TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số: 06
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút.
Câu 1: Cho hàm số:
3 2 2
3 2 4 2
x x y y
z xy x= + − + − −
1. Tìm cực trị của hàm
2. Tại điểm N(1,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra
khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc
0
30
3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất.
Biểu diễn trên hình vẽ.
Câu 2: Trong không gian Oxyz, tìm trọng tâm của tam giác đồng chất
ABC với A (3, 0, 0), B (0, 2, 0), C(0, 0, 1).
Câu 3: Tính
( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −
∫
, trong đó C là đường ellip
2 2
2 2
1
x y
a b

= + − + − −
z
’
x
=x
2
+x-y-1=0
z
’
y
=-x+
1
2 2
y
−
=0 →y=2x+1
Thay vào z
’
x
ta có:
2 2
2 1 1 2 0x x x x x
+ − − − = − − =
Nghiệm x
1
= -1 → y
1
= -1 M
1
(-1, -1).

z t
= =
1
2
1
2
s
2
- rt (-1)
2
+
1
2
>0 (-1)
2
-
5
2
<0
Không cực trị Cực trị
r=5 >0 cực tiểu
2. z
’
x
(N)= 1+1-1-1=0
z
’
y
(N)=-1+
1 1

Đường thẳng AB:
1
3 2
x y
+ =
1) Khối lượng của tam giác:
2 2
1 1 36 4 9
1
3 2 9.4
7 7
6 2
D xy
xy
xy
s D
D
ds dxdy dxdy
dxdy
+ +
   
= + + =
 ÷  ÷
   
= =
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
2) Tìm x
G
:

→x
G
= 1
3) Tìm y
G
:
3
3
2
2
0 0
7 7
6 3
y
s
yds dy ydx
−
= =
∫∫ ∫ ∫
→y
G
=
2
3
4) Tìm z
G
:
2
2
3 3

).
Câu 3:

( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −
∫
Tham số hoá đường cong C ta có:
2
y
x
B
A
C
os , sin ,0 2x ac y b
ϕ ϕ ϕ π
= = ≤ ≤
2
0
( ) ( ) [ ( os sin )a sin ( os sin ) os ]d
C
I x y dx x y dy ac b ac b bc
π
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + − = − + + −
∫ ∫

2
2 2 2 2
0

2
1
x
e x x +
thoả mãn điều kiện khi x=0 thì y=0 và y
’
=0
• Phương trình thuần nhất: y
’’
-4y
’
+4y=0
Phương trình đặc trưng:
2
4 4 0
λ λ
− + =
→
2
( 1) 0
λ
− =
→
1 2
2
λ λ
= =
→
2
1

' '
1 2
0
2 (2 1) 1
c c x
c c x x x
+ =
+ + = +
PT2-2PT1→
'
2
1c x x
= +
→c
2
=
( ) ( )
3
1
2 2
1 ( 1 1) 1 1 1x x dx x x dx x x dx
 
+ = + − + = + − +
 
 
∫ ∫ ∫
=
( ) ( )
5 3
*

5 3 7 5 3
1
2 *
2 2 2 2 2 2
1 1
2 4 2
2 1 2
7 5 3
c t t tdt t t t dt t t t c
→ = − − + = − − + = − + − +
∫ ∫

Vậy y=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
7 5 3 5 3
* 2 * 2
2 2 2 2 2
2
2 4 2 2 2
1 1 1 1 1
7 5 3 5 3
x x
x x x c e x x c xe
   
− + + + − + + + + − + +
   
   
Thay điều kiện ta có:
*

(-1, -1) (0.25)
M
2
(2, 5) (0.25)
M
1
không cực trị (0.25)
M
2
cực tiểu (0.25)
Tại điểm N(1,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra
khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc
0
30
(0.25)
Hướng thay đổi nhanh nhất là –j (0.25)
Bài 2(3 đ): Vẽ được hình (0.5)
Lập phương trình mặt phẳng

1
3 2
x y
+ =
,
2
2
3
y = − +
(0.5)
Khối lượng

os , sin ,0 2x ac y b
ϕ ϕ ϕ π
= = ≤ ≤
(0.25)

2
0
( ) ( )
[ ( os sin )a sin ( os sin ) os ]d
C
I x y dx x y dy
ac b ac b bc
π
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + −
= − + + −
∫
∫
2
2 2
0
2 2
( )
[ sin 2 os2 ]
2
2
( ) 1
( os2 sin 2 ) 0
0
4 2

= +
∫
(1/2)
Tính C
2
=
( ) ( )
5 3
*
2 2
2
2 2
1 1
5 3
x x c
+ − + +
(1/2)
Lập
2
1
1c x x dx
= − +
∫
(1/2)
Tính C
1
=
( ) ( ) ( )
7 5 3
*