chứng minh:
∠

AC
AD
AK
AF
=⇒=
(0,25 điểm)
Chứng minh :
∆
CFD ∽
∆
AHC(g-g)
⇒
AC
CD
AH
CF
=
(0,25 điểm)
Mà : CD = AB
⇒
AC.CFAH.AB
AC
AB
AH
CF
=⇒=
(0,25 điểm)
Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC
2
(0,25 điểm)