CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
PHẦN :ĐẠI SỐ
CHUYÊN ĐÊ 1
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I/ Phương pháp đặt nhân tử chung
AB + AC = A (B + C)
II/Phương pháp dùng hằng đẳng thức
1/ 10x -25 –x
2
2/ 8x
3
+12x
2
y +6xy
2
+y
3
3/ -x
3
+ 9x
2
-27x +27
III/Phương pháp nhóm hạng tử
1/ 3x
2
- 3xy-5x+5y
2/ x
2
+ 4x-y
2

)
= 2x(x-y) -5y(x-y) = (x-y) . (2x – 5y)
b/ 2x
2
3x – 27 = 2x
2
– 6x + 9x -27 = 2x(x-3) + 9 (x-3) = (x-3).(2x + 9)
c/ x
2
–x -12 = x
2
+ 3x -4x -12 = x(x+3) -4 (x + 3) = (x+3) .(x-4)
d/ x
3
-7x + 6= x
3
– x
2
+ x
2
–x -6x +6 = x
2
(x-1) + x (x-1) -6 (x-1)
= (x-1) (x
2
+x -6) = ( x-1)[ x
2
+3x-2x-6]
=(x-1)[x(x+3) -2(x +3)] = (x-1)(x+3)(x-2)
Baì tập tự giải:

Ví dụ:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1/ a
4
+ 4 = a
4
+4a
2
+ 4 - 4a
2
= (a
2
+2)
2
– (2a)
2
=( a
2
+2a +2)( a
2
-2a +2)
2/ x
5
+x – 1 = x
5
+

x
2
– x
2

2
+ 2x +8)
2

+3x(x
2
+ 2x +8) + 2x
2
Đặt y = x
2
+ 2x +8; Ta có:
y
2
+3xy+2x
2
= y
2
+xy+2xy+ 2x
2
= y(x+y) +2x(x+y) = (x+y)(y+2x) = (x+ x
2
+ 2x +8)( x
2
+ 2x
+8 +2x) =(x
2
+3x+8)( x
2
+4x+8)
BÀI TẬP TỔNG HỢP

2
2
2
2
1/ x 5x 6
2 / x 5x 6
3/ x 7x 12
4 / x 7x 12
5/ x x 12
− +
+ +
− +
+ +
+ −

2
2
2
2
2
6 / x x 12
7 / x 9x 20
8/ x 9x 20
9 / x x 20
10 / x x 20
− −
− +
+ +
+ −
− −

2
2
2
11/ 2x 3x 2
12 / 3x x 2
13/ 4x 7x 2
14 / 4x 5x 6
15/ 4x 15x 9
16 / 3x 10x 3
17 / 6x 7x 2
18/ 5x 14x 3
19 / 5x 18x 8
20 / 6x 7x 3
− −
+ −
− −
+ −
+ +
+ +
+ +
+ −
− −
+ −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2

42 / 6x xy y 3x 2y
43/ 4x 4xy 3y 2x 3y
44 / 2x 3xy 4x 9y 6y
45/ 3x 5xy 2y 4x 4y
− + + −
− − + −
− − − +
− − − −
− + + −
Bài 6: Tìm x và y, biết:CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1/ x 2x 5 y 4y 0
2 / 4x y 20x 2y 26 0
3/ x 4y 13 6x 8y 0
4 / 4x 4x 6y 9y 2 0
5/ x y 6x 10y 34 0
6 / 25x 10x 9y 12y 5 0
7 / x 9y 10x 12y 29
8/ 9x 12x 4y 8y 8 0

19
8
5
+
+x
2/ 3(x-5) + 2x = 5x – 9
3/
55
4
56
3
57
2
58
1 +
+
+
=
+
+
+ xxxx

II/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Cách giải
* ĐKXĐ
* Tìm MTC
* Quy đồng khử mẫu và giải phương trình
* Kết hợp với ĐKXĐ để chọn nghiệm
Ví dụ:
Giải phương trình:

xx
x
3/
)
1
1
1(3
1
1
1
1
+
−
−=
+
−
−
−
+
x
x
x
x
x
x
x
4/
1
32
4

+
+
− x
x
x
x

GiảiCÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
1/
)3)(1(
2
)1(2)3(2 −+
=
+
+
− xx
x
x
x
x
x
(1)
ĐKXĐ:



