Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Chuyên đề bồi d ỡng hsg toán 9
3.1. Khái niệm ph ơng trình vô tỉ
3.1.1. Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn .
3.1.2. Các ví dụ :
a)
11 =x

b)
2173 =++ xx
c)
3+ xx
1
2
+ xx
=3
d)
4
1
1
1
1
3
3 2
3 2
3
=
+




x-1

0

x

1.Khi đó phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình :
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
x+1 = (x-1)
2


x
2
-3x= 0


x(x-3) = 0



=
=
3
0
x
x

Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x


1

13x
(2)
Bình phơng hai vế của (1) ta đợc :

2
)13(1 xx =

017027
2
=+ xx
Phơng trình này có nghiệm
10
1
=x
và
17
2
=x
.Chỉ có
10
1
=x
thoã mãn (2) .
Vậy nghiệm của phơng trình là
10=x
* Giải phơng trình dạng :
)()()( xgxhxf =+
Ví dụ 3: Giải phơng trình:

=+ xx
Phơng trình này có nghiệm
2
51
=x
thoã mãn (2)
Vậy nghiệm của phơng trình là
2
51
=x
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
3
1+x
27
3
=+ x
(1)
(1)
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Lập phơng trình hai vế của (1) ta đợc:

82).7)(1(371
3
=++++ xxxx


(x-1) (7- x) = 0


x =-1


















+
x
x
x
x
x
x
x
Bình phơng hai vế ta đợc: x- 4 = 2
)7)(12( xx
(3)
Ta thấy hai vế của phơng trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phơng 2 vế của
phơng trình (3) ta đợc :

Ví dụ 6: Giải phơng trình :
1+x
+
10+x
=
2+x
+
5+x
(1)
ĐKXĐ :







+
+
+
+
05
02
010
01
x
x
x
x


)5)(2( ++ xx
(3)
Với x

-1 thì hai vế của (3) đều dơng nên bình phơng hai vế của (3) ta đợc
)10)(1( ++ xx
= 1- x
Điều kiện ở đây là x

-1 (4)
Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)






1
1
x
x
x = 1 là nghiệm duy nhầt của phơng trình (1).
a.2. Nhận xét :
Phơng pháp nâng lên luỹ thừa đợc sử dụng vào giải một số dạng phơng
trình vô tỉ quen thuộc, song trong quá trình giảng dạy cần chú ý khi nâng lên luỹ
thừa bậc chẵn
Với hai số dơng a, b nếu a = b thì a
2n
= b
2n

x1
=
x6
-
)52( + x
6.
3
1x
+
3
2x
=
3
32 x
7.
x
+
yx +
=
1x
+
4+x
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
b. Ph ơng pháp đ a về ph ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối :
b.1. Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phơng trình:
416249
2
+=+ xxx
(1)







=
+=
443
443
xx
xx




=
=
0
2
x
x
Với x= 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phơng trình (đều thoả mãn x

4 ).
Ví dụ 2 : Giải phơng trình :
44
2
= xx
+


0x + 2 =5 vô nghiệm
+ Khi x > 4 ta có (2)

2x 6 =5


x =5,5 (thoả mãn x > 4 )
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5
Ví dụ 3 : Giải phơng trình:
314 + xx
+
816 + xx
= 1
ĐKXĐ: x

1
Phơng trình đợc viết lại là :

414)1( + xx
+
916)1( + xx
= 1
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9

2
)21( x
+
2
)31( x

- Nếu x> 10 thì (1)

-5 = 1 phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5

x

10
b.2. Nhận xét :
Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối đợc sử
dụng giải một số dạng phơng trình vô tỉ quen thuộc nh trên song trong thực tế cần
lu ý cho học sinh :
-áp dụng hằng đẳng thức
2
A
=
A
- Học sinh thờng hay mắc sai lầm hoặc lúng túng khi xét các khoảng giá trị của
ẩn nên giáo viên cần lu ý để học sinh tránh sai lầm .
b.3. Bài tập áp dụng :
1.
96
2
+ xx
+
2510
2
++ xx
= 8
2.

