TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số:03
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút.
Câu 1: Cho hàm số
2 3 2
5
6 2
2
z x x xy y y
= − − + +
1. Tìm cực trị của hàm số.
2. Tại M(2;1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi
điểm M theo hướng lập với trục Ox một góc
0
30
.
3. Tại M, hãy tìm hướng để hàm z tăng nhah nhất.
Biểu diễn trên hình vẽ.
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ trục Oxyz, dung tích phân mặt tính
trọng tâm của tam giác phẳng ABC với A (-2,3,0),
B ( 4,0,0) và C (-2,0,
3
2
) với hàm mật độ ρ (x,y,z) = y.
Câu 3: Tính
2 2
C
xy dy x ydx

C
A
B
O
Câu 1(2đ):
,
2 2 6 0 3
x
z y x x y
= − + − = ⇒ = +

, 2
3 5 2 0
y
z y y x
= + − =
(0.25đ)
Thay vào ta có :
2 2
3 5 2 6 3 3 6 0y y y y y
+ − − = + − =
2
1 2 1 2
2 0 1, 2 4, 1y y y y x x
⇒ + − = ⇒ = = − ⇒ = =

Hàm số có 2 điểm tới hạn
1 2
(4,1), (1, 2)M M= = −
(0.25đ)

,
( ) 3 5 4 4
y
z N
= + − =

0 0
3 1
4cos30 4cos60 4( ) 0
2 2
z
l
∂
= − + = − >
∂
(0.5đ)
Vậy hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm M theo hướng lập với trục
Ox một góc
0
30
.
3. Hướng thay đổi nhanh nhất -4i+4j (0.5đ)

Câu 2(3đ): +vẽ hình (0.5đ)
+) Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ABC.
2 3
9
6 3 0 0 ( 2) 9( 3) 18 0
2
3

, 2 , 2
1 ( ) ( )
x y
S D
m yds y z z dxdy
= = + +
∫∫ ∫∫

2 2
1 1 21
1 ( ) ( )
4 2 4
D D
m y dxdy ydxdy
− −
= + + =
∫∫ ∫∫
(0.25đ)
Tính tích phân này có 2 cách: (0.25đ)
Cách 1:
2
4
2
2 0
21 21
9.
4 4
x
y
y

∫∫ ∫∫ ∫∫

2
4
2
2 0
4
3 4
2 3 2
2
1 21
.
2 4
4
1 21 1 21 2 1
. ( 2 4 ) . ( 2 )
2
2 4 4 2 4 16 3 2
x
y
y
dx xydy
m
x x
x x dx x x
m m
−
= +
− =
−

1 21 3 1 21 1
. (8 6 ) . (8 6 )
2
3 4 2 8 3 4 2 32
18 21 21 27
.
7 4 2
x
y
D y
y dxdy dx y dy
m m
x x
x x dx x x x
m m
−
= +
− =
−
= =
= − + − = − + −
−
= =
∫∫ ∫ ∫
∫
(0.5đ)
, 2 , 2
1 1
1 ( ) ( )
G x y

1 21
. (1 )
4 4 2
2
1 21 1
. ( )
2
4 2 8 4
0
1 21 2 37
. ( )
4 96 8 2 3 72
D
x
y
y
x y
y dxdy
m
x y
dx y dy
m
x
y
xy y
y dx
m
y
x x x
dx

y a t
=


=

với
0 2t
π
≤ ≤
(0.25đ)
2
2 2 3 2 2 2
0
( cos sin . cos cos . sin . sin )
C
xy dy x ydx a t t a t a t a t a t dt
π
− = +
∫ ∫
Ñ
(0.25đ)

2 2
4
4 2 2 2
0 0
2
4
0

,
2
Q xy=
. Khi đó:

2 2 2
2 2 2 2
( )
C
x y a
I xy dy x ydx x y dxdy
+ ≤
= − = +
∫ ∫∫
Ñ
(0.5 đ)
chuyển sang hệ toạ độ cực

cos , sin ,0 2x r y r
ϕ ϕ ϕ π
= = ≤ ≤
(0.25 đ)
Ta có:

2
4
3
0 0
2
a

y x z x e⇒ = − − + +
. Thế vào (1) ta được :
,, , ,, ,
sin (4 sin 3 ) ( 1) 4 3 ( 1)
x x
y x y x y x e y y y x e
= − − − + + + ⇔ + + = +
(3) (0.5đ)
+ Phương trình thuần nhất:
,, ,
4 3 0y y y+ + =
Phương trình đặc trưng
2
1 2
4 3 0 1, 3
λ λ λ λ
+ + = ⇔ = − =
.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là :
3
1 2
x x
C e C e
−
+
. (0.5 đ)
+ Tìm nghiệm của phương trình (3) bằng phương pháp biến thiên hằng số:
' 2
' ' 3
1

⇔
 
− + = +



= +


2 * 2 2 *
2 2 2
1 1 3
( 1)
4 8 16
x x x
C x e dx C xe e C
− − −
−
⇒ = + + = + +
∫
(0.5 đ)
2 * 2 2 *
1 1 1 1
1 1 1
( 1)
4 8 16
x x x
C x e dx C C xe e C⇒ = − + + ⇒ = − + +
∫
(0.5 đ)

Từ điều kiện ta có:
*
* *
1
1 2
*
* *
2
1 2
7
1
0
16
4
3
1 3 0
16
C
C C
C
C C
−


=

+ + =
 
⇔
 