−≠

⇔
)(3
0
03
02
0)3.(2
062
43
4)3.()1.(
)3)(1.(2
2.2
)3).(1(2
)3.(
)1)(3(2
)1.(
1
2
22
loaix
x
x
x
xx
xx
xxxxx
xxxxx
xx
x
xx
xx

⇔
(2x-1)(x+1) = 0

⇔



=+
=−
01
012
x
x




−=
=
⇔
1
2
1
x
x
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {
2
1
;-1}
Bài tập

3
2
4
1
4
3
1/5
2
35
1
8
)2(3
4
13
/4
)1(4)25(2)14(3/3
28)2()2/(2
)1(253/1
22
2
2
22
+≤
+
−
−
≤+−
≥−
−
−

⇔
x
≥
0,5 thì:
2 1x −
= 2x-1
(1)
⇔
2x-1 = 3 +5x
⇔
-3x = 4

⇔
x = -
4
3
( loại)
Nếu 2x-1 <0
⇔
x<0,5 thì:
2 1x −
= 1-2x
(1)
⇔
1-2x = 3 +5x

⇔
- 2x- 5x = 3-1

⇔

x+3
- 0 +
↓
+
↓
+

* Nếu x
3−≤
thì (3)
⇔
-(x+1)-(x+2)-(x+3) = 3
⇔
-3x-6 = 3
⇔
x =-3(nhận)
* Nếu -3
2
−≤<
x
thì (3)
⇔
- (x+1) –(x+2)+(x+3) = 3
⇔
-x =3
⇔
x=-3(loại)CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

2
1
9
4
9
3
+
−=
−
−
+
x
xx
222131/8
023214/7
351213/6
−+++=−++
=+−−−+
+=−+−
xxxxx
xxx
xxx
VII/ Phương trình vô tỉ
1/ Dạng 1:
A
= B .
Cách giải:




ĐK:
3
5
3
5
2
5
053
052
≥⇔







≥
−
≥
⇔



≥−
≥+
x
x
x
x





=
=
≤
⇔
)(58
2
6
loaix
x
x
(nhận)
Kết hợp với ĐK đầu bài x=2(thõa)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:S={2}
3/ Dạng 3: Đặt ẩn phụ:
Giải Pt :
1/ x
2
+
1+x
= 1 (HSG tỉnh Kiên Giang 06-07)
2/
42
2
4
=−+
−

≥+x

55
2222
−=⇔+=⇔ txxt
(1)
⇔
(t
2
-5) + t = 15
40)5)(4(020
2
=⇔=+−⇔=−+⇔ ttttt
(Nhận) hoặc t=-5 (loại)
Với t = 4 ta được
45
2
=+x
x⇔
2
+5 = 16




=
−=
⇔=⇔
11
11

182 =+x
4/
242 −−+ xx
+
267 −−+ xx
=1CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
5/ 2
21
33
+=− xx
(1)(HSG tỉnh Kiên Giang 05-06)
( Đặt t =
01
3
≥− x

⇔
t
2
= 1- x
3

⇔
x
3
= 1- t
2



<<−
≠
⇔



>−
≠
22
0
02
0
2
x
x
x
x
(1)
⇔
2
2
1
2
1
x
x
−
−=

1
2
3
3
3
3
=
+
++
x
x
13/
2
1
232
+
=+++
x
xx
(chuyên HMĐ 20/6/08)
04
4
/17
3
1
32
/16
3
53
14

2
++ xx
19/ x
2
+x+12
361 =+x
20/
xxxxx 24)3)(1(231 −=+−+++−
. ( Đưa về HĐT)CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
21/
490:
471
≤≤
=−++
xĐKXĐ
xx
Đặt u =
xvx −+ 7;1
.ta có hệ phương trình .
9
8
4
22
=⇒