=33
ĐKXĐ :

x

R
Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2x
2
+ 3x +9 +
932
2
++ xx
- 42= 0 (1)
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Đặt 2x
2
+ 3x +9 = y > 0 (Chú ý rằng học sinh thờng mắc sai lầm không đặt
điều kiện bắt buộc cho ẩn phụ y)
Ta đợc phơng trình mới : y
2
+ y 42 = 0

y
1
= 6 , y
2
= -7 .Có nghiệm y =6 thoả mãn y> 0
Từ đó ta có
932
2

x
= y
2
ta có phơng trình mới
y
2
+ y -12 = 0 phơng trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)

4
x
= 3

x = 81 là nghiệm của phơng trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
1+x
+
x3
-
)3)(1( xx +
= 2 (1)
ĐKXĐ :




+
03
01
x
x

t
(2) .thay vào (2) ta đợc
t
2
2t = 0

t(t-2) = 0



=
=
2
0
t
t
+ Với t = 0 phơng trình vô nghiệm.
+Với t = 2 thay vào (2) ta có :
)3)(1( xx +
= 0

x
1
= -1; x
2
= 3 (thoả mãn)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x
1
= -1và x
2

2
= x
2
+ 2
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Phơng trình đã cho đợc viết là
5ab = 2(a
2
+ b
2
)


(2a- b)( a -2b) = 0




=
=
02
02
ba
ba
+ Trờng hợp: 2a = b


2
1+x
=

2
+ xx


x+ 1 = 4x
2
-4x + 3 = 0


4x
2
-5x + 3 = 0 phơng trình vô nghiệm.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x=
2
375 +
và x=
2
375
Ví dụ 5: Giải phơng trình:
1+x
+ 2 (x+1) = x- 1 +
x1
+ 3
2
1 x
(1)
Đặt
1+x
= u


tu
12








=++
=+
xx
xx
1112
11






=
=
25
24
0
x
x
thoả mãn điều kiện -1

2
4
2
+t


1+t
+
1t
=
2
4
2
+t






=
=+
0
044
2
2
t
tt
(t


Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5)
c.3. Bài tập áp dụng:
1/ x
2
5 +
6
2
x
= 7
2/ x
x
1
- 2x
3
x
= 20
3/
3
2
x
- 3
3
x
=20
4/
8
3
+x
= 2x
2


3+x
(
)37 +x
-2(
)37 +x
) =3


(
)37 +x
(
23 +x
) =0








=+
=+
023
037
x
x



-2
Đặt
2+x
= t

0 Khi dó
3
1 x
=
3
2
3 t
Phơng trình (1)


3
2
3 t
+ t = 1


3
2
3 t
= 1- t

3- t
3
= (1-t)
3

(4x-1) y = 2y
2
+ 2x -1

2y
2
- (4x -1) y + 2x 1= 0

( 2y
2
- 4xy + 2y) ( y- 2x+1) = 0

(y- 2x+1) (2y- 1) = 0
Giải phơng trình này ta tìm đợc x = 0 ; x =
3
4
là nghiệm của phơng trình (1)
Ví dụ 4: Giải phơng trình: (
11 + x
)(
11 + x
) = 2x
ĐKXĐ: -1

x

1 (1)
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
đặt
x+1






=
=
0122
01
2
uu
u
(+) u-1 = 0

u =1 ( thoả mãn u

0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
(+)
122
2
uu
= 0


2
2 u
= 2u + 1




nên có x = u
2
2
-1 = (
5
1
)
2
1 =
25
24
thoã mãn điều kiện (1)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x =
25
24
.
d.2.Nhận xét :
Khi sử dụng phơng pháp đa về phơng trình tích để giải phơng trình vô tỉ
ta cần chú ý các bớc sau .
+ Tìm tập xác định của phơng trình .
+ Dùng các phép biến đổi đại số , đa phơng trình về dạng f(x) g(x) .= 0 (gọi
là phơng trình tích) . Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ; là những ph ơng
trình quen thuộc.
+ Nghiệm của phơng trình là tập hợp các nghiệm của các phơng trình f(x) = 0
g( x) = 0 ; thuộc tập xác định .
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
+ Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phơng pháp khác nh nhóm
các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn
đa về phơng trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải .
d.3.Bài tập áp dụng:

25 x
-
2
15 x
=2
ĐKXĐ: 0

x
2


15
Đặt:
2
25 x
= a (a

0) (* )

2
15 x
= b ( b

0) ( ** )
Từ phơng trình đã cho chuyển về hệ phơng trình :






3
2
7
b
a
Thay vào phơng trình (*) ta có 25 x
2
=
4
49


x
2
=
4
51


x =
2
51

(

ĐkXĐ ) . Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x =
2
51

.