102
9
2
++ x
x
6/ y =
172
8
3
2
+−
−
x
x
7/ y =
1
4
2
−+ x
x
8/ y =
32
22
2
2
++
++
xx
xx
= 1-

2005
2004
2005
2004
2005
)2005(20052
2
2
2
2
≥+
−
=
+−
x
x
x
xx
Vậy minA=
2005
2004
khi x = 2004
11/ A =
a
c
c
b
b
a
++

4/ y =
42
1
23
++−
+
xxx
x
5/ A =
33
4 xxxx ++−
.Với 0
2≤≤ x
6/ B =
793
1793
2
2
++
++
xx
xx
( khi x= -3/2)
7/ A= -(x-1)
2
+ 2
31 +−x
Đặt: t=
44)1(321
22

x
x
4/ M =
1
1
2
2
+−
++
xx
xx
Ta có (x+1)
2
3
1
1
1
1)1(3133302420
2
2
22222
≥
+−
++
⇔−−≥++⇔+−≥++⇔≥++⇔≥
xx
xx
xxxxxxxxxx
Do đó: MinM =
)1(

y- y
0
= a(x- x
0
) hay y = a(x- x
0
) + y
0
2/ Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k :y = kx +b
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(-1,-1) và có hệ số góc bằng 3
Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 có phương trình : y = 3x + b
Vì A(-1,-1) thuộc (d) nên :
-1 = 3.(-1) + b
⇔
b =2
Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y = 3x +2.
3/ Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(x
0,
y
0
); B(x
1
,y
1
) có dạng:
01
0
01
0
xx

⇒
phương trình đường thẳng AB cần tìm
4/ Lập phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng khác.
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua A(1,2) và vuông góc với đường thẳng (d): y = -2.x + 5
Giải:
Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng cần tìm là: (D) : y = a.x + b
Vì (D)
⊥
(d) nên a. a
’
= -1
⇔
a. (-2) = -1
2
1
=⇔ a
⇒
(D) có dạng: y =
2
1
.x+b
Vì A(1,2)
∈
(D) nên : 2=
2
3
1.
2
1
=⇒+ bb

''' c
c
b
b
a
a
≠=
• Hai đường thẳng trùng nếu:
''' c
c
b
b
a
a
==

5/ Khoảng cách h từ gốc toạ độ đến đường thẳng ax+by = c
h =
22
ba
c
+
6/ Khoảng cách từ O đến A với :
• A(0,y
A
) thì OA =
A
y
• A(x
A,

b/ Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua I có hệ số góc bằng -4.
c Lập phương trình đường thẳng (d’) qua I và song song với đướng thẳng y = 0,5x +9.
3/ Cho họ đường thẳng (d
m
) có phương trình:
32
1
32
1
−
+
+
−
−
=
m
m
x
m
m
y
.Xác định m để:
a/ (d
m
) qua A(2,1).
b/ (d
m
) có hướng đi lên( hàm số đồng biến) “hệ số góc dương”
c/ (d
m

o
-1 = 0 , với mọi m.



−=
=
⇔



=++
=−+
2
5
013
012
0
0
00
00
y
x
yx
yx
Vậy (d
m
) luôn đi qua điểm cố định M(5,-2)
4/ Cho hàm số y = x +2
a/ Vẽ đồ thị hàm số trên

3
) cắt (d
2
) tại điểm có hoành độ bằng 1
b/ (d
3
) vuông góc vời (d
2
) và (d
3
) cắt (d
1
) tại điểm có tung độ bằng 4.
8/ Chứng minh rằng : y = 2x +4 , y = 3x + 5 , y = -2x cùng đi qua một điểm.
9/ Cho A(3,4) ; B(12,5) ; C( 2,-1)
a/ Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ
b/ Tính khoảng cách từ A đến O; B đến O ;C đến O.
10/ CMR:
a/ (d) : y = (m-2)x –m +4
b/ y = mx +m-2
c/ y = -
1
3
1
−+ mmx
luôn đi qua một điểm cố định?
11/ Cho A(0,5) ; B(-3,0) ; C(1,1) ; M(-4,5). CMR:
a/A,B,M thẳng hàng
b/ A,B,C không thẳng hàng.
c/ Tính diện tích tam giác ABC ?
CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
a/ (D) song song với y = -2x+1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4.
b/ (D) song song với đường thẳng y = x và cắt đường thẳng y = 2x -1
tại điểm có hoành độ bằng -2.
Chuyên đề 5: RÚT GỌN CĂN THỨC BẬC HAI
1/ Cho y =
x
xx
xx
xx +
−+
+−
+ 2
1
1
2
a/ Rút gọn y
b/ Tìm x để y = 2
c/ G/S x=1.Chứng minh rằng y-
0=y
d/ Tìm GTNN của y.
2/ Cho A =
1
44
242242
2
+−
−+++−−+

4;0),
4
).(
2
2
2
2
≠−
−
+
−
+
−
aa
a
a
a
a
a
a

.Rút gọn B
5/ Rút gọn Q = (
)1(
)3(4
:)
1
4
1
1

1
a
a
a
a
aa
−
−
+
−
−
7/ Rút gọn B =
11
22
+−
+
−
++
−
xx
xx
xx
xx
8/ M = (1+
0);
1
1)(
1
a
a

)(
1
1
+−
+
+
+
−
−
x
x
xx
x
x
xx
11/ A =
xxxx
x
xx ++
+
−
1
:
1
2
a. Tìm x để A có nghĩa
b. Rút gọn A
c. Tìm x để A thuộc Z
12/ D =
xx

14/ Cho B = (
1;0),
1
1
)(
1
1
12
3
3
≠≥−
+
+
++
−
−
+
xxx
x
x
xx
x
x
x
a/ Rút gọn B
b/ Tìm x để B = 3
15/ Cho Q = (
)
1
2

+
−
+
+
+
xx
xxx
x
x
x
x
x

a/ Rút gọn C
b/ Tìm x sau cho C
1−
17/ Cho P = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1
−
+
−
−

b/ Tìm a để C = 4
19/ A = (
)
2
1
(:)
1
1
11
2 −
−
+
++
+
+
+ x
xxx
x
xx
x
a/ Rút gọn A
b/ CMR : 0
2 A
20/ P = [(x
4
–x +
]
)4)(3(
144
].[

b/ CMR : -5
0
≤≤
P
Chuyên đề 6: RÚT GỌN NHỮNG BIỂU THỨC CÓ DẠNG
PS 2+
Hay
PS 2−
( Với S là tổng của hai số và P là tích của hai số cần tìm).
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình X
2
– SX +P=0
Ví dụ : Rút gọn các biểu thức sau:
1/ A=
625 +
.Ta có tổng hai số là 5 tích hai số là 6 .Vậy hai cần tìm là 2 và 3
Do đó A =
23)23(
2
+=+
2/ B =
1528 −
. Ta có S = 8, P = 15 Vậy hai só cần tìm là 5 và 3
Do đó B =
35)35(
2
−=−
3/ C =
62412441)2441(984265
2

−−−
+
+
Chuyên đề 7: Parabol và đường thẳng
1/ Cho (P) : y = 0,5.x
2
và (d) : y = x +b
a/ Với giá trị nào của b thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
b/ Khi b = 4 tìm toạ độ A,B và tính khoảng cách AB.
2/ Cho (P): y = 4x
2
và (d): y = mx – m +4
a/ Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tính hoành độ giao điểm theo m.
b/ Viết phương trình đường thẳng qua A(1,3) và tiếp xúc với (P)
3/ Cho hàm số y = ax
2
+bx +c
a/ Xác định a,b,c biết đồ thị qua A(0,-1); B(1,0); C(-1,2)
b/ Với giá trị nào của m thì y = mx -1 tiếp xúc với đồ thị hàm số vừa tìm được.
4/ Trên cùng mp toạ độ cho (P): y = x
2
-3x +2 và (d):y = k(x-1)
a/ CMR với mọi k (d0 vá(P) luôn có điểm chung
b/ Khi (d) tiếp xúc với (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm
5/Cho (P): y =
4
2