=+
=+
2
2
22
22
tutu
tu
ut = 0



=
=
0
0
t
u




=
=
5
3
x
x

= x- 1 nên u
3
+ t
3
= 1
Phơng trình đã cho đợc đa về hệ:



=+
=+
)2(1
)1(1
33
tu
tu
Từ phơng trình (1)

u = 1 t .Thay vào phơng trình (2) ta có :
( 1 t )
3
+ t
2
= 1

t( t
2
- 4t + 3 = 0



1 ) là nghiệm của phơng trình đã
cho .
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
3
2
)1(
+
x
+
3
2
)1(

x
+
3 2
1

x
= 1
Đặt:
3
1
+
x
= a ;
3
1

x





=
+=
1
1
3
3
xb
xa
Ta đợc phơng trình : a
3
b
3
= 2 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :





=
=++
2
1
33
22
ba

x
= 2
2. 2
3
12

x
= x
3
+ 1
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
3.
3
1 x

+
3
1 x
+
=1
4.
3
1

x
+
3
21

x



023
015
01
x
x
x













3
2
5
1
1
x
x
x


2

2)3(
2
+
x
+
4)3(
2
+
x
+
4
2
1)2(
+
x
= 3 +
2
(*)
Mà
2)3(
2
+
x
+
4)3(

2.
6
2
+
x
= x - 2
1
2

x
3.
x6
+
2+x
= x
2
- 6x +13
g.2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế :
Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
g.2.1.Các ví dụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
763
2
++
xx
+
14105
2
++
xx

2
= 5 (x + 1)
2


5
Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 .Do đó phơng trình (1) có nghiệm là x = -1
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
4x
+
x6
= x
2
-10x + 27 (1)
ĐKXĐ: 4

x

6
Xét vế phải của (1) ta có :
x
2
10x + 27 = ( x-5)
2
+ 2

2 với mọi x và vế trái của (1)
(
2
64 xx

xx
Giải phơng trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**)
Vậy x =5 là nghiệm của phơng trình (1)
g.2.2. Bài tập áp dụng :
1.
16123
2
+
xx
+
134
2
+
yy
= 5
2.
1263
2
++
xx
+
9105
2
+
xx
= 3-4x -2x
2

3.
5,33

Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vụ t - BDHSG toỏn lp 9
Với x< 3 và x

-1

-1

x

3 thì
3
2x
< 1,
1
+
x
< 2 nên vế trái của (1)
nhỏ hơn 3.
Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình (1)
Ví dụ 2: Giải phơng trình :

5
2
28
+
x
+ 2
3
2
23

1.
3
2
26
+
x
+ 3
x
+
3+x
= 8
2.
12
2

x
+
23
2

xx
=
322
2
++
xx
+
1
2
+

y
+ 2
1996

z


2
)12(

x
+
2
)11995(
+
y
+
2
)11996(

z
= 0









++
xx
+
14105
2
++
xx
= 4 2x x
2


4)1(3
2
++
x
+
9)1(5
2
++
x
= 5 (x+1)
2
(*)
Vế trái của (*)
4)1(3
2
++
x
+
9)1(5

a
b
b
a
+


2 với a,b > 0
xảy ra dấu = khi và chỉ khi a =b
Dấu = của (1) xảy ra khi x=
14

x


x
2
- 4x +1 = 0 (do x>
4
1
)
Giải phơng trình này ta tìm đợc x=
32
(thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy x=
32
là nghiệm của phơng trình.
i.2. Nhận xét :
Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú
ý các bớc sau :

2x
+
x

10
= x
2
-12x + 40
3.
1
19
x
+
4
2
1
5

x
+
6
2
23
95
+ xx
= 3
4.
116
156
2

y
,
=
xxxx 3182
3
52
1
12
1
12
1

+

+

+
+
> 0 với mọi x
[ ]
5;1

Do hàm số y liên tục và đồng biến trên
[ ]
5;1
nên miền giá trị của hàm số là
[ ]
)5();1( yy
hay
[ ]


< 9 và y
max
= 2 +
36

< 9
Do đó phơng trình (1) vô nghiệm vì không tồn tại giá trị x
[ ]
5;1

để y(x
i
) = 9
k.2.Ph ơng pháp hàm số:
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x
3
+1 = 2
3
12

x
(1)
Ta có: (1)


3
3
12
2


x
(vì y =
2
1
3
+x


x =
3
12

x
)
Do đó nghiệm của phơng trình là
3
3
12
2
1
=
+
x
x
cũng là nghiệm của phơng
trình
2
1
3


x
Đặt t =
3
12

x


2x -1 = t
3

Ta có hệ: x
3
+ 1 = 3t
2x -1 = t
3
x
3
t
3
+ 2 (x-t) = 0
x
1
=1 ; x
2,3
=
2
51
+