sao cho 3x
1
+5x
2
= 5
9/Cho (P): y = ax
2
và (d): y = mx +n .Tìm m và n biết (d) qua A(2,-1) ; B(0,1)
10/ Cho hàm số y = ax
2
+2(a-2)x -3a +1 .CMR với mọi a đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định
Giải:
Gọi B(x
o
,y
o
) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi a
Ta có phương trình: y
o
= ax
o
2
+2(a-2)x
o
-3a +1 có nghiệm đúng với mọi a
Hay pt : (x
o
2
+2x
o

xx
yx
xx
* Với x
o
= 1 thì y
o
= -3
⇒
A(1,-3)
* Với x
o
= -3 thì y
o
= 13
⇒
B(-3,13)
11/ Cho (P): y = x
2
và (d) qua điểm I(0,1) có hệ số góc m
a/ Viết phương trình đường thẳng (d). CMR (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b/Gọi x
1,
x
2
lần lượt là hoành độ của hai giao điểm .CMR
2
21
≥− xx





≥∆
≠
0
0a
BÀI TẬP
1/ Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của phương trình bậc hai x
2
-x-1 =0
a/ Tính x
1
2
+x
2
2
b/ CMR: Q = (x
1
2
+x
2
2
+x
1
4

-2x
1
.x
2
= 1 +2 =3
b/ Q = (x
1
2
+x
2
2
) + (x
1
2
+x
2
2
)
2
-2x
2
.x
2
2
= 3 +3
2
-2.(-1)
2
= 10
Vậy Q chia hết cho 5

Ta có
7103)22(4)1(
222
−+−=+−−+=∆ mmmmmCÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
Để PT có hai nghiệm thì
3
7
1071030
2
≤≤⇔≥−+−⇔≥∆ mmm
Theo định lí ta – lét ta có
x
1
+x
2
= m +1 và x
1
.x
2 =
m
2
-2m +2
Do đó F = x
2
2
+x
2

3
7
1
222
≤+−−≤⇔−≤−−≤−⇔≤−≤⇔
−
≤−≤−⇔≤≤ mmmmm
Vậy F
min
= 2 khi m = 1
3/ Tìm số nguyên m sao cho phương trình : mx
2
-2(m+3)x +m+2 = 0. có hai nghiệm x
1
,x
2
thoã
F =
21
11
xx
+
là số nguyên.
4/ Cho phương trình x
2
– (m+3)x +2m -5 =0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt mà hệ thức
này không phụ thuộc vào m.
Ta có
013)1(
2

mxx
Vậy hệ thức này không phụ thuộc vào m.
5/Tìm m để phương trình x
2
- mx +m
2
-7 =0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6/ Tìm m để phương trình x
2
– mx +m
2
-3 =0 có hai nghiệm dương phân biệt
7/ Cho PT x
2
-2(m+1).x+m
2
+3m +2 = 0
a/ Tìm m để PT có hai nghiệm thoã mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12
b/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m.
8/ Cho PT (m+1)x

2
sao cho
3
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
11/ Cho PT x
2
-2(m-1)x –m-5 =0 thõ mãn hệ thức x
1
2
+x
2
2

14≥
12/Cho PT : x
2
-2(m+1)x +2m +10 =0
a/ Tìm m để PT có nghiệm
b/ Cho P = 6x
1
.x
2

-2 =0. Tìm m để PT có
a/ Hai nghiệm dương phân biệt
b/ Hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho x
1
3
+x
2
3
=
2
5
c/ G/S PT có hai nghiệm không âm .Tìm m để nghiệm dương đạt GTLN.
15/ Cho PT: (m+3)x
2
-2 (m
2
+3m )x +m
3
+12 = 0
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất để PT có hai nghiệm phân biệt.
b/ Tìm số nguyên m lớn nhất để PT có hai nghiệm phân biệt thoã x
1
2
+ x
2
2

2
1
2
2
1
−=+
x
x
x
x
19/Tìm mọi giá trị của m để phương trình (m-3)x
2
-2mx+5m = 0 có hai nghiệm dương
Chuyên đề 9: Giải hệ phương trình
I/ Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Ví dụ: Giải hệ phương trình



=
−=
⇔



=+
−=
⇔



=
=
⇔



=
−=
⇔



=−+
−=
⇔



=+
=−
0
3
155
62
9)62(3
62
93
62
y
x

2
y
y
x
x
y
y
x
x
Đặt u =
1
,
1 +
=
+ y
y
v
x
x
Hệ phương trình trở thànhCÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9





−=
−=

⇔



−=
=+
⇔



−=+
=+
⇔



−=+
=+
2
1
2
1
22
1
1
2
1
1
2
1




=
+
−
−
−=
+
−
−
0
1
2
1
1
6
2
3
yxyx
yxyx
3/





=+−
=
+

)1(20
8
2
)1(3
2
)1(5
yx
y
yx
x
yx
y
yx
x
5/







=−
=+
5
33
1
11
yx
yx







=
+
+
−
=
+
+
−
6
7
3
1
2
2
2
3
3
2
3
yxyx
yxyx
8/



≠=
• Hệ có vô số nghiệm khi
''' c
c
b
b
a
a
==
Ví dụ:
1/Cho hệ phương trình :



=+
=+
32
32
2
myx
ymmx
. Tìm m để hệ
a/Có vô số nghiệm
b/ Vô nghiệm

Giải
a/ Hệ có vô số nghiệm khi
11
3
3

2/ Cho hệ PT:



=+
=+
2
1
yax
ayx
a/ Giải hệ khi a=2
b/ Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhấtCÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
3/



+=−
=−
69 mymx
mmyx
Tìm m để hệ
a/ Vô nghiệm
b/ Có vô sô nghiệm
4/ Cho hệ PT:




=−
3
3
ymx
myx
b/



=−
−=−+
mymx
mymx 41)4(3
V/ Hệ phương trình đối xứng loại I
Dạng



=
=
0),(
0),(
yxg
yxf
Với



=
=

Do đó hệ trở thành



−=
=
⇔



=
−=
⇔



=−−
−=
⇔



=−
−=
2
1
1
2
7)2.(3
2

Vậy hệ có nghiệm



=
−=
2
1
y
x
và



−=
=
1
2
y
x
2/



=
=+
3
82
44
xy

/4
26
6
/3
44
22
33
22
yx
xyyx
yx
xyyx
yx
xyyx
6/





=+
=+
28
12
yyxx
xyyx
7/




yxf
Cách giải: Đưa về dạng



=
=−
0),(
0),(),(
yxf
xyfyxf
hoặc



=
=+
0),(
0),(),(
yxf
xyfyxf
Ví dụ : Giải hệ phương trình









=+−
yxx
yx
yxx
yx
yxx
yxyx
yxx
yxyxyx
xyy
yxx
452
02
452
0
452
0)2)((
452
)(4)(2)(
452
452
2
2
2
2
22
2
2
 Trường hợp 1:


1
5;1
056452
0
22
y
x
hoac
y
x
xx
yx
xx
yx
yxx
yx
 Trường hợp 2:



=++
−−=
⇔



=++
−−=
⇔


5
5
;
1
1
y
x
y
x
Bài tập
Giải các hệ phương trình sauCÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9





=+
=+





=+−
=+−





−=−
−=−
232
232
22
22
xyy
yxx
(Chuyên HMĐ 20/6/2008)
5/





=+−
=++
012
012
2
2
xy
yx
6/





. Đặt y = tx (hay x = ty )
Ví dụ : Giải hệ phương trình :





−=−+
=+−
836
7223
22
22
yxyx
yxyx
(I)
• y = 0 thì (I)





−=
=
⇔
8
73
2
2
x

−
−+
=
+−
⇒





−=−+
=+−
⇔





−=−+
=+−
tttttttt
y
tttt
tty
tty
ytyyt
ytyyt
* Với t = - 1 thì 7y
2
= 7

241
31
7
31
1687
31
5
2
2
22
2
=⇔=⇔= yyythì
hoặc y=
241
31−







−=
−=











=
=



−=
=



=
−=
241
31
241
5
;
241
31
241
5
;
1
1
;